精品解析：广东省六校联盟2026届高三第一次联考数学试题

广东“六校联盟”2026届高三年级第一次联考数学试题 命题：东莞中学 苏传忠 审题：东莞中学于涛 陈建军 （满分150分．考试时间120分钟．） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合,,则 A. B. C. D. 2. 函数最小正周期是（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如下图所示，模型误差（ ） A. 满足一元线性回归模型的所有假设 B. 不满足一元线性回归模型的假设 C. 不满足一元线性回归模型的假设 D. 不满足一元线性回归模型的和的假设 6. 已知，，，则此三数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数及其导函数定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ） A B. C. D. 8. 已知非零复数，满足，则值不可能等于（ ） A. B. 1 C. 0 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，（，），则（ ） A. 存在，使得 B. 不存在，使得 C. 若，则 D. 若，则 10. 掷一枚质地均匀的骰子，可等可能的得到1~6点，现投掷一次这枚骰子，记得到1点或2点或3点为事件，事件，与为两两互不相同的随机事件，且，，则（ ） A. 存在事件B，使得 B. 存在事件C，使得 C. 存在事件B，C，使得 D. 存在事件B，C，使得 11. 在中，，，D为边BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 最大时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为_________（用数字作答）． 13. 已知曲线的焦点，曲线图象上的点满足（），则数列的前10项和_________． 14. 两次购买同一种物品，现采用两种不同的策略进行购买，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．购物方式比较经济的是第_________种，针对上述现象，对于任意两个正实数，，可得到不等关系是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校科技节进行答题竞赛，满分100分，现得到全校学生成绩的频率分布直方图如图所示： （1）求的值； （2）以每一组数据的中间值为代表，估计本次成绩的平均值； （3）若采用分层按比例抽样的方法从成绩在的同学中抽取8名同学的成绩进行失分分析，如果从抽到的8名同学中不放回抽取3份试卷，记得到分数在内的人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 16 已知数列中，，. （1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）令，证明：． 17. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若不等式恒成立，求的取值范围. 18. 已知椭圆（）的离心率，椭圆上动点到右焦点的距离最大值等于3． （1）求的方程； （2）设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与恰有一个公共点 ①求动点的轨迹方程； ②求线段的长度的取值范围． 19. 在平面四边形中，，，，将沿翻折至，其中为动点． （1）若二面角为直二面角，求三棱锥的体积． （2）记三棱锥外接球半径为； ①求的最小值； ②当最小时，求异面直线AB，CP所成角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东“六校联盟”2026届高三年级第一次联考数学试题 命题：东莞中学 苏传忠 审题：东莞中学于涛 陈建军 （满分150分．考试时间120分钟．） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合,,则 A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据交集的定义求解即可. 【详解】因为集合,,故. 故选：C 【点睛】本题主要考查了交集的运算,属于基础题. 2. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦型三角函数的周期公式即可求解. 【详解】最小正周期为. 故选：C. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程的形式进行求解即可. 【详解】由，且该双曲线的焦点在纵轴， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：A 4. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥中，圆锥的高、母线、底面半径之间的勾股关系，结合圆锥体积公式进行求解即可. 【详解】由题意可知该圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为2， 因此圆锥的高为， 所以该圆锥的体积为， 故选：A 5. 对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如下图所示，模型误差（ ） A. 满足一元线性回归模型的所有假设 B. 不满足一元线性回归模型的的假设 C. 不满足一元线性回归模型的假设 D. 不满足一元线性回归模型的和的假设 【答案】C 【解析】 【分析】根据用一元线性回归模型有关概念即可判断. 【详解】解：用一元线性回归模型得到经验回归模型，根据对应的残差图，残差的均值可能成立，但明显残差的轴上方的数据更分散，不满足一元线性回归模型，正确的只有C. 故选：C 6. 已知，，，则此三数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数在上单调递增，结合，，证明，由函数在上单调递增， 结合，证明，由此可得结论. 【详解】因为函数在上单调递增，， 所以，， 化简可得，， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以，即 所以， 所以，即， 故选：D. 7. 已知函数及其导函数定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于AB，条件不足无法判断的函数值，对于CD，首先求得的周期为4，只需求得的值即可，对求导，得，令，可得，由此即可判断. 【详解】对于AB，若函数满足题设条件，则函数（为常数）也满足题设条件， 故无法判断的函数值，故AB错误； 对于CD，若，均为偶函数， 则，的图象分别关于对称，即， 令，求导得， 所以，是常数，即的图象关于中心对称， 所以， 所以的周期为4， 对求导得，，所以的周期也为4， 故，只需求得的值即可， 而，求导得，令，可得， 所以，故C错误，D正确. 故选：D. 8. 已知非零复数，满足，则的值不可能等于（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，根据已知得，，结合各项讨论参数判断正误. 【详解】设，， 则，， 由，则，所以， 若，则，又，故，显然满足， 若，则，又，故，显然满足， 若，则，又，故， 若，当，则，故，当，则或，故或，不符； 若，当，则，故，当，则或，故或，不符； 若，则，又，故，显然满足， 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，（，），则（ ） A. 存在，使得 B. 不存在，使得 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据共线的坐标关系即可求解AB,根据垂直的坐标关系，结合模长公式以及基本不等式即可求解CD. 【详解】对于A，若，则需满足，因此不可能存在，使得，故A错误， 对于B, 若，则需满足，又，，所以不可能成立，故不存在，使得，故B正确， 对于C,若，则，， 当且仅当时取到等号，故C正确， 对于D,若，则， 则，则，又，，则， 所以，故D错误， 故选：BC 10. 掷一枚质地均匀的骰子，可等可能的得到1~6点，现投掷一次这枚骰子，记得到1点或2点或3点为事件，事件，与为两两互不相同的随机事件，且，，则（ ） A. 存在事件B，使得 B. 存在事件C，使得 C. 存在事件B，C，使得 D. 存在事件B，C，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】举例子说明ACD选项；根据结合概率的性质判断B选项. 【详解】若事件：4点；事件：5点，则事件为不可能事件，则，故A正确； 因事件，则，故B错误； 若事件：4点或5点；事件：5点，则事件：5点， 则，故C正确； 若事件：1点或2点或4点；事件：2点或3点或5点或6点，则事件：2点， 则，，，， 则，故D正确. 故选：ACD 11. 在中，，，D为边BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 最大时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】先将已知条件变形化简得，可得到，A选项利用三角形内角和即可判断；B选项利用可判断；C选项分别在和中利用余弦定理，再利用两边之和大于第三边即可求解；D选项，在中利用余弦定理，再借助基本不等式即可求解. 【详解】，， ，即， 整理得，， ，，即. 对于A选项，，，，， ，， ，，不能确定，故A错误； 对于B选项，，，故B正确； 对于C选项，设， 在中，，， 由余弦定理知，， 在中，，， 由余弦定理知，， ，整理得， 在三角形中，两边之和大于第三边，，， ，，故C正确； 对于D选项，在中， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为，，， 的最大值为； 此时不妨设，则， 又，D为边BC的中点，则， ，， 为边BC的中点，， 又，则是边长为2的正三角形， ，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为_________（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【分析】应用二项式定理求展开式通项，根据乘积形式写出含项，即可得. 【详解】对于，展开式通项为，， 所以含项为， 所以该项对应系数为. 故答案为： 13. 已知曲线的焦点，曲线图象上的点满足（），则数列的前10项和_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据抛物线的定义求出数列的通项公式，再利用公式求出前10项和即可. 【详解】在曲线中，，则，那么，焦点F的坐标为， 又点在曲线上，且（）， 设抛物线上的点到焦点的距离为，则根据抛物线的定义可得， ，数列的通项公式为， . 故答案为：. 14. 两次购买同一种物品，现采用两种不同的策略进行购买，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．购物方式比较经济的是第_________种，针对上述现象，对于任意两个正实数，，可得到不等关系是_________． 【答案】 ①. 二 ②. ，（或者） 【解析】 【分析】根据策略，列出两种的平均价格，利用基本不等式作比较，得出结论. 【详解】依题意，假设第一次价格为，第二次价格为，， 第一种方式购买的平均价格为， 第二种方式，设每次购买的花费为，则购买的平均价格为， 由基本不等式得， 所以选第二种方式比较经济； 不等关系是：，，等号成立时. 故答案为：二；， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校科技节进行答题竞赛，满分100分，现得到全校学生成绩的频率分布直方图如图所示： （1）求的值； （2）以每一组数据的中间值为代表，估计本次成绩的平均值； （3）若采用分层按比例抽样的方法从成绩在的同学中抽取8名同学的成绩进行失分分析，如果从抽到的8名同学中不放回抽取3份试卷，记得到分数在内的人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质，即可求解； （2）利用频率分布直方图，结合平均数的求法，即可求解； （3）先求出样本中三段分数的人数，再求出的可取值及对应概率，即可得分布列，再由期望的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 根据题意有：，解得：. 小问2详解】 若以每一组数据的中间值为代表，估计本次考试的平均成绩为： . 【小问3详解】 根据频率分布直方图可知，全校同学中成绩在，，各段的同学人数比例为，所以样本中三段分数的同学人数为1人，3人，4人 所以随机变量的可取值为0，1，2，3 ，， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 . 16. 已知数列中，，. （1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）令，证明：． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义得为等比数列，即可求解， （2）根据作差法即可比较. 【小问1详解】 由题意可得：，因为，， 所以，， 所以数列是首项为2公比为2的等比数列， 所以，解得：. 【小问2详解】 由（1）知. 因为，所以数列各项为正的递减数列， 故，， ， 所以. 17. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，，对函数求导，利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解； （2）[方法一] 记，则恒成立等价于恒成立.对函数求导，通过分类讨论研究函数在上的单调性及最小值即可求解； [方法二] 不等式等价于，可变形为：.构造函数，分析可知在上单调递增，进而可得恒成立.设，对求导，研究在上的单调性及最大值即可求解. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以，， 故在点处的切线方程为. 【小问2详解】 [方法一] 记，则的定义域为，且，恒成立等价于恒成立. 所以，，所以在上单调递增. 又，. 当时，， 当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增， 所以，所以恒成立，满足题意； 当时，，不满足题意，舍去； 当时，，， 由零点存在性定理可知：存在唯一，使得，即：，， 当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增， 所以，满足题意. 综上所述，的取值范围是. [方法二] 不等式等价于，可变形为：. 构造函数，则，所以在上单调递增. 原不等式恒成立等价于恒成立，即， 所以不等式，即恒成立. 设，则的定义域为，， 所以当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减， 所以，所以，即， 即的取值范围是. 18. 已知椭圆（）的离心率，椭圆上动点到右焦点的距离最大值等于3． （1）求的方程； （2）设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与恰有一个公共点 ①求动点的轨迹方程； ②求线段的长度的取值范围． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）①设，分和两种情况讨论，当时，可直接求得或，当时，的垂直平分线方程为：，联立直线与椭圆方程，结合条件，利用直线与椭圆的位置关系，得，化简即可求解；②利用恰为圆心，利用圆的性质有，再求出的范围，即可求解. 【小问1详解】 由题可知，，解得，， 又，所以椭圆方程为. 【小问2详解】 由（1）知，设，则的中点为， ①当时，的垂直平分线方程为， 此时，则或；即或 当时，的垂直平分线方程为：， 由，消得， ， 整理得， 因为线段的垂直平分线与恰有一个公共点， 则， 即， 整理得， 即， 因为，所以， 而，也满足该式， 故点的方程为，即． ②由①知，点的方程是以为圆心，为半径的圆，且圆心为椭圆左焦点， 又易知点在圆内，则， 又由椭圆的性质知，，得到， 故所求线段MQ长度的取值范围是 19. 在平面四边形中，，，，将沿翻折至，其中为动点． （1）若二面角为直二面角，求三棱锥的体积． （2）记三棱锥外接球半径为； ①求的最小值； ②当最小时，求异面直线AB，CP所成角． 【答案】（1） （2）① 2；② 【解析】 【分析】（1）首先求得，然后结合棱锥体积公式即可求解； （2）①建立适当的空间直角坐标系，设二面角大小为，，则，根据题意列出方程组，求得，故只需求出，的范围即可；②求得AB，CP的方向向量，结合向量夹角的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 平面四边形ABCD中，作，，交AC延长线于E，由题意知：， 因为，，所以， 即三角形是直角三角形， 因平面平面，平面平面，， 所以平面， 故：； 【小问2详解】 以为原点，，分别为轴和轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，， （ⅰ）设二面角大小为，， 因为，，所以，， 所以，， 所以， 故可设，． 设外接球球心坐标，半径为， 则两式相减，化简得：， 所以：， 上式中，令，， 则， 令，令，所以， 所以， 令， 因为，所以由对勾函数性质可知，的最小值是， 而 ， 即的取值范围是， 所以的取值范围是，的取值范围是， 的取值范围是，的取值范围是， 的取值范围是， 所以， 因为，等号成立当且仅当，即， 又因为，所以，即， 解得，， 所以， （ⅱ）因为，由（i）可知此时，， 因为，所以，，， 所以， 因为异面直线所成角的范围为， 故所求异面直线所成角为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$