21.2.3 因式分解法&小专题2 一元二次方程的解法-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 江西专版）

21.2. 、 因式分解法 ②基础过关。逐点击破 (2)配方法： (3)公式法： 知识点1用因式分解法解一元二次方程 (4)因式分解法： 1.用因式分解法解方程，下列过程正确的 5.用适当的方法解下列方程： 是 (1)x2+2x-323=0: A.x(x十2)=0可化为x+2=0 B.(2x-3)(3.x-4)=0可化为2x-3=0或 3x-4=0 C.(x十3)(x一1)=1可化为x+3=0或x 1=1 D.(x一2)(x-3)=2×3可化为x-2=2或 x-3=3 (2)7x(3-x)=2(x-3); 2.已知一元二次方程的两根分别为x=3, x2=一4，则这个方程为 A.(x-3)(x+4)=0B.(x+3)(x-4)=0 C.(x十3)(x+4)=0D.(x-3)(x-4)=0 3.用因式分解法解下列方程： (1)2x2-√5x=0; (3)x2-5x-1=0: (2)3y(y-2)=4y-8. (4)(3x+2)2-4x2=0. 知识点2用适当的方法解一元二次方程 4.已知下列方程：①2(x-1)2=6:②(x-2)2 +x2=4;③(x-2)(x-3)=3;④x2-4x !易错点 解方程时，方程两边同除以含 1=0;⑤r2-2x+4=0,⑥2-2x+99=0, 有未知数的代数式导致漏根 请把它们的序号填在最适当的解法后的横 6.小明在解方程(x一7)2=x一7时，只得出一个 线上 根为x=8,其错误原因是 (1)直接开平方法： 漏掉的一个根是 11名师测控·数学九年级上册配RJ版 可能力提升。整合运用 请参照例题解方程：x2-3x+2=0. 7.已知关于x的方程x2十px十q=0的两根为 x1=3,x2=一4，则二次三项式x2十px十q 可分解为 A.(x+3)(x+4) B.(x-3)(x+4) C.(x+3)(x-4) D.(x-3)(x-4) 8.若实数x,y满足(x2+y+1)(x2十y2-2)= 0,则x2+y的值为 A.1 B.2 思维拓展。学科素养 C.2或-1 D.-2或-1 13.根据多项式的乘法与因式分解的关系，可 9.(吉安期中)菱形ABCD的一条对角线长为 得x2-x-6=(x十2)(x一3)，等式右边的 6,边AB的长是方程x2一7x+12=0的一个 两个一次二项式的系数有如下关系： 根，则菱形ABCD的周长为 A.12 B.14 × C.16 D.12或16 1×(-3)+1×2=-1 10.【整体思想】我们知道方程x2+2x一3=0 左边上、下角两数积是原式左边二次项的 的解是x1=1,x2=一3，现给出另一个方程 系数，右边上、下角两数积是原式左边常数 (2x+3)2+2(2x十3)一3=0，它的解是 项，交叉乘积之和是原式左边一次项的系 数，这种分解二次三项式的方法叫“十字相 11.x取何值时，代数式3x2+6x一8的值与 乘法”.请同学们认真观察，分析并理解后， 1一2x的值互为相反数？ 解答下列问题： (1)填空： ①因式分解：x2-5x+4= ②解方程：x2+3x一10=0，左边因式分 解得( )( )=0, .01 ,x2=氵 (2)解下列方程： ①2x2-5x+2=0;②3x2+x-4=0. 12.【阅读理解】阅读下面的例题： 解方程x2-x-2=0. 解：①当x≥0时，原方程化为x2-x一2=0， 解得x1=2,2=一1（不合题意，舍去）. ②当x<0时，原方程化为x2十x一2=0， 解得=1（不合题意，含去），x2=一2. 由①②得原方程的根是x1=2,x2=一2. 第二十一章一元二次方程12 小专题二一元二次方程的解法 类型1形如(mx十n)2=p(p≥0)的一元 (2)2x2+5x-1=0. 二次方程常用直接开平方法求解 1.解方程：4(2x-1)2-36=0. 类型2当二次项系数为1，且一次项系 数为偶数时常用配方法求解 2.用配方法解下列方程： 类型5若在方程中出现一些相同的代 (1)x2+6.x+1=0: 数式，可用一个字母代替，采用换元法求解 5.阅读材料： 解方程(x2-1)2-5(x2一1)+4=0时，我们 可以将x2一1视为一个整体，设x2一1=y, 则原方程化为y-5y十4=0.① 解得y=1,y2=4. (2)4x2-8.x-7=-11. 当y=1时，x2-1=1,.x2=2..x=士√2； 当y=4时，x2-1=4,.x2=5..x=土√5. ∴.原方程的解为x1=√2，m=一√2，x=√5， x4=-√5. 类型3能化成形如(x+a)(x+b)=0的 根据上面的解答过程，解答下面的问题： 一元二次方程常用因式分解法求解 (1)填空：在由原方程得到方程①的过程中， 3.解方程：2(x-2)2=x2-4. 利用 法达到了降次的目的，体现 了的数学思想； (2)解方程：x4-x2-12=0. 类型4若一元二次方程易化成一般形 式，则常用公式法求解 4.用公式法解下列方程： (1)x2-3x-3=0: 13名师测控·数学九年级上册配R版思维拓展 0.a=3,b=-5,c=9.△=b2-4ac=(-5)2-4X3X9= 14.(1)完全平方公式[或a2士2ab+=(a士b)2](2)等 -83<0.方程无实数根：(2)方程化为6x2-13x+6=0.a 式的基本性质(3)三x1=√7-2,2=一√7-2 =6,b=-13.c=6.△=2-4ac=(-13)2-4×6×6=25 小专题一配方法的应用 >0.方程有两个不等的实数根x=一b士一4@c 2a 1.D2.D3.C4.355.解：a2+b=10a+8b 41,∴.a2-10a+25+b-8b+16=0..(a-5)2+(b-4)2 二《一浩医1告，即-是-号：3)方程化 2×6 =0..a-5=0,b-4=0..a=5,b=4..c是△ABC中 为2x2+2x-4=0.a=2,b=2,c=-4.△=-4ac= 最长的边，∴.5≤c<9..当c=5时，△ABC的周长取得最 小值，最小值为a+b十c=5+4+5=14.6.A7.解：小 (W2)2一4×2×（一4）=34>0.方程有两个不等的实数根 聪的判断正确.a2-4a+5=(a2-4a十4)十1=(a-2)2+1. x=- b士-4ac=一厄±34=-D±/3，即m= 2a 2×2 4 .(a一2)≥0，∴.(a-2)2+1>0,即该方程的二次项系数 不为0..无论a为何实数，这个方程都是一元二次方程. -√2+√3 4 ,=2-34 4 14.解：(1)方程有两个 8.证明：x2+y2-2x-4y+16=(x2-2x+1)+（y-4y+ 不相等的实数根.理由如下：.n=1一3，a=1,b=,c= 4)+11=(x-1)2+(y-2)2+11≥11.故不论x,y取任何 n,.△=b}一4ac=m2-4n=m2-4(m3)=(m一2)2+ 实数，多项式x2十y一2x一4y+16的值总为正数.9.B 8.(m-2)2≥0，.△=(m-2)2+8>0..方程有两个不 10.A11.解：3.x2-5x-1-(2x2-4x-7)=x-x+6 相等的实数根；(2).方程有两个相等的非零实数根，∴.△ =(一2)+孕>0，∴不论x为何值时，3x-5x-1 =nm2一4=0.若m=2,则n=1,方程为x2十2x十1=0， (2x-4x-7)>0总成立.，.代数式3x2-5x-1的值总 解得x1=x2=一1（答案不唯一）. 大于2.x2-4x-7的值.12.C13.C14.1515.解： 思维拓展 (1)1小3(2)2大7(3)设垂直于墙的一边长为 15.解：(1)☐ABCD是菱形，AB=AD..△=(-m)2 xm,则平行于墙的一边长为(20一2x)m.∴.花园的面积为 -4(受-)=-2m+1=(m-1)=0∴m=1.当 x(20-2x)=-2x2+20x=-2(x2-10x+25)+50= -2(x一5)2+50.∴.当花园与墙相邻的一边长为5m时， m=1时，☐ABCD是菱形.把m=1代入原方程，得x2一x 花园面积最大，最大面积是50m.16.解：(1)①4 十子-0.解得A==子“菱形ABCD的边长是2： ②(a-5)(a-7)③-4-9(2)△ABC是等边三角 (2)·AB=2,.x=2是原方程的一个根.把x=2代入原 形.理由如下：.a2+2b-2b(a十c)+2=0,∴.a2+2b2一 2ab-2bc+c2=0,∴.(a2-2ab+b)+(62-2bc+c2)=0, 方程，得4-2m+受-=0，解得m=号.把m=号代入 ∴.(a-b)2+(b-c)2=0.(a-b)2≥0，(b-c)2≥0，∴.(a -b)2=(b-c)2=0,.a-b=0,b-c=0,∴.a=b=c, 原方程，得-多十1=0.解得石=2，m=之.∴AD ∴.△ABC是等边三角形 .∴ABCD的周长是2×(2+)=5. 21.2.2公式法 21.2.3 因式分解法 基础过关 基础过关 1.A2.B3.A4.15.方程有两个不等的实数根 6.A7.C8.253-29.解：(1)a=1,b=-6,c= 1.B2.A3.解：(1)因式分解，得x(2x-5)=0.于是 4.△=6-4ac=(一6)2-4×1×4=20>0.方程有两个不 得=0，或2一后=0，=0，=号：(2整理，得3y0y 等的实数根x=一b士F二4c=二（-)片V2@=3士 2a 2×1 一2)-4(y-2)=0.因式分解，得(y-2)(3y-4)=0.于 V5,即x1=3+5,x2=3-√5；(2)a=2,b=-3,c=-1.△ 是得y一2=0，或3y-4=0,y=2,y=号 4.(1)① =2-4ac=(-3)2-4×2×(-1)=17>0.方程有两个 (2)④⑥(3)③⑤(4)②5.解：(1)移项，得x2+2x= 不等的实数根x=二b吐一4=二(-3)士应 323.配方，得x2+2x+12=323+12,(x+1)2=324.由此 2×2 可得x+1=士18.=一19,2=17；(2)整理，得7x(3 生亚，即1=3+亚，=3亚：3)方程化为2 x)+2(3-x)=0.因式分解，得(3-x)(7x+2)=0.于是 -2√/5x+10=0.a=1,b=-25,c=10.△=6-4ac= 得3-1=0，或7x+2=0,n=33=-号：(3)a=1,6 (-2√5)2-4×1×10=-20<0.方程无实数根.10.D -5,c=-1.△=8-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29> 【变式】k≥-1 能力提升 0.方程有两个不等的实数根x=二b士=4@c 11.B12.1-7 13.解：(1)方程化为3a2-5a十9= （-》±四=5±⑧，即=5+，四， 2×1 、 第2页（共42页） 5-2四：(4因式分解，得(3x+2+2x)(3x+2-2)=0. 能力提升 2 12.B13.B14.203215.2头16.解：(1D方程x 于是得5x+2=0,或x+2=0,0=-2 52=-2. 2(m十1)x+2+5=0有两个不相等的实数根，∴.△=[一2 6.未考虑x-7=0x=7 (m+1)]-4(㎡+5)=8m一16>0.解得m>2.∴.实数m 能力提升 的最小整数值是3：(2)：原方程的两个实数根为，2， 7.B8.B9.C10.=-1,x2=一311.解：根据题 ∴.x1+x2=2(m+1),xx2=m2+5..∴.(x1一1)(x2-1)= 意，得3x2十6x-8十1-2x2=0.整理，得x2+6x-7=0. 01x2-(x0+x2)+1=m2+5-2(m+1)+1=m2-2m+4 解得=一7,2=1..当x取-7或1时，代数式3x2+ =7.17.解：(1)，方程有两个实数根，∴.△=（一4）2一4 6x一8的值与1一2x的值互为相反数.12.解：①当x≥ (k+1)=16-4k-4=12-4k≥0.∴.k≤3；(2)由题意可 0时，原方程化为x2一3x十2=0，解得x=2,2=1.②当 知0十=4,02=k十1.：3十3=m0-4, x<0时，原方程化为x2+3.x十2=0，解得x1=一1，x2= 一2.由①②得原方程的根是x1=2,x2=1,x3=一1，x4= :3=ng-4=+1-4,即+1 X142 -2. 3)=12.解得k=5或k=-3..k≤3，.k=-3. 思维拓展 思维拓展 13.解：(1)①(x一1)(x一4)②x一2x+52一5 18.解：(1)①当a=0时，方程为3x-3=0,是一元一次方 (2)①因式分解，得(2x-1)(x-2)=0..2x-1=0或x 程，有实数根；②当a≠0时，方程是一元二次方程.△=(3 -2=0.解得1=子函=2：②因式分解，得（3x十40(x 一2a)2一4a(a-3)=9>0,.方程有两个不等的实数根. 1)=0..3x十4=0或x-1=0.解得0= .无论a为何实数，方程总有实数根；(2)由题意可知，x1 32=1. +2=2a-3 =3.10-= 小专题二一元二次方程的解法 1.解：整理，得(2x-1)2=9.直接开平方，得2x一1=士3. =(),(a+西-4=（是），即 即2x-1=3,或2x-1=-3.∴.x1=2,x2=-1.2.解： (1)移项，得x2+6x=-1.配方，得x2+6x十9=-1十9， 2.3)-4×。3-(受)整理，得=解得a 即(x十3)2=8.由此可得x+3=士2√2.x1=-3十2√2， =士2 2=-3-2√/2：(2)整理，得x2-2x+1=0.∴.(x-1)2= 小专题三 根的判别式及根与系数的关系 0.∴.0=x2=1.3.解：整理，得2(x一2)2-(x-2)(x+ 的应用 2)=0.因式分解，得(x一2)[2(x一2)一(x+2)]=0.于是 1.m≤5且m≠4【变式1】5【变式2】m>5【变式3】m 得x-2=0,或x-6=0.x=2,x2=6.4.解：(1)a= <5且m≠4【变式4】m≤52.D3.解：(1)设方程x 1,b=-3,c=-3.△=b-4a0=(-3)2-4×1X(-3)= -(a十1)x+子a2+1=0的两根为1，，则十a=a 21>0.方程有两个不等的实数根x=二b士F一4ac_ 2a +1函w=子a2+1.1a-w=-5(西-w)=5, （-3)±四，即1-3+y厘，=3-匹，(2a=2, 即(+)-4a=5(a+12-4(a2+1=5, b=5,c=-1.△=62-4ac=52-4×2×(-1)=33>0.方 解得a=4;(2)设方程x2+px十q=0(q≠0)的两根为， 程有两个不等的实数根x=一b士一4ac=一5±V3墨 x,则x十2=一p,12=g.设新方程两根分别为y1, 2a 2×2 =5±/压，即=二5十/愿，=5√/國 则==十为=+- 4 4 5.解：(1)换元转化(2)令x2=a,则原方程可化为a2 以为=品。故新方程为护十号y十号=0 卫 一a-12=0.解得a1=-3,a2=4.当a=一3时，x2=-3, 4.C5.解：(1).关于x的一元二次方程x2一3x+m一2 方程无实数根；当a=4时，x2=4,.x=士2.∴.原方程的 =0有两个实数根，.△>≥0，即9一4(m一2)≥0，解得m≤ 解为=2,2=一2. ：(2)根据根与系数的关系，得十2=3，x12=m 17 *2L.2.4一元二次方程的根与系数的关系 2.由1,2满足2x=|x2十1，分以下两种情况讨论：① 基础过关 当x2≥0时，20=2十1.把2=3-m代人，得201=3 1.A2.D3.D4.D5.-56.解：x1+x2=4,02 =2.(1)原式=(0十x2)2-2x12=4-2×2=12:(2)原 -十1，解得=专∴a=号m一2=4-器， 式=+正=号=6.7.D8.C9.B10.11m.A 38」 x12 2 六m=号：②当9<0时，2=一2十1，∴2+3-0= 第3页（共42页）