专题5 数学好玩——反弹高度，看图找关系，比赛场次（解决问题讲义）数学北师大版六年级上册

该小学数学单元复习讲义通过分类梳理构建“数学好玩”知识体系，以框架图呈现反弹高度、看图找关系、比赛场次三大类型，明确各类型定义、计算方法及变量关系，突出单循环赛公式等重难点，体现知识内在逻辑。 讲义亮点在于例题思路引导与分层练习设计，如“比赛场次”通过单循环赛公式推导培养推理意识，“看图找关系”结合折线图分析发展几何直观，变式训练覆盖基础到拓展，助力不同学生提升，为教师精准教学提供系统支持。

第六单元 数学好玩 1.反弹高度： ----反弹高度是指物体从一定高度自由落体后，反弹起来所能达到的最大高度； ----不同物体(如篮球、乒乓球等)从同一高度或不同高度落下后的反弹高度一般不同的，影响反弹高度的因素一般包含：物体的材质、重量、弹性等。 2.看图找关系： ----看图找关系是指通过观察和分析图表中的信息，找出不同变量之间的关系； ----观察图表，理解图表中的横轴和纵轴分别表示什么； 分析图表中的数据点，找出不同变量之间的关系； 根据图表信息，进行简单的预测和推断。 ----此图形一般包含柱状图、折线图、散点图等。 3. 比赛场次： ----比赛场次是指在一定规则下，参赛队伍或选手之间需要进行的比赛次数； ----①单循环赛:每支队伍或选手都要与其他队伍或选手进行一场比赛，计算方法是:队伍或选手数量×(队伍或选手数量-1)，再除以2得到总场次； ②淘汰赛:每场比赛都会有一支队伍或选手被淘汰出局，计算方法是:根据参赛队伍或选手的数量，通过画图或列表的方式找出比赛场次； ----联络方式:如果有一条消息要通知,由老师同时通知给2名同学,再由这2名同学分别同时通知2名同学,依此类推,每名同学再通知2名同学。每同时通知2名同学需要1分。n(n＞1)分能通知到的同学数比(n-1)分通知到的学生数的2倍多2。 类型1 ：反弹高度 典型例题1：一个乒乓球从120cm的高度自由下落,每一次弹起的高度是下落高度的。 思路分析： （1）“每一次弹起的高度是下落高度的。”这里把 看作是单位“1”的量； （2）求一个数的几分之几用 法列式，所以每次弹起高度=下落高度○； （3）因为第一次下落高度是120cm，所以第一次弹起高度列式： （cm），根据题意可知，第一次弹起高度就是第二次 高度； （4）第二次弹起高度列式： （cm）。 答题区： 变式训练： 1. 一种弹力球从3米高处自由下落，每次的反弹高度是下落高度的，第一次的反弹高度是多少米?第二次的反弹高度是多少米? 2. 一种弹力球的反弹高度是下落高度的90%，一种皮球的反弹高度是下落高度的，弹力球从2m的高度落下,要使两种球第一次的反弹高度相等,皮球应从多少米的高度落下? 3. 小明把一个乒乓球抛向空中，乒乓球落地后，每次反弹到前次落下高度的，乒乓球反弹到第三次时的高度是米。小明开始时把乒乓球抛了多少米高? 类型2：看图找关系 典型例题2：下面是某旅行团乘一辆旅游汽车从宾馆出发到张家山游玩的过程中离宾馆的距离的行程图。 （1）从9时到15时，该旅游汽车离宾馆的距离（ ）。（填“逐渐增大”、“保持不变”或“逐渐减小”)。 （2）从宾馆到达张家山，旅游汽车行驶了（ ）时，行驶了（ ）千米。(旅游汽车返程中的平均速度是（ ）千米/时。 思路分析： （1）此题为折线统计图与行程问题。由图可知，旅行汽车于 时从宾馆出发， 时到达张家山，宾馆与张家山的距离是 千米； （2）到达张家山景点后，从 时到 时是某旅行团游玩的时间，共计 小时，此时间段，旅行汽车停在张家山景点处，没有行驶，所以该汽车离宾馆的距离 ； （3）从 时到 时是某旅行团从张家山返程时间段，旅行汽车所行的距离是 千米，所用的时间是 小时，所以返程的平均速度列式为 ÷ = （千米/时）。 答题区： 变式训练： 1. 欣欣六一儿童节上午8时从家出发去了趟图书馆，他步行的时间与离家的路程关系如图。 （1）欣欣在图书馆待了（ ）分。 （2）欣欣去图书馆时步行的速度是每分（ ）米。 （3）欣欣去图书馆与返回时的速度比是（ ）。 2. 哥哥开车从家去相距 25 千米的县城买东西，下图表示哥哥离家的距离与时间的关系。 （1）从关系图中可以看出：哥哥路上停车（ ）分,在县城购物用了（ ）分。 （2）从县城返回家时，速度是每时（ ）千米。 3. 六(2)班的同学乘车去长城,从学校到长城的行程情况如图。 （1）经过（ ）时到达长城。 （2）从 （ ）到（ ）停车休息,休息了（ ）时。 （3）汽车前2时的平均速度是每时（ ）km,最后1时的平均速度是每时（ ）千米。 类型3 ：比赛场次 典型例题3：甲、乙、丙、丁4个人参加乒乓球小组赛，每2个人比赛一场，一共要比赛多少场？其中丁要参加多少场？ 思路分析： （1）每个人需与其他3人各比赛1场，共4×3=12场； （2）因每2人只比赛1场，需将重复计算的场次去除，即 ÷ = （场），其比赛组合为（甲-乙、甲-丙、甲-丁、乙-丙、乙-丁、丙-丁），所以一共要比赛 场； ‌（3）丁的参赛情况‌：丁需与甲、乙、丙各比赛1场，共 场。 答题区： 变式训练： 1.某校六年级羽毛球比赛中，有9名参赛运动员，他们每两人之间要进行一场比赛，一共要进行多少场比赛？ 2. 有12 支篮球队进行比赛，产生一个冠军。如果采用单场淘汰制(即每场比赛淘汰1支球队)，则一共要进行多少场比赛？ 3. 甲、乙、丙、丁4个人进行羽毛球比赛，每两个人都要比赛一场，一共要比赛多少场？如果甲胜了丁，并且甲、乙、丙3人胜的场数相同，那么丁胜了多少场？ A夯实基础 一、填空题 1.一种弹力球，从2.5m高处自由落下，每次的反弹高度都是下落高度的。第二次的反弹高度是（ ）m。 2. 在一次足球比赛中,每两支球队之间比赛一场,共比赛了15场,有（ ）支球队参加了这次足球比赛。 3. 学校舞蹈队为了联络方便,设计了一种联络方式。一旦有事,先由指导老师同时通知两位队长,两位队长再分别同时通知两名同学,依此类推,每人再同时通知两人,同时通知两人共需1分。指导老师要把外出演出的任务通知30名成员,需要（ ）分。 4.下图中线段OA表示汽车行驶的路程与时间的关系。汽车的速度是（ ）千米/时。算一算，汽车行驶1.5小时，行驶了（ ）千米。 二、选择题 1. 往返于石家庄和北京城际快速列车，途中要停靠保定一站，需要有（ ）种车票。 A.3 B.4 C.5 D.6 2. 如图，某种细胞在培养过程中，每20分钟分裂一次（由1个变成2个），那么这种细胞由1个分裂到 16 个一共需要（ ）分钟。 A.40 B.60 C.80 D.100 3. 甲、乙两名同学从A地出发,沿同一条路骑自行车到B地,他们离出发地的距离和行驶时间之间的关系如图所示。根据图中提供的信息,有下面的说法: ① 他们都行驶了 18 千米； ② 甲在途中停留了0.5时； ③乙比甲晚出发0.5时； ④ 相遇后,甲的速度小于乙的速度； ⑤ 甲、乙两人同时到达目的地。其中,符合图像描述的说法有（ ）个。 A.2 B.3 C.4 D.5 B培优拔高 三、解答题 1. 下图是一辆汽车从八一桥站到老福山站之间行驶速度变化情况。 （1）横轴表示什么？从八一桥站到老福山站一共行驶了多少分？ （2）从10分到15分，速度从（ ）米/分增加到（ ）米/分。 （3）在15分到30分，汽车一共行驶了多少千米？ 2.一个球被人从 32米高的地方扔下，它落到地面后，反弹的高度是下落高度的一半，这个球在它第三次到达地面时，一共经过了多长的距离? 3. 16 支足球队进行比赛，比赛采用淘汰制的形式（每场淘汰一支球队）。那么赛多少场就能决出冠军。如果改用循环赛的形式，每两支队都要比赛一场，要比赛多少场？ C思维拓展 四、拓展题 1. 周日小明去爬山，下图是小明爬山的时间与高度的情况，根据下图回答问题。 （1）这座山高多少米？小明在山上停留了多久？ （2）小明上山的平均速度是多少米/时，下山的平均速度是多少米/时？ 2.甲、乙、丙、丁4个人进行羽毛球比赛，每两个人都要比赛一场，一共要比赛多少场？如果甲胜了丁，并且甲、乙、丙3人胜的场数相同，那么丁胜了多少场？ 3. 根据规定,比赛用的篮球从原始高度自由落下后，第一次反弹的高度应小于，大于原始高度的，一个篮球从2.3米的高度落下后,第一次反弹的高度经测量为1.9米，这个篮球可以用于比赛吗?(结果保留两位小数) 答案解析 类型1 答案解析 典型例题1： 思路分析： （1）下落高度；（2）乘；（3）120×=80；（4）80×==53 答题区： 120××=53（cm） 答：第二次弹起的高度是53厘米。 变式训练答案： 1.解析： 把每一次反弹前的下落高度看作是单位“1”，因为反弹高度是下落高度的，所以反弹高度=下落高度×。根据此数量关系列式计算： 第一次反弹高度：3×=2.7（米） 第二次反弹高度：2.7×=2.43（米） 答：第一次的反弹高度是2.7米，第二次的反弹高度,2.43米。 2.解析： （1）因为两种球第一次的反弹高度相等，所以要求皮球的下落高度，应先求出皮球的反弹高度（即弹力球的反弹高度）； （2）又因为弹力球的反弹高度是下落高度的90%，其下落高度是2m，所以弹力球的反弹高度=下落高度×90%。得到皮球反弹高度：2×90%=1.8（m） （3）因为皮球的反弹高度是下落高度的，所以皮球下落高度=反弹高度÷。得到皮球的下落高度：1.8÷=2.25（m） 答： 皮球应从2.25米的高度落下。 3.解析： 此题可以采用逆推还原方法计算，先算出第三次下落高度（即第二次弹起高度），再算出第二次的下落高度（即第一次弹起高度），最后算出第一次的下落高度。 因为每一次的下落高度为单位“1”，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法列式计算。 综合列式：÷÷÷=（米） 答：明开始时把乒乓球抛了米高。 类型2 答案解析 典型例题2： 思路分析： （1）6,9，200；（2）9,15,6，保持不变；（3）15,19,200,4,200,4,50 答题区： （1）由图可知，从9时到15时，该旅游汽车离宾馆的距离保持不变； （2）行驶了9-6=3（小时），由图可知宾馆与张家山的距离是200千米； 答：（略） 变式训练答案： 1.解析： （1）由图可知，欣欣在图书馆待的时间：8:50-8:30=20（分钟）； （2）由图可知，欣欣去图书馆时步行的时间是8:30-8:00=30（分钟），图书馆距离欣欣家的路程是2400米，所以欣欣步行的速度：2400÷30=80（米/分钟）； （3）由图可知，欣欣返回用时：9:15-8:50=25（分钟），所以返回速度：2400÷25=96（米/分钟），往返速度比：80:96=5:6 答：欣欣在图书馆待了20分，去图书馆时步行的速度是每分80米，去图书馆与返回时的速度比是5:6。 2.解析： （1） 由图可知，哥哥路上停车40-20=20（分）,在县城购物用了100-60=40（分）； （2）返回速度：25÷（120-100）=1.25（千米/分）=75（千米/时） 答：哥哥路上停车20分,在县城购物用了40分，从县城返回家时，速度是每时75千米。 3.解析： （1）由图可知，同学们到达长城时间是11:30； （2）由图可知，从11:00到11:30停车休息，休息了11:30-11:00=30（分钟） （3）由图可知，前2个小时汽车速度100÷2=50（千米/时），最后一个小时的平均速度是（140-100）÷1=40（千米/时） 答：同学们到达长城时间是11:30，从11:00到11:30停车休息，休息了30分钟，汽车前2个小时平均速度是50千米/时，后1个小时的平均速度是40千米/时。 类型3 答案解析 典型例题3： 思路分析： （1）略 （2）12，2，6，6 （3）3 答题区： 比赛总场次：4×3÷2=（场） 丁比赛场次：3场 答：一共要比赛6场，其中丁要参加3场。 变式训练答案： 1.解析： 9名参赛运动员，每人应赛8场，除去重复的场次，一共要赛9×8÷2=36（场） 答： 一共要赛36场。 2.解析： 由于采用单场淘汰制，每次比赛都会淘汰一支球队。要决出冠军，就意味着要淘汰其余的队伍。一共有12支篮球队，最终只产生1个冠军，也就是需要淘汰12-1=11支球队。因为每进行一场比赛就淘汰一支球队，所以比赛的场次就和需要淘汰的球队数量相同。 【详解】 一共要淘汰的球队数量为:12-1=11(支)因为每场比赛淘汰1支球队，所以比赛场数为11场。 答：一共要进行11场比赛。 3.解析： 每个人要和另外三个人进行比赛，用4乘3再除以2剔除重复计算的场次，求出一共要比赛多少场。分别假设甲胜了1场，2场和3场，分析出对应情况下乙和丙的胜场情况，找出符合题意的情况，从而推出丁胜了几场。 【详解】 4×3÷2＝6（场） 假设甲胜了1场，那么乙胜了甲，丙胜了甲，乙和丙双方比赛中必有一方胜，那么此时乙和丙其中有一人至少胜了2场，和甲的胜场次数不相等，不符合题意； 假设甲胜了2场，那么甲还胜了乙和丙其中的一人，乙和丙其中也有一人胜了甲。同时，乙和丙也需要胜2场的情况下，乙和丙都需要胜了丁，那么丁胜了0场； 假设甲胜了3场，那么乙丙不能也胜3场，不符合题意； 答：一共要比赛6场。如果甲胜了丁，并且甲、乙、丙3人胜的场数相同，那么丁胜了0场。 A夯实基础 一、填空题 1.答案：1.6 解析：2.5××= 1.6（米） 2.答案：6 解析：每两支球队之间都要进行比赛，一共比了15场，因为15×2=6×5，所以一共有6支队伍参加比赛。 验证：5+4+3+2+1=15（场）。 3.答案：4 解析:  根据打电话问题的特点，老师首先用1分钟通知两个队长，第二分钟由2个队长两人分别通知2个学生，现在通知的一共2+2×2=6个学生；第三分钟可以通知的一共4×2+6=14个学生，依此类推即可求解。 【详解】 第1分钟：1位老师通知到2个学生， 第2分钟通知：2×2=4(人)， 第3分钟通知：4×2=8(人)， 第4分钟通知：8×2=16(人)， 2+4+8+16=30(人)。 ‌二、选择题 1.答案：D 解析： 去程涉及3个站点（石家庄、保定、北京），需3种车票（石家庄→保定、保定→北京、石家庄→北京）；返程同样涉及3个站点，需3种车票（保定→石家庄、北京→保定、北京→石家庄）。因此往返共需6种车票。 ‌ 【详解】 3×2=6（种） 2.答案：C 解析： 分裂一次：1×2＝2（个），分裂2次：2×2＝4（个），分裂3次：4×2＝8（个），分裂4次：8×2＝16（个），所以这种细胞由1个分裂到16个一共需要4次，每次20分钟，用“20×4”即可求解。 【详解】 由分析可知： 1×2＝2（个） 2×2＝4（个） 4×2＝8（个） 8×2＝16（个） 一共分裂4次，需要时间：4×20＝80（分） 所以这种细胞由1个分裂到16个一共需要80分钟。 【点睛】 本题考查通过规律求需要多长时间分裂，先算出分裂的次数是此题的解题关键。 3.答案：C 解析： （1）观察统计图,他们都行了18千米，是正确的； （2）在0.5时到1时之间，甲在途中的路程没有发生变化，也就是停留了0.5小时是正确的； （3）乙的出发时间是从0.5时开始的甲是从0时开始的，因此乙比甲晚出发了0.5小时,也是正确的； （4）观察统计图，在相遇后，甲乙走的距离相同,但乙用的时间短,甲的速度小于乙的速度,因此是正确的； （5）观察统计图，乙先到目的地，然后甲再到达，二人并没有同时到达，因此是错误的。 B培优拔高 三、解答题 1.答案： （1）时间，40；（2）100，600；（3） 9 解析：此题是速度与时间关系图： （1）由图可知，横轴汽车行驶时间，从八一桥站到老福山站一共行驶了40分； 答：横轴表示汽车行驶时间，从八一桥站到老福山站一共行驶了40分。 （2）由图可知，速度由100米/分增加到600米/分。 答：略 （3）600×（30-15）=9000（米）=9（千米） 答：在15分到30分，汽车一共行驶了9千米。 2.答案： 80 解析： 一个球被人从32米高的地方扔下，它落到地面经过了32米，反弹经过了(32÷2)米，再次落下又经过了(32÷2)米;再次反弹经过了(32÷2÷2)米，落下又经过了(32÷2÷2)米。这时它第三次到达地面，把所有经过的距离相加即可解答。 【详解】32+32÷2×2+32÷2÷2×2 =32+32+16 =80(米) 答:一共经过了80米的距离。 【点睛】根据题意，求出球每次下落和反弹的高度是解题的关键 3.答案：15，120 解析： 首先明确淘汰赛比赛场数=参加队伍数-1，然后把参加队伍数16代入计算即可。 解：因为16-1=15（场） 循环赛场次：16×（16-1）÷2=120（场） 答：一共要进行15场比赛后才能产生冠军，果改用循环赛的形式，每两支队都要比赛一场，要比赛120场。 本题考查解决问题的策略，掌握在单场淘汰制中比赛的场数与参赛队数的关系是解题关键。 C思维拓展 四、拓展题 1.答案：（1）800，1小时；（2）600，1200 解析： （1）观察统计图，找出这座山的高度;以及小明在山上停留的时间； （2）根据速度=距离÷时间;根据统计图，每小时分成三份，小明从11点出发，到山上的时间是12时20分，求出小明上山用的时间，小明下山从13时20分出发，14时到山下;求出下山用的时间，即可求出上山速度，和下山速度。 【详解】 （1）这座山高是800米，小明在山上停留1小时。 （2）上山时间：12时20分-11时= (时) 上山速度：800÷=600 (米/时) 下山时间:14时-13时20分= (时) 下山速度:800÷=1200(米/时) 答：这座山高800米，小明在山上停留了1小时；小明上山的平均速度是600米/时，下山的平均速度是1200米/时。 ‌ 2.答案：6，0 解析： 每个人要和另外三个人进行比赛，用4乘3再除以2剔除重复计算的场次，求出一共要比赛多少场。分别假设甲胜了1场，2场和3场，分析出对应情况下乙和丙的胜场情况，找出符合题意的情况，从而推出丁胜了几场。 【详解】 4×3÷2＝6（场） 假设甲胜了1场，那么乙胜了甲，丙胜了甲，乙和丙双方比赛中必有一方胜，那么此时乙和丙其中有一人至少胜了2场，和甲的胜场次数不相等，不符合题意； 假设甲胜了2场，那么甲还胜了乙和丙其中的一人，乙和丙其中也有一人胜了甲。同时，乙和丙也需要胜2场的情况下，乙和丙都需要胜了丁，那么丁胜了0场； 假设甲胜了3场，那么乙丙不能也胜3场，不符合题意； 答：一共要比赛6场。如果甲胜了丁，并且甲、乙、丙3人胜的场数相同，那么丁胜了0场。 3.答案：不可以 解析： 2.3×≈1.79（米） 2.3×≈1.53（米） 根据规定,从2.3米的高度落下后,第一次反弹的高度应小于1.79米、大于1.53米,因为1.9＞1.79,所以这个篮球不可以用于比赛。 答：这个篮球不可以用于比赛。 学科网（北京）股份有限公司 $$