第16讲 导数与函数的单调性讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习资料聚焦导数与函数单调性核心考点，涵盖导数与单调性的双向关系、含参函数单调性分析、利用导数比较大小和解不等式、根据单调性求参数范围等高考高频内容。资料通过知识梳理表格化呈现核心关系，结合常用结论强调易错点，分四个考点逐层突破，配套例题精讲和限时训练，形成“梳理-讲解-训练”的系统复习链条，帮助学生构建完整知识网络。 资料突出考点分层设计与核心素养培养，如含参单调性分析中通过分类讨论培养数学思维，利用导数比较大小问题引导学生用数学眼光发现函数构造规律。限时训练包含选择、填空、解答及多选题型，贴合高考命题形式，能有效提升学生解题速度与准确率，为教师把控复习节奏、实现高效备考提供有力支持。

第16讲　导数与函数的单调性 知识梳理 函数的单调性与导数 导数到 单调性 单调 递增 在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调　　　  单调 递减 在某个区间(a,b)内,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调　　　  单调性 到导数 单调 递增 若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增,则在区间(a,b)内,f'(x)　　　  单调 递减 若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减,则在区间(a,b)内,f'(x)　　　  常用结论 1.在某区间上f'(x)>0(f'(x)<0)是函数f(x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件. 2.可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是∀x∈(a,b),f'(x)≥0(f'(x)≤0)且f'(x)在(a,b)的任何子区间上都不恒为零. 求函数的单调区间时,需注意:(1)在函数定义域内讨论导数的符号;(2)两个或多个单调递增(减)区间之间的连接符号,不用“∪”,可用“,”或用“和”. 考点01　不含参数的函数的单调性 例1 (1)函数f(x)=-ln x+2x2的单调递增区间是 (　 ) A.和 B.∪ C. D. (2)已知函数f(x)=x-ln x,则f(x)的单调递减区间为　　　　.  考点02　含参数的函数的单调性 例2 （1）已知函数f(x)=ln x-mx+m,m∈R,求f(x)的单调区间. （2）已知函数 . 讨论 的单调性. 考点03　利用导数比较大小、求解不等式 例3 (1)已知函数f(x)=cos x+ex,且a=f(2),b=f,c=f(ln 2),则a,b,c的大小关系为(　 ) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a (2)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f'(x)<ex,且f(2)=e2+2,则不等式f(ln x)>x+2的解集是　　　　.  (3)设函数 是奇函数 的导函数, ,当 时, ,则使得 成 立的 的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 考点04　根据函数的单调性求参数的值或范围 例4 (1)已知k≥1,若函数f(x)=x2-2ln x在区间(k2-1,k+1)上不单调,则实数k的取值范围是 (　 ) A.(1,2) B.(,2) C.[1, ) D. (2)已知函数f(x)=x3+2ln x-mx在定义域上单调递增,则实数m的取值范围是　　　　.  (3)已知函数 存在 单调增区间,则 的取值范围为　　　 限时训练(时间:45分钟) 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1.若f(x)=2ln x-x2,则f(x)的单调递增区间为 (　 ) A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(1,+∞) 2.若函数f(x)=2x3-ax2+7的单调递减区间是[0,2],则实数a= (　 ) A.6 B.3 C.2 D.0 3.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则f(x)的图象可能为 (　 ) A B C D 4.若函数h(x)=ln x-2ax在[1,3]上不单调,则实数a的取值范围为 (　 ) A. B. C.(-∞,1) D. 5.已知定义在[-3,3]上的函数f(x)=ex-e-x-2x+1,若f(m2)+f(m-2)≤2,则m的取值范围是 (　 ) A.[-2,1] B.[-1,2] C.[-1,] D.[-1,1] 6.若函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围是 (　 ) A.[1,3) B.(1,3] C.[1,3] D.(1,3) 7.已知a=ln,b=sin,c=,则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.c>b>a B.c>a>b C.b>c>a D.a>b>c 8.(多选题)若函数f(x)=ax3-3x2+x+1恰好有三个单调区间,则实数a的值可以是 (　 ) A.-2 B.0 C.1 D.3 9.若函数h(x)=ln x-ax2-2x在[1,4]上存在单调递增区间,则实数a的取值范围是　　　　　　.  10.已知函数f(x)=x3+ax2-a2x+2. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数f(x)的单调区间. 11.(多选题)已知函数f(x)=ax2-4ax-ln x,则“f(x)在(1,3)上不单调”的充分不必要条件可以是 (　 ) A.a∈ B.a∈ C.a∈ D.a∈ 12.(多选题)在人工神经网络中,单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinh x=,双曲余弦函数cosh x=,双曲正切函数tanh x=.则 (　 ) A.双曲正弦函数是增函数 B.双曲余弦函数是增函数 C.双曲正切函数是增函数 D.tanh(x+y)= 13.已知函数f(x)=log2x-x+1,则不等式f(x)<0的解集是　　　　.  14.已知函数f(x)=ex-cos x. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)设g(x)=xf'(x)-f(x),证明:g(x)在(0,+∞)上单调递增; (3)判断3f与4f的大小关系,并加以证明. 参考答案 1.B　[解析] 由题可知,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-2x==,令f'(x)>0,得0<x<1,所以f(x)的单调递增区间为(0,1),故选B. 2.A　[解析] 由题得f(x)的定义域为R,由f(x)=2x3-ax2+7,可得f'(x)=6x2-2ax.因为f(x)的单调递减区间是 [0,2],所以x=0和x=2是6x2-2ax=0的两个根,则24-4a=0,解得a=6.故选A. 3.C　[解析] 由导函数的图象可知函数f(x)应是先增后减再增的,故排除A,D;当x>t时,随着x的增大,导函数的值越来越大,则原函数增长的越来越快,排除B.故选C. 4.A　[解析] 由题可得h(x)的定义域为(0,+∞),h'(x)=-2a,若a≤0,则h'(x)>0,h(x)在(0,+∞)上单调递增,不符合题意;若a>0,令h'(x)=0,则x=,当x∈时,h'(x)>0,h(x)单调递增,当x∈时,h'(x)<0,h(x)单调递减,因为函数h(x)=ln x-2ax在[1,3]上不单调,所以1<<3,所以<a<.故选A. 5.D　[解析] 设g(x)=f(x)-1=ex-e-x-2x,x∈[-3,3],则g(-x)=e-x-ex+2x=-g(x),故g(x)为[-3,3]上的奇函数.又g'(x)=ex+e-x-2≥2-2=0(当且仅当x=0时取等号),所以g(x)在[-3,3]上单调递增.由f(m2)+f(m-2)≤2可得[f(m2)-1]+[f(m-2)-1]≤0,即g(m2)+g(m-2)≤0,所以g(m2)≤g(2-m),故-3≤m2≤2-m≤3,解得-1≤m≤1,故选D. 6.C　[解析] 当x≤0时,由f(x)=ax+cos x,得f'(x)=a-sin x,由题知f'(x)≥0恒成立,所以a≥1;当x>0时,由f(x)=x3+ax2-a+4单调递增,得f'(x)=x2+2ax≥0恒成立,解得-a≤0,即a≥0.又f(x)在R上单调递增,所以-a+4≥1,解得a≤3.综上可得,实数a的取值范围是[1,3].故选C. 7.A　[解析] 易知a=ln<0.令f(x)=sin x-x,x>0,则f'(x)=cos x-1≤0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)<f(0)=0,所以sin x-x<0,所以sin x<x,所以sin<,即0<b<.令g(x)=ex-x-1,则g'(x)=ex-1,当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,所以函数g(x)=ex-x-1在(-∞,0)上单调递减,当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,所以函数g(x)=ex-x-1在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0,即ex-x-1≥0,即ex≥x+1(当且仅当x=0时取等号),所以>1-=,即c>.所以a<b<c,故选A. 8.AC　[解析] 若a=0,则函数f(x)=-3x2+x+1,易知f(x)有两个单调区间,不符合题意.若a≠0,则f'(x)=3ax2-6x+1,要使函数f(x)恰有三个单调区间,则f'(x)=0有两个不等实数根,即Δ=36-12a>0,解得a<3,又a≠0,所以a<3且a≠0,则a=-2,1满足题意.故选AC. 9.　[解析] 由h(x)=ln x-ax2-2x,得h'(x)=-ax-2(x>0).因为h(x)在[1,4]上存在单调递增区间,所以h'(x)>0在[1,4]上有解,所以当x∈[1,4]时,a<-有解.令g(x)=-,x∈[1,4],令t=,则t∈,g(x)=-即为φ(t)=t2-2t=(t-1)2-1,t∈,则φ(t)max=φ=-,此时x=4,所以a<-. 10.解:(1)若a=1,则f(x)=x3+x2-x+2,f'(x)=3x2+2x-1,所以f'(1)=3+2-1=4, f(1)=1+1-1+2=3, 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-3=4(x-1),即4x-y-1=0. (2)f'(x)=3x2+2ax-a2=(3x-a)(x+a). 当a=0时,f'(x)=3x2≥0恒成立,则函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增. 当a>0时,由f'(x)>0得x>或x<-a,由f'(x)<0得-a<x<, 所以函数f(x)在上单调递增,在(-∞,-a)上单调递增,在上单调递减. 当a<0时,由f'(x)>0得x>-a或x<,由f'(x)<0得<x<-a, 所以函数f(x)在(-a,+∞)上单调递增,在上单调递增,在上单调递减. 综上所述, 当a=0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间; 当a>0时,f(x)的单调递增区间为,(-∞,-a),单调递减区间为; 当a<0时,f(x)的单调递增区间为(-a,+∞),,单调递减区间为. 11.BC　[解析] 由题可得f'(x)=2ax-4a-=(x>0).当a=0时,f'(x)=-<0,则f(x)在(0,+∞)上单调递减,不符合题意,故a≠0.令g(x)=2ax2-4ax-1(a≠0),则g(x)的图象的对称轴方程为x=1,若f(x)在(1,3)上不单调,则函数g(x)=2ax2-4ax-1在区间(1,3)上有变号零点,则即解得a>或a<-.因为,为∪的真子集,所以“f(x)在(1,3)上不单调”的充分不必要条件可以是“a∈”或“a∈”.故选BC. 12.ACD　[解析] 对于A,因为函数y=ex与函数y=-e-x都是R上的增函数,所以双曲正弦函数sinh x=也是增函数,故A正确;对于B,双曲余弦函数cosh x=为偶函数,其图象关于y轴对称,在y轴两侧双曲余弦函数的单调性不同,所以双曲余弦函数不是增函数,故B错误;对于C,tanh x=====1-,因为y=e2x+1在R上单调递增,且y=e2x+1>1,所以y=在R上单调递增,故tanh x=1-是增函数,故C正确;对于D,由C知tanh x=,则tanh(x+y)=,= = ===,故tanh(x+y)=,故D正确.故选ACD. 13.(0,1)∪(2,+∞)　[解析] 由题知函数f(x)=log2x-x+1的定义域是(0,+∞),f'(x)=-1=.令f'(x)=0,解得x=>1,所以当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,又f(1)=0,1<<=2,f(2)=0,所以要使f(x)<0,则需0<x<1或x>2.综上所述,不等式f(x)<0的解集为(0,1)∪(2,+∞). 14.解:(1)由题可知f(0)=0,因为f'(x)=ex+sin x,所以f'(0)=1, 所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x. (2)证明:由题得,g(x)=x(ex+sin x)-(ex-cos x)=(x-1)ex+xsin x+cos x, 所以g'(x)=x(ex+cos x). 当x>0时,因为ex+cos x>e0+cos x=1+cos x≥0,所以g'(x)>0, 即g(x)在(0,+∞)上单调递增, 故得证. (3)3f>4f,证明如下: 设h(x)=,x∈(0,+∞),则h'(x)==, 由(2)知g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)>g(0)=0,则h'(x)>0, 即h(x)在(0,+∞)上单调递增, 故h>h,即3f>4f得证. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$