精品解析：湖南省长沙市长郡雨花外国语学校2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题

2025年上学期期末监测试卷 七年级数学 注意事项： 1、答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本试卷共27个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 在数，，，，5中，无理数个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1＋∠2＝70°，则∠BOC的度数是（ ）． A. 100° B. 115° C. 135° D. 145° 3. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 对洛阳市区空气质量的调查 B. 对某批次汽车的抗撞击能力的调查 C. 对“神舟十八号”飞船零部件质量的调查 D. 对全市市民观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查 4. 若，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上可表示为（　　） A B. C. D. 7. 若是方程的解，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 下列命题中，假命题是（ ） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角 D. 在同一平面内，如果 ， a c ，那么b c 9. 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，将一枚棋子放在原点，第一步，棋子从点跳到点；第二步，从点跳到点；第三步，从点跳到点；然后依次在曲线上向右跳动一步，则棋子跳到点时的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图，，直线与射线相交于点．若，则_______． 12. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是______． 13. 一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为______． 14. 为估计鱼塘中的鱼的数量，可以先从鱼塘中随机打捞条鱼，在每条鱼身上做上记号后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间，等这些鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中随机打捞条鱼，发现只有2条鱼是前面做好记号的，那么可以估计这个鱼塘鱼的数量约为________条． 15. 如图，①；②；③；④；以上四个条件中能判定的有___． 16. 在数学游戏会上，有五张卡片A、B、C、D、E按环形排列在桌上（如图）．卡片上的数字是1到50之间互不相同的整数．已知相邻两张卡片上的数的和如下：A和B的和是55；B和C的和是65；C和D的和是60；D和E的和是75；E和A的和是45，数据最大的卡片是_____；最大值为_____． 三、解答题（本大题共11小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 解不等式：． 20. 解不等式组： 21. 如图，在平面直角坐标系中，，，将平移得到，其中的对应点是； （1）写出点，的对应点，的坐标：_____，_____； （2）在图中画出； （3）设点在轴上，且的面积等于的面积，求出点的坐标． 22. 在浩瀚历史长河中，中国传统文化犹如一颗璀璨的明珠，以其独特的魅力和深厚的底蕴影响着世界的每一个角落，学校为了弘扬中国传统文化，开展了丰富多彩的传统文化活动，开设了五种项目：文学，戏剧，剪纸，中国结，象棋．为了解学生最喜欢以上哪种传统项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图．请结合统计图，完成下列问题： （1）本次调查样本容量是_____，扇形统计图中对应圆心角的度数为_____； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有名学生，请你估计该校最喜欢“象棋”的学生人数． 23. 根据题意将下列空格补充完整． 如图，若，，．试说明与平行． 理由：因为， 所以（_____），所以_____，（_____）， 因为，所以_____， 又因为，所以_____，所以（_____）． 24. 如图，已知． （1）与平行吗？请说明理由． （2）若平分，于点A，，求的度数． 25. 我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出A、B两种类型哪吒纪念娃娃，若用380元可购进种娃娃7件，种娃娃8件；用340元可购进种娃娃11件，种娃娃4件． （1）求、两种娃娃的进价分别为多少？ （2）若每件种娃娃售价为25元，每件种娃娃售价为37元，某商店准备用不超过900元购进两种娃娃40件，且这两种娃娃全部售出后总获利不低于216元，问共有几种方案并求出利润最大值？ 26. 我们定义：若二元一次方程组的解中的所有数都是不等式（组）的解，则称二元一次方程组被不等式（组）包含；否则称二元一次方程组不能被不等式（组）包含．如，方程组的解为，方程组的解为，不等式的解集为，因为0，2都在内，所以方程组被不等式包含；因为4不在内，所以方程组不能被不等式包含． （1）方程组能否被不等式包含？说明理由； （2）若关于的方程组被不等式组包含，求实数的取值范围． （3）关于的方程组不能被关于的不等式组包含，且此不等式组恰有2个整数解，求的取值范围． 27. 如图1，直线分别交直线于两点，且． （1）求证：； （2）如图2，已知与的角平分线交于点．求的值； （3）在（2）的条件下，若，绕点以的速度顺时针方向旋转得到，当首次与射线重合时运动停止，在运动过程中（含始终位置），旋转时间为何值时的一边与直线平行． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期期末监测试卷 七年级数学 注意事项： 1、答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本试卷共27个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 在数，，，，5中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，根据无限不循环小数即无理数判断即可． 【详解】解：3.14，，5是有理数，，是无理数，故无理数有2个； 故选：B． 2. 如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1＋∠2＝70°，则∠BOC的度数是（ ）． A. 100° B. 115° C. 135° D. 145° 【答案】D 【解析】 【分析】根据对顶角相等可得∠1=∠2，即可求出∠1的度数，根据邻补角的定义即可求出∠BOC的度数． 【详解】解析 ∵直线AC和直线BD相交于点O， ∴∠1＝∠2， ∵∠1＋∠2＝70°， ∴∠1＝35°， ∵∠1＋∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝180°－∠1＝180°－35°＝145°． 故选：D． 【点睛】本题考查对顶角和邻补角，对顶角相等；互为邻补角的两个角和为180°． 3. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 对洛阳市区空气质量的调查 B. 对某批次汽车的抗撞击能力的调查 C. 对“神舟十八号”飞船零部件质量的调查 D. 对全市市民观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断． 【详解】解：A、对洛阳市区空气质量的调查，适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意； B、对某批次汽车的抗撞击能力的调查，适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意； C、对“神舟十八号”飞船零部件质量的调查，需采用全面调查方式，本选项符合题意； D、对全市市民观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查，适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意． 故选：C． 4. 若，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质即可判断，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、若，则，故选项不符合题意； B、若，，正确，故选项符合题意； C、若，，故选项不符合题意； D、若，，故选项不符合题意； 故选：B． 5. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的化简法则，分别化简四个选项判断正误即可得到答案． 【详解】解：A. ，故A正确； B．，故B错误； C．，故C错误； D．，故D错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了对二次根式的化简，掌握开根号得到的数是非负数，灵活运用所学知识是解题的关键． 6. 不等式组的解集在数轴上可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可. 【详解】解： ∵不等式①得：x＞1， 解不等式②得：x≤2， ∴不等式组的解集为1＜x≤2， 在数轴上表示为：， 故选A. 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键. 7. 若是方程的解，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了已知二元一次方程的解求参数，解题关键是理解二元一次方程的解的概念. 将解代入方程，转化为关于待定字母的方程求解即可. 【详解】解：将代入， ，解得：， 故选B 8. 下列命题中，假命题是（ ） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角 D. 在同一平面内，如果 ， a c ，那么b c 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理，领补角的定义，垂直的定义分析选项即可． 【详解】解：由题意可知： A. 同旁内角互补，两直线平行；命题正确，是真命题，故不符合题意； B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；命题正确，是真命题，故不符合题意； C. 如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角；命题错误，例如这两个角都是，故是假命题，符合题意； D. 在同一平面内，如果 ， a c ，那么b c；命题正确，是真命题，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查真假命题的判定，解题的关键是掌握平行的判定，领补角定义，垂直的定义． 9. 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设共有x人，物品的价格为y钱，根据“每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱”列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，可得． 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，将一枚棋子放在原点，第一步，棋子从点跳到点；第二步，从点跳到点；第三步，从点跳到点；然后依次在曲线上向右跳动一步，则棋子跳到点时的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了规律型：点的坐标，解题关键是观察各点坐标，找出规律．先写出的坐标，然后观察点的坐标可知：各个点的横坐标与各点的下标相同，纵坐标分别为，且每4个点一循环，按照此规律解答即可． 【详解】解：观察图形可知：， ∴的横坐标为2025， ． ∴的纵坐标为， ∴的坐标为． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图，，直线与射线相交于点．若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，邻补角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行线的性质得出，再利用邻补角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标系中点到坐标轴的距离，根据点，求出点M到x轴的距离即可． 【详解】解：∵， ∴点到轴的距离是． 故答案为：3． 13. 一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了实数平方根问题的解决能力，根据正数的两个平方根互为相反数进行求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴， 故答案为：9． 14. 为估计鱼塘中的鱼的数量，可以先从鱼塘中随机打捞条鱼，在每条鱼身上做上记号后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间，等这些鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中随机打捞条鱼，发现只有2条鱼是前面做好记号的，那么可以估计这个鱼塘鱼的数量约为________条． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体，关键是求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想． 首先求出有记号的2条鱼在条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数． 【详解】解：∵池塘中有记号的鱼所占的百分比为：， ∴池塘中共有鱼， 故答案为：． 15. 如图，①；②；③；④；以上四个条件中能判定的有___． 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①； ②； ③； ④ 能判定的有①④ 故答案为：①④． 16. 在数学游戏会上，有五张卡片A、B、C、D、E按环形排列在桌上（如图）．卡片上的数字是1到50之间互不相同的整数．已知相邻两张卡片上的数的和如下：A和B的和是55；B和C的和是65；C和D的和是60；D和E的和是75；E和A的和是45，数据最大的卡片是_____；最大值为_____． 【答案】 ①. B ②. 45 【解析】 【分析】本题考查了解多元一次方程组，解题关键是掌握三元一次方程组的解法． 仿照三元一次方程组的解法求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， 所以最大，最大值为45； 故答案为：，45 ． 三、解答题（本大题共11小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，根据乘方法则，绝对值的意义，算术平方根、立方根的定义等计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用加减法消元解二元一次方程组，熟练掌握用加减消元法解二元一次方程组．根据加减消元法，可得，求得，再把代入①求解即可． 【详解】解：， 得，， 得，， 解得， 把代入①，得， 解得， 原方程组得解是． 19. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式，熟练掌握解不等式基本步骤，是解题的关键．先去括号，然后再移项，合并同类项，最小系数化为1即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：． 20. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握求一元一次不等式组解集的解法步骤是解决问题的关键．先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得； 原不等式组的解集为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，，，将平移得到，其中的对应点是； （1）写出点，的对应点，的坐标：_____，_____； （2）在图中画出； （3）设点在轴上，且的面积等于的面积，求出点的坐标． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查平移，格点三角形的面积，解题的关键是正确找出对应点的位置． （1）由点及其对应点的坐标，可得平移方式，从而可得点，的对应点，的坐标； （2）根据，，的坐标，描点，连线，即可得； （3）根据轴上的点的坐标特征，设出点的坐标，由面积相等列方程，求解即可得点的坐标． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴将向右平移个单位，向下平移个单位，得到， ∵，， ∴，，，， ∴，， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：，，， 如图，即为所求． 【小问3详解】 解：设点的坐标为， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得，，或， ∴点的坐标为或． 22. 在浩瀚的历史长河中，中国传统文化犹如一颗璀璨的明珠，以其独特的魅力和深厚的底蕴影响着世界的每一个角落，学校为了弘扬中国传统文化，开展了丰富多彩的传统文化活动，开设了五种项目：文学，戏剧，剪纸，中国结，象棋．为了解学生最喜欢以上哪种传统项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图．请结合统计图，完成下列问题： （1）本次调查的样本容量是_____，扇形统计图中对应圆心角的度数为_____； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有名学生，请你估计该校最喜欢“象棋”的学生人数． 【答案】（1）， （2）补图见解析 （3）名 【解析】 【分析】（）用最喜欢项目的人数除以其百分比求出调查的样本容量，进而求出对应圆心角的度数； （）求出最喜欢项目的学生人数，进而补全条形统计图即可； （）用乘以最喜欢“象棋”的学生人数占比即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本容量，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴本次调查的样本容量是， ∴扇形统计图中对应圆心角的度数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：最喜欢项目学生人数为， ∴补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：， 答：该校最喜欢“象棋”的学生人数为名． 23. 根据题意将下列空格补充完整． 如图，若，，．试说明与平行． 理由：因为， 所以（_____），所以_____，（_____）， 因为，所以_____， 又因为，所以_____，所以（_____）． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，由平行线的判定可得，即得，，进而可得，即可求证，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：因为， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 所以，（两直线平行，内错角相等）， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；同位角相等，两直线平行． 24. 如图，已知． （1）与平行吗？请说明理由． （2）若平分，于点A，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，两直线垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由可得，进一步可推得，即可证明； （2）由角平分线的定义可得，结合（1）的结论可推得，根据两直线垂直的定义可得，由此即得答案． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴。 25. 我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃，若用380元可购进种娃娃7件，种娃娃8件；用340元可购进种娃娃11件，种娃娃4件． （1）求、两种娃娃的进价分别为多少？ （2）若每件种娃娃售价为25元，每件种娃娃售价为37元，某商店准备用不超过900元购进两种娃娃40件，且这两种娃娃全部售出后总获利不低于216元，问共有几种方案并求出利润最大值？ 【答案】（1）A、B两种娃娃的进价分别为20元、30元 （2）一共有3种方案，当购进种30件，种10件时，获得最大利润220元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设A、B两种娃娃的进价分别为元、元，然后根据题意可得方程组为，进而求解即可； （2）设商店准备购进A种娃娃a件 ，则购进B种娃娃件，由（1）即题意可得，然后分别求出利润即可． 【小问1详解】 解：设、两种娃娃进价分别为元、元．根据题意得： 解得； 答：A、B两种娃娃的进价分别为20元、30元． 【小问2详解】 设商店准备购进A种娃娃a件，根据题意可得： 解得：； 故共有3种方案． 当，利润：（元）， 当，利润：元）， 当，利润：（元）， 答：一共有3种方案，当购进种30件，种10件时，获得最大利润220元． 26. 我们定义：若二元一次方程组的解中的所有数都是不等式（组）的解，则称二元一次方程组被不等式（组）包含；否则称二元一次方程组不能被不等式（组）包含．如，方程组的解为，方程组的解为，不等式的解集为，因为0，2都在内，所以方程组被不等式包含；因为4不在内，所以方程组不能被不等式包含． （1）方程组能否被不等式包含？说明理由； （2）若关于的方程组被不等式组包含，求实数的取值范围． （3）关于的方程组不能被关于的不等式组包含，且此不等式组恰有2个整数解，求的取值范围． 【答案】（1）能，见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组和一元一次方程的解法，掌握包含的定义和分类讨论是解题的关键． （1）求出方程的解和不等式组的解集，根据包含的定义进行判断即可； （2）解不等式组得到，解方程组得到，根据包含的定义得解不等式组即可得到答案； （3）求出方程的解后，根据包含，和不等式组恰有2个整数解进行解答即可． 【小问1详解】 解：能被包含．理由如下： 解方程组得到它的解为， 不等式的解集为， 和都在内， ∴能被包含； 【小问2详解】 解关于的方程组得到它的解为， 解不等式组得它解集为， 被 ， 所以实数的取值范围是． 【小问3详解】 解方程组得，解不等式组得 设不等式的两个整数解为 则 ∵存在且不等式组有解 解得： ∵是整数 ∴ ∴ ∵方程组不能被不等式组包含， 或 解得：或， 又， ． 27. 如图1，直线分别交直线于两点，且． （1）求证：； （2）如图2，已知与的角平分线交于点．求的值； （3）在（2）的条件下，若，绕点以的速度顺时针方向旋转得到，当首次与射线重合时运动停止，在运动过程中（含始终位置），旋转时间为何值时的一边与直线平行． 【答案】（1）见解析 （2） （3）12或18或30或48 【解析】 【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，结合图形分情况分析是解题关键． （1）根据题意及平行线的判定即可证明； （2）分别过点作，得出，再由平行线的性质及各角之间的关系求解即可； （3）分四种情况分析：①当时，②当时，③当时，④当时，结合图形求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ∴； 【小问2详解】 解：分别过点作， ∵， ∴， ，，分别平分与 ∵， ． 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ①当时，，得； ②当时， ， ， ， ， ∴，得； ③当时， ∴， ∴， ∴，得， ④当时，同理得：，得 综上所述的一边与直线平行时或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $