第17讲 导数与函数的极值、最值讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习教案围绕导数与函数的极值、最值核心考点，按“定义本质-求法步骤-模型应用”的逻辑梳理知识，涵盖极值判定条件、最值求解流程及常见函数性质。通过知识梳理夯实基础，考点分析（极值问题、最值问题、综合应用）突破关键能力，真题训练强化规范，构建系统性复习体系。 资料注重培养数学思维与数学语言能力，如在极值点讨论中引导学生通过导数符号变化推理单调性，在常见函数模型中总结通性通法。限时训练分层设计，配合即时反馈，帮助学生高效突破难点，提升用数学语言表达解题过程的能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第17讲　导数与函数的极值、最值 知识梳理 1.函数的极值与导数 (1)函数的极小值:对于函数y=f(x),若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f'(a)=0,而且在点x=a附近的左侧　　　　　,右侧　　　　,则　　　叫作函数y=f(x)的极小值点,　　　　叫作函数y=f(x)的极小值.  (2)函数的极大值:对于函数y=f(x),若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧　　　　　,右侧　　　　,则　　　　叫作函数y=f(x)的极大值点,　　　　叫作函数y=f(x)的极大值.  2.函数的最大值与最小值 (1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下: ①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的　　　　;  ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值　　比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.  3.几个常见函数 解析式 大致图象 单调区间 极值点 y= 单调递增区间为(-∞,1); 单调递减区间为(1,+∞) x=1 y= 单调递增区间为(1,+∞); 单调递减区间为(-∞,0),(0,1) x=1 y=xex 单调递增区间为(-1,+∞); 单调递减区间为(-∞,-1) x=-1 y= 单调递增区间为(0,e); 单调递减区间为(e,+∞) x=e y= 单调递增区间为(e,+∞); 单调递减区间为(0,1),(1,e) x=e y=xln x 单调递增区间为; 单调递减区间为 x= 常用结论 1.对于可导函数f(x),f'(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件. 2.若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且在开区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点. 3.对于连续的函数y=f(x),在区间[a,b]上,y=f(x)的极值有可能是最值,但最值只要不在区间端点处取得,其必定是极值. 考点01　利用导数解决函数的极值问题 例1 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数g(x)=xf'(x)的图象 如图所示,则下列结论中一定正确的是 (　 ) A.f(x)有2个极值点 B.f(0)为函数f(x)的极大值 C.f(x)有1个极小值 D.f(-1)为f(x)的极小值 例2 已知函数f(x)=ln x+x2+ax+2的图象在点(2,f(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直. (1)求a; (2)求f(x)的单调区间和极值. 例3 已知函数f(x)=x-aln x-1(a∈R). (1)若曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线为x轴,求a的值; (2)讨论f(x)在区间(1,+∞)上极值点的个数. 例4 (1)(多选题)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得极大值-2,则 (　 ) A.a=-2 B.b=-2 C.f'(2)=- D.f(2)=- (2)已知函数f(x)=ex-ax-a3. ①当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; ②若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围. 考点02　利用导数求解函数的最值问题 例5 已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R). (1)若a=1,求函数f(x)的单调区间和最值; (2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值. 考点03函数的单调性、极值、最值的综合应用 例5设函数 （1）当时，求的极值； （2）已知，若单调递增，求的最大值； （3）已知，设为的极值点，求的最大值. 限时训练 (时间:45分钟) 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1.已知函数f(x)=x3+x2+ax+2,则“f(x)有极值”是“a<1”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.函数f(x)=3ln x+x2-4x的极大值为(　 ) A.-2 B.- C.-3 D.- 3.已知f(x)=2x3-6x2+a(a为常数)在[-2,2]上的最大值为3,则函数f(x)在[-2,2]上的最小值是 (　 ) A.-37 B.-29 C.-5 D.-8 4. 函数f(x)=x3-3x在区间(m,2)上有最小值,则m的取值范围是(　 ) A.[-3,1) B.(-3,1) C.(-2,1) D.[-2,1) 5.已知函数f(x)=cos x+,x∈[0,π],则函数f(x)的极小值点为 (　 ) A.或 B. C. D. 6.已知函数f(x)=aex-x2有两个极值点,则实数a的取值范围为 (　 ) A.0<a< B.0<a<ln 2 C.a<e D.0<a<ln 7.(多选题)已知f'(x)为函数f(x)的导函数,若函数y=f'(x)-1的大致图象如图所示,且f(1)=1,则 (　 ) A.x=1是f(x)的极小值点 B.f(x)有2个极大值点 C.f(x)在区间(0,3)上单调递增 D.f(2)>2 8.(多选题) 已知函数f(x)=aebx+c(a,b,c均为常数且a≠0)的导函数f'(x)满 足f'(x)=3f(x)+3,且f(0)=1,则下列说法中正确的有 (　 ) A.f'(0)=6 B.f'(x)=6e3x C.x=e是f(x)的极值点 D.不等式4f(x)>f'(x)的解集为 9.已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0,则a-b=　　　　.  10.已知函数f(x)=x3+x2-x,x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值; (2)求f(x)在区间上的最大值与最小值. 11.已知函数f(x)=,当x=1时,f(x)有极大值,则a= (　 ) A.2 B.1 C.0 D.-1 12.(多选题)已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex的极大值点为0,极小值点为m(m>0),且极小值为0,则 (　 ) A.a>0 B.b>0 C.c>0 D.m=2 13.已知函数f(x)=xex-a(ln x+x),若a>0,则f(x)的最小值为　　　　.  14.已知函数f(x)=aln x+-x. (1)若a=1,b=-2,求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程; (2)若x=1是f(x)的极小值点,求b的取值范围. 参考答案 1.C　[解析] f'(x)=x2+2x+a,若f(x)有极值,则方程f'(x)=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4-4a>0,解得a<1;反之,当a<1时,f'(x)=0有两个不相等的实数根,则f(x)有极值.所以“f(x)有极值”是“a<1”的充要条件.故选C. 2.D　[解析] 函数f(x)=3ln x+x2-4x的定义域为(0,+∞),f'(x)==,令f'(x)=0,得x=1或x=3.当0<x<1或x>3时,f'(x)>0,当1<x<3时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,1),(3,+∞)上单调递增,在(1,3)上单调递减,所以f(x)的极大值为f(1)=0+-4=-.故选D. 3.A　[解析] 由题意可知f'(x)=6x2-12x=6x(x-2),当-2<x<0时,f'(x)>0,当0<x<2时,f'(x)<0,则f(x)在(-2,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,所以函数f(x)在[-2,2]上的最大值为f(0)=a=3,故f(x)=2x3-6x2+3,则f(2)=-5,f(-2)=-37,显然当x=-2时,函数f(x)在[-2,2]上取得最小值-37.故选A. 4.D　[解析] 由题可知f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f'(x)=0,得x=±1.易知函 数f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,且 f(-2)=-2,f(-1)=2,f(1)=-2,f(2)=2,作出f(x)的大致图象,如图.由图知-2≤m<1.故选D. 5.D　[解析] 由f(x)=cos x+,x∈[0,π],得f'(x)=-sin x+,x∈[0,π].令f'(x)=0,可得x=或x=.当0≤x<时,f'(x)>0,则f(x)在上单调递增,当<x<时,f'(x)<0,则f(x)在上单调递减,当<x≤π时,f'(x)>0,则f(x)在上单调递增,所以f(x)在x=处取得极大值,在x=处取得极小值.所以函数f(x)的极小值点为.故选D. 6.A　[解析] 因为f(x)=aex-x2 ,所以f'(x)=aex-2x.因为函数f(x)有两个极值点,所以关于x的方程aex-2x=0有两个解,即直线y=a和g(x)=的图象有两个交点.因为g'(x)=,所以当x<1时,g'(x)>0,g(x)在(-∞,1)上单调递增,当x>1时,g'(x)<0,g(x)在(1,+∞)上单调递减,所 以g(x)max=g(1)=,当x<0时,g(x)<0,当x→+∞时g(x)→0 且g(x)>0,作出g(x)的大致图象,如图所示. 若直线y=a和g(x)=的图象有两个交点,则0<a<.故选A. 7.BCD　[解析] 对于A,由题意知,当x=1时,f'(x)-1=0,则f'(1)=1≠0,所以x=1不是f(x)的极小值点,故A错误;对于B,C,当x<-2时,f'(x)-1>-1,即f'(x)>0,则f(x)单调递增,当-2<x<0时,f'(x)-1<-1,即f'(x)<0,则f(x)单调递减,当0<x<3时,f'(x)-1>-1,即f'(x)>0,则f(x)单调递增,当x>3时,f'(x)-1<-1,即f'(x)<0,则f(x)单调递减,所以当x=-2或x=3时,f(x)取得极大值,f(x)在区间(0,3)上单调递增,故B,C正确;对于D,由题意知f'(1)=f'(2)=1,由题图得当1<x<2时,f'(x)-1>0,则f'(x)>1,又f(1)=1,所以f(2)>2,故D正确.故选BCD. 8.ABD　[解析] 对于A,B,由f(x)=aebx+c,得f'(x)=abebx,又f'(x)=3f(x)+3,所以abebx=3aebx+3c+3,又f(0)=1,所以f(0)=ae0+c=a+c=1,则解得所以f(x)=2e3x-1,f'(x)=6e3x,则f'(0)=6e3×0=6,故A,B正确;对于C,由f'(x)=6e3x>0恒成立,知f(x)在R上单调递增,则f(x)无极值点,故C错误;对于D,4f(x)>f'(x)即为8e3x-4>6e3x,即e3x>2,解得x∈,故D正确.故选ABD. 9.-7　[解析] 根据题意得,f'(x)=3x2+6ax+b,∵函数f(x)在x=-1处有极值0,∴解得或当a=1,b=3时,f'(x)=3x2+6x+3≥0恒成立,此时函数f(x)无极值点;当a=2,b=9时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),此时x=-1是函数f(x)的极值点,满足条件.综上,a=2,b=9,故a-b=-7. 10.解:(1)f'(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1),令f'(x)=0,得x=或x=-1. 当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,则f(x)在(-∞,-1)上单调递增, 当x∈时,f'(x)<0,则f(x)在上单调递减, 当x∈时,f'(x)>0,则f(x)在上单调递增, 所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和,单调递减区间为, 所以f(x)的极大值为f(-1)=1,极小值为f=-. (2)由(1)可知,f(x)在[-2,-1)上单调递增,在上单调递减,在上单调递增, 又f(-2)=-2<f=-,f(-1)=1>f=-, 所以f(x)在区间上的最大值为1,最小值为-2. 11.B　[解析] 由题意得f'(x)=,因为当x=1时,f(x)有极大值,所以解得当a=1,b=0时,f'(x)=,当x>1时,f'(x)<0,f(x)在(1,+∞)上单调递减,当x<1时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,1)上单调递增,故当x=1时,f(x)有极大值,符合题意.所以a=1,故选B. 12.ACD　[解析] 由f(x)=(ax2+bx+c)ex,可得f'(x)=[ax2+(2a+b)x+b+c]·ex.令f'(x)=0,则ax2+(2a+b)x+b+c=0,设g(x)=ax2+(2a+b)x+b+c,因为f(x)的极大值点为0,极小值点为m(m>0),所以0和m为方程g(x)=0的两个根,且函数g(x)的图象开口向上,所以a>0,且解得 又因为m>0,所以b<0,c>0,故A正确,B错误,C正确;f(x)=a[x2-(m+2)x+m+2]·ex,因为f(m)=0,所以a[m2-(m+2)m+m+2]·em=0,化简得a(-m+2)em=0,又因为a>0,em>0,所以-m+2=0,解得m=2,所以D正确.故选ACD. 13.a-aln a　[解析] 函数f(x)的定义域为(0,+∞),求导得f'(x)=(x+1)=(xex-a).令g(x)=xex-a,x>0,求导得g'(x)=(x+1)ex>0,则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,由g(0)=-a<0,g(a)=aea-a>0,得g(x)在(0,a)上存在唯一的零点x0,即x0=a,于是当0<x<x0时,f'(x)<0,当x>x0时,f'(x)>0,则f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(x0)=x0-a(ln x0+x0)=x0-aln(x0)=a-aln a. 14.解:(1)当a=1,b=-2时,f(x)=ln x--x,x>0,则f'(x)=+-1=,令f'(x)=2,得=2, 所以3x2-x-2=(x-1)(3x+2)=0,解得x=1(负值舍去), 又f(1)=-3,所以切点坐标为(1,-3),结合切线的斜率为2,可得切线方程为y+3=2(x-1),即2x-y-5=0. (2)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=--1=, 因为x=1是f(x)的极小值点,所以f'(1)=-1+a-b=0,可得a=b+1,则f'(x)==-. 当b≤0时,令f'(x)>0,得x∈(0,1),令f'(x)<0,得x∈(1,+∞),则f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 所以x=1是f(x)的极大值点,不满足题意; 当0<b<1时,令f'(x)>0,得x∈(b,1),令f'(x)<0,得x∈(0,b)∪(1,+∞), 则f(x)在(b,1)上单调递增,在(0,b),(1,+∞)上单调递减,所以x=1是f(x)的极大值点,不满足题意; 当b=1时,f'(x)=-≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(x)无极值,不满足题意; 当b>1时,令f'(x)>0,得x∈(1,b),令f'(x)<0,得x∈(0,1)∪(b,+∞), 则f(x)在(1,b)上单调递增,在(0,1),(b,+∞)上单调递减, 所以x=1是f(x)的极小值点,满足题意. 综上,b的取值范围是(1,+∞). 1 学科网（北京）股份有限公司 $$