第15讲 导数的概念及其意义、导数的运算讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦导数的概念、意义及运算等高考核心考点，以变化率为起点，串联导数定义、几何意义、导函数及运算公式法则，形成逻辑体系。通过知识梳理、考点分层讲解（含概念理解、运算技巧、几何意义应用）和限时训练，帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料采用“概念-运算-应用”递进教学法，突出导数几何意义的公切线问题（如例4对比两曲线切线方程建立等量关系），培养学生用数学思维分析问题。设置基础到综合的限时训练（如选择、填空、解答题分层），配合即时反馈，确保高效复习。助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

第三单元　导数及其应用 第15讲　导数的概念及其意义、导数的运算 知识梳理 1.变化率与导数 (1)平均变化率: 概念 对于函数y=f(x),比值=　　　　　叫作函数y=f(x)从x0到x0+Δx的　　　　变化率  几何意义 函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx]上对应的图象的两端点连线所在直线的　　　  (2)函数y=f(x)在x=x0处的导数: 概念 在x0处 ==k,我们称常数k为函数y=f(x)在　　　　处的导数,记作f'(x0)或y'  几何意义 f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处(也称在x=x0处)的切线的　　,其切线方程是　　　　　 物理意义 导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率 (3)导函数 当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数.当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即f'(x)=y'=. 2.导数的运算 10. 基本初等函数的导数公式: （1） ,则 ; （2） ,则 ,特别 的, ; （3） ,则 ,特别 的, ,则 ; （4） ,则 ,特别的, ,则 ; 20. 导数的运算法则: （1） ; （2） ,特别的, ( 为常数); （3） ; （4） ,即 . 常用结论 1.可导奇函数的导数是偶函数,可导偶函数的导数是奇函数,可导周期函数的导数还是周期函数. 2.函数f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其绝对值的大小反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. 考点01　导数的概念 例1（1）设函数f(x)=ex-1,则= (　 ) A.e B.2 C.e-1 D.1 （2）设函数 在 处可导,且 ,则 等 于( ) A. 1 B. -1 C. D. （3）设函数 在 处可导,则 等于 A. B. C. D. 考点02　导数的运算 例2 (1)下列求导计算结果错误的是 (　 ) A.'=- B.'= C.(xln x)'=1+ln x D.(tan x)'= (2)已知函数f(x)的导函数是f'(x),且f(x)=f'cos x-sin x,则f'=　　　　.  考点03　导数的几何意义 例3 (1)曲线y=在x=1处的切线方程为 (　 ) A.x+2y-3=0 B.x-2y+1=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+1=0 (2)已知函数f(x)=axb的导函数为f'(x)=3x2,则a+b=　　　　,过点(1,1)且与曲线y=f(x)相切的直线的方程为　　　　　　　　　　.  例4 (1)若直线l是曲线y=ln x-1与y=ln (x-1)的公切线,则直线l的方程为 (　 ) A.y=x-2 B.y=x C.y=x+1 D.y=ex (2) 已知直线y=kx+b是f(x)=ex-1的图象与g(x)=ex+2025-2026的图象的公切线,则实数k=　　　　.  （3）已知f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m等于(　　) A．－1 B．－3 C．－4 D．－2 例5 (1)若曲线y=eax(a为常数)在点(0,1)处的切线与直线2x-y+3=0平行,则a= (　 ) A.1 B.2 C. D.- (2) 若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=　　　　.  (3)若曲线y=(a为常数)有两条过坐标原点的切线,则实数a的取值范围是　　　　　　.  例 6 已知函数 ,函数 的图象在 点 和点 的两条 切线互相垂直,且分别交 轴于 两 点,则 的取值范围是　　　　　　 限时训练 (时间:45分钟) 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1.若=6,则f'(2)= (　 ) A. B.6 C.3 D.-3 2.已知函数f(x)=x2f'+ln x-9,则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程是 (　 ) A.y=x-9 B.y=19x-19 C.y=19x- D.y=x+ 3.已知函数f(x)的导函数为f'(x),记f1(x)=f'(x),f2(x)=f'1(x),…,fn+1(x)=f'n(x)(n∈N*),若集合M={f(x),f1(x),f2(x),…,fn(x),…},则f(x)的解析式可以为 (　 ) A.f(x)=sin x B.f(x)=ex C.f(x)=ln x D.f(x)=x2+2x+3 4.若曲线y=ex+a(a为常数)在x=0处的切线也与曲线y=ln x相切,则实数a= (　 ) A.-2 B.1 C.-1 D.e 5.已知函数f(x)=(x-a)(x-2)(x-3)(x-4),若曲线y=f(x)在x=2处的切线方程为y=6x+b,则a+b= (　 ) A.-11 B.-12 C.-13 D.-14 6. 如图是函数f(x)的部分图象,记f(x)的导函数为f'(x),则下列选项中值最大的是 (　 ) A.f(3) B.3f'(3) C.f(-14) D.f'(8) 7.下列求导运算结果正确的是 (　 ) A.(ln 2025)'= B.[log4(4x)]'= C.'= D.'=3x2- 8.(多选题)过点M(1,0)且与曲线y=x3-x相切的直线的方程可能为 (　 ) A.2x+y-2=0 B.x+4y-1=0 C.2x-y-2=0 D.x-4y-1=0 9.已知f(x)=x3-2x2,那么f(3.06)的近似值为　　　　.(保留小数点后一位数字)  10.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线x-y-2=0的最短距离是　　　　.  11.已知函数f(x)=则f(x)的图象在点(5,f(5))处的切线方程为 (　 ) A.4x-y-28=0 B.4x+y-12=0 C.x-4y-12=0 D.x+4y-22=0 12.设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (　 ) A. B. C. D. 13.(多选题)在平面直角坐标系xOy中,过点P有且只有一条直线与曲线y=ln x相切,则点P的坐标可能是(　 ) A.(0,1) B.(1,0) C.(2,0) D.(1,1) 14.若曲线C1:y=x2与曲线C2:y=(a>0)存在公切线,则实数a的取值范围为　　　　.  参考答案 1.B　[解析] 由题可知,=f'(2)=6,故选B. 2.B　[解析] 由题得f'(x)=2f'x+,则f'=2f'×+3,解得f'=9,故f(x)=9x2+ln x-9,则f'(x)=18x+,得f(1)=9+0-9=0,f'(1)=19,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=19x-19.故选B. 3.C　[解析] 对于选项A,因为f(x)=sin x,所以f1(x)=cos x,f2(x)=-sin x,f3(x)=-cos x,f4(x)=sin x=f(x),不满足集合元素的互异性,所以选项A错误;对于选项B,因为f(x)=ex,所以f1(x)=ex=f(x),不满足集合元素的互异性,所以选项B错误;对于选项C,因为f(x)=ln x,所以f1(x)=,f2(x)=-,f3(x)=,…,所以选项C正确;对于选项D,因为f(x)=x2+2x+3,所以f1(x)=2x+2,f2(x)=2,当n≥3时,fn(x)=0,不满足集合元素的互异性,所以选项D错误.故选C. 4.A　[解析] 由y=ex+a,得y'=ex,则曲线y=ex+a在x=0处的切线斜率为1.当x=0时,y=1+a,则曲线y=ex+a在x=0处的切线方程为y-(1+a)=1×(x-0),即y=x+1+a.由y=ln x,得y'=,设直线y=x+1+a与曲线y=ln x的切点坐标为(x0,y0),则=1,解得x0=1,则y0=0,又切点在切线y=x+1+a上,所以0=1+1+a,解得a=-2.故选A. 5.C　[解析] 由题意知f(2)=(2-a)×(2-2)×(2-3)×(2-4)=0,所以0=6×2+b,解得b=-12.因为f'(x)=(x-a)(x-3)(x-4)+(x-2)[(x-a)(x-3)(x-4)]',所以f'(2)=(2-a)×(2-3)×(2-4)=6,解得a=-1,所以a+b=-1+(-12)=-13.故选C. 6.A　[解析] 由题图可知,f(-14),f'(8)为负数,f(3),3f'(3)为正数,故排除C,D. 设A(3,f(3)),连接OA,作曲线y=f(x)在点A处的切线,如图所示,由图可知, 直线OA的斜率kOA大于f'(3),则>f'(3),即f(3)>3f'(3),所以f(3)的值最大.故选A. 7.B　[解析] 对于A,(ln 2025)'=0,故A错误;对于B,[log4(4x)]'==,故B正确;对于C,'='===-,故C错误;对于D,'=3x2+,故D错误.故选B. 8.BC　[解析] 由y=x3-x,得y'=3x2-1.设切点坐标为(m,m3-m),则切线的斜率k=3m2-1,切线的方程为y-(m3-m)=(3m2-1)(x-m).又切线过点M(1,0),所以-(m3-m)=(3m2-1)(1-m),整理得(m-1)2(2m+1)=0,解得m=1或m=-.当m=1时,k=2,切线的方程为2x-y-2=0;当m=-时,k=-,切线的方程为x+4y-1=0.故选BC. 9.9.9　[解析] 由题知,f'(3)===[7Δx+(Δx)2+15]=15,得 ≈15,所以f(3.06)≈9+15×0.06=9.9. 10.　[解析] 由y=x2-ln x(x>0)可得y'=2x-.设与直线x-y-2=0平行且与曲线y=x2-ln x相切的直线对应切点的坐标为(x0,y0)(x0>0),则2x0-=1,得x0=1,则y0=1,所以点(1,1)到直线x-y-2=0的距离,即为点P到直线x-y-2=0的最短距离,为=. 11.B　[解析] 由题可知,当x∈(0,2]时,f'(x)=2x-3,当x∈(4,6]时,f(x)=2f(x-2)=4f(x-4),则f'(x)=4f'(x-4),所以f(5)=4f(1)=-8,f'(5)=4f'(1)=-4,则所求的切线方程为y-(-8)=-4(x-5),即4x+y-12=0.故选B. 12.A　[解析] f'(x)=,则切线的斜率k=f'(0)=3,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=3x+1,从而可知切线与x轴、y轴的交点分别为,(0,1),所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S=××1=. 13.AB　[解析] 设切点的坐标为(x0,ln x0),x0>0,由y=ln x求导得y'=,即切线的斜率为,则切线的方程为y-ln x0=(x-x0)(*).对于A,把点(0,1)的坐标代入(*)得ln x0=2,解得x0=e2,即切点只有一个,故切线只有一条,故A正确;对于B,把点(1,0)的坐标代入(*)得x0ln x0-x0+1=0,令f(x)=xln x-x+1,则f'(x)=ln x,当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,又f(1)=0,即方程x0ln x0-x0+1=0有且只有一个根,由题意知,此时切线有且只有一条,故B正确;对于C,把点(2,0)的坐标代入(*)得x0ln x0-x0+2=0,令g(x)=xln x-x+2,则g'(x)=ln x,当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增.又g(1)=1,所以g(x)≥1在(0,+∞)上恒成立,故方程x0ln x0-x0+2=0在(0,+∞)上无实数解,故C错误;对于D,把点(1,1)的坐标代入(*)得x0ln x0-2x0+1=0,令h(x)=xln x-2x+1,则h'(x)=ln x-1,当0<x<e时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x>e时,h'(x)>0,h(x)单调递增.又h(e)=1-e<0,h=-2×-2×+1=1->0,h(e2)=2e2-2e2+1=1>0,所以由零点存在定理知,h(x)在和(e,e2)上各有一个零点,即方程x0ln x0-2x0+1=0在(0,+∞)上有两个实根,则切线有两条,故D错误.故选AB. 14.　[解析] 由y=x2得y'=2x,则曲线y=x2在点(m,m2)处的切线斜率为2m.由y=(a>0)得y'=,则曲线y=在点处的切线斜率为en.因为两条曲线存在公切线,所以2m=en(m≠0),又2m=,所以m=2n-2,则4n-4=en有解,所以直线y=4x-4与函数y=ex的图象有交点.如图,当直线y=4x-4与函数y=ex的图象相切时,设切点坐标为(s,t),则es=4,且t=4s-4=es, 解得s=2,t=4,即切点为(2,4),此时a=,结合图形可知实数a的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$