精品解析：江西省抚州市临川区第五实验学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

临川区第五实验学校 2024-2025学年度下学期八年级数学第一次质量检测 数学试卷 考试时长：120分钟；分值：120分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 有下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，作出判断即可．本题考查一元一次不等式的定义，未知数的最高次数为1，并且未知数的系数不能为0是解答本题的关键． 【详解】解：依题意，①；②；③；⑥都是一元一次不等式， ∴一元一次不等式有4个， 故选：B． 2. 不等式2x+1≤3的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解不等式的方法可以求得不等式2x+1＜3的解集，根据不等式解集在数轴上的表示方法即可得答案. 【详解】2x+1≤3， 解得：x≤1， 表示在数轴上，如图所示： 故选B． 【点睛】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示一元一次不等式的解集，表示解集时，包含要用实心点表示，不包含要用空心点表示，解题的关键是明确解不等式的方法和解集的表示方法． 3. 如图所示，在中，平分，上于点，，，，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得边上的高，再由，即可得解． 【详解】解：作于F，如图： ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 4. 如图，在等边三角形中，于点，于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，由等边三角形的性质可得，，，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故选：． 5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝l，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则AD的长为( ) A. l.5 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分AB，则利用线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，所以∠DAB＝∠B＝15°，再利用三角形外角性质得∠ADC＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AD的长． 【详解】解：由作法得MN垂直平分AB，则DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B＝15°， ∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝30°， 在Rt△ACD中，AD＝2AC＝2． 故选C． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．也考查了线段垂直平分线的性质． 6. 如图，中，，，是边上的中线且，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面展开最短路线问题，等腰三角形的性质及勾股定理，关键是画出符合条件的图形．作关于的对称点，连接交于，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，根据对称性质求出，根据垂线段最短得出，即可得出答案． 【详解】解：作关于的对称点，连接，交于，此时最短， ，是的中线， ， 即的最小值为的长度， 当时，最小， 在中，由勾股定理得：， ， ， 即的最小值是． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一元一次不等式的最小整数解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先移项，合并同类项，然后系数化为1，得出不等式的解，最后得出最小整数解即可． 【详解】解：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的最小整数解是． 故答案为：． 8. 如图，中，于．要用“HL”定理判定，还需加条件________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两个直角三角形全等的判定，熟悉定理内容是关键；由图知，两个三角形有一条直角边相等，还需要斜边相等即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，则得； 故答案为：． 9. 来宾市某校组织开展了“民族团结”的知识竞赛，共有30道竞赛题，选对一题得5分，不选或者错选一道题扣2分，若得分不低于60分获奖，那么至少答对____道题才能获奖． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等量关系．设应选对x道题，则不选或错选的有道，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解:：设应选对x道题，则不选或错选的有道， 依题意得：， 解得： ∴至少应选对18道题才能获奖， 故答案为：18． 10. 如图，在的正方形网格中，____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理及其逆定理的运用，等腰三角形的性质，理解网格的特点，掌握勾股定理逆定理的运用是解题的关键．连接，运用勾股定理可得，由勾股定理逆定理得到是等腰直角三角形，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴，，，，， ∵，即，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 11. 如图，在中，，，点D，E在上，，．已知，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，根据题意易求，根据，，易求，得到是等边三角形，即，过点作于点H，则，利用勾股定理求出，再利用直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点作于点H， 则， ∴， ∵， ∴， 故选：． 12. 如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．则在下列结论中：①，②，③若平分，则，④．正确的结论有__________（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由题意易证，即得出，，故②正确；结合，即可求出，故①正确；由角平分线的定义可知，从而可证，进而可证．即可利用“”证明故③正确；过点O作于点G，于点H，易证，即得出，说明平分，即．假设成立，得出，从而可求出，进而可证平分．因为不确定平分，不一定成立，故④错误． 【详解】解： ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴，故①正确； ∵若平分， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵， ∴． 又∵， ∴，故③正确； 如图，过点O作于点G，于点H， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，即． 假设成立， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即平分． ∵不确定平分， ∴不一定成立，故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示． 【解析】 【分析】求出不等式的解集，表示在数轴上即可． 【详解】 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14. 如图，在中，，AD平分，于点F，，求证：． 【答案】 证明：∵在△AEC中，∠E＝90°，AD平分∠EAC，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠E＝∠DFC＝90°， 在Rt△BED和Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴BE＝CF． 【解析】 【分析】根据角平分线性质求出DE＝DF，根据HL推出△BED≌△CFD即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，解题关键是推出△BED≌△CFD，注意：全等三角形的对应边相等． 15. 如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点． （1）求的度数； （2）求证：是等腰三角形； 【答案】（1） （2） ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先证明中的三个角均为，然后再求得，从而可得到， （2）根据三角形的外角的性质可得，可得，即可得出，可得到为等腰三角形． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 【小问2详解】 略 16. 在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠B=30°，AB的垂直平分线DE交BC边于点E，AC的垂直平分线MN交BC于点N． （1）求△AEN的周长； （2）求证：BE=EN=NC． 【答案】（1）12； （2）证明：，， ， ，， ，， ，， 是等边三角形， ． 【解析】 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质证明是等边三角形，等量代换证明即可． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， 则的周长； （2）略 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 17. 图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫作格点．点、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图中画出边的垂直平分线． （2）如图，是的角平分线，作的内角的角平分线． 【答案】（1）如图： （2） 如图： 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握三角形三条内角平分线交于一点． （1）取格点D，E，构造正方形，根据正方形的性质可得结论； （2）取的中点T，连接交于K，过C，K作射线，交于点E， 【小问1详解】 解：取格点D，E，则即为边的垂直平分线． 理由：∵，，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴直线是的垂直平分线； 【小问2详解】 解：取的中点T，连接交于K，过C，K作射线，交于点E， 理由：∵， ∴， ∵为的中点， ∴是的平分线， 又是的角平分线，即为的角平分线交点， ∴是的内角的角平分线 即：线段即为所求． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 在等式（k，b为常数）中，当时，；当时，． （1）求k与b的值； （2）若关于x的不等式的解集是，求n的值． 【答案】（1） （2）n的值为 【解析】 【分析】（1）将时，；时，，代入得出关于k与b的方程组，解方程组即可； （2）解不等式，得，根据该不等式的解集是，而，得出，求出n的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得：． 【小问2详解】 解不等式，得， ∵该不等式的解集是，而， ∴， ∴， 解得：， ∴n的值为． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组和不等式的基本步骤，正确进行计算． 19. 如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D． （1）求证：∠PCD=∠PDC；（2）求证：OP垂直平分线段CD 【答案】 证明：(1)∵OP是∠AOB的平分线， 且PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC=PD， ∴∠PCD=∠PDC； (2)∵∠OCP=∠ODP=90°， 在Rt△POC和Rt△POD中， ， ∴Rt△POC≌Rt△POD(HL)， ∴OC=OD， 由PC=PD，OC=OD，可知点O、P都是线段CD的垂直平分线上的点， 从而OP是线段CD的垂直平分线. 【解析】 【分析】（1）∠PCD=∠PDC．由于P点是∠AOB平分线上一点，根据角平分线的性质可以推出PC=PD，然后利用等腰三角形的性质即可得到结论； （2）根据已知条件首先容易证明Rt△POC≌Rt△POD，从而得到OC=OD，由（1）有PC=PD，利用线段的垂直平分线的判定即可证明结论． 【详解】略 【点睛】此题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题关键在于得出PC=PD. 20. 某校八年级举行演讲比赛，购买,两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别为12元和8元，根据比赛设奖情况，需购买两种笔记本共30本，并且购买笔记本的数量少于笔记本数量的，但又不少于笔记本数量的，设买笔记本本，买两种笔记本的总费用为元. (1)请写出元关于本的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)购买这两种笔记本各多少本时，花费最少？此时的花费是多少元？ 【答案】（1），为整数；（2）种笔记本8本，种笔记本22本时花费最少，为272元 【解析】 【分析】（1）根据A种笔记本与B种笔记本的数量关系，即可表示出B种笔记本的数量，然后乘各自对应的单价求和即可写出与的函数关系式，然后根据A种笔记本与B种笔记本的数量关系列出不等式求解即可； （2）根据n的取值范围和一次函数的增减性，即可求出. 【详解】解：（1）由题意可知：费用为两种笔记本的费用之和， 即W=12n+8（30-n）=4n+240； 由题意可知n<（30-n）且n≥（30-n）， 解得≤n<12，且n为整数. （2）∵W=4n+240中，4＞0 ∴W随n的增大而增大 ∴当n最小时，费用最小，即n=8时费用最小，此时最小费用为272元，所以当购买A种笔记本8本，B种笔记本22本时，费用最少，为272元. 【点睛】此题考查的是一次函数的应用，掌握题中的各个量之间的关系列出函数关系式、并利用一次函数的增减性求函数的最值是解决此题的关键. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，已知是等边三角形，D，E分别为上的点，且，相交于点P，于点Q，求证：． 【答案】 证明：∵为等边三角形， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证明，由此可得，由得到，则．由得到，则，由此即可得到． 【详解】略 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解答本题的关键. 22. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． （1）过点作于点，求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，， 平分 垂直平分 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定； （1）连接，，根据垂直平分线的性质得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）设，证明，得出，进而可得，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设 ， 由（1）知，在和中， ， 解得 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，中，，，D为边的中点，点E在线段上（不与点重合），以为直角边构造等腰（在点E的右侧），连接． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，过点F作交于点G，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，P为的中点，连接交于点Q，求证：Q为的中点． 【答案】（1） （2） 证明：， D为边的中点， ，， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． （3） 证明：如图，延长交于点， 由（2）得， ，，， 又P为的中点， 平分， ， ， ， ， ，， ， ，， 由（2）得，， ，， ， ， ， Q为的中点． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形和等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由题意得是等腰直角三角形，得到，再利用三角形外角的性质得到的度数，即可求出的度数； （2）利用等腰三角形三线合一性质得到，进而得到，再利用全等三角形判定证明，得到，最后利用线段和差即可得证； （3）延长交于点，先利用等腰三角形的性质得到，得到，进而得到，再推出即可得证． 【小问1详解】 解：，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临川区第五实验学校 2024-2025学年度下学期八年级数学第一次质量检测 数学试卷 考试时长：120分钟；分值：120分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 有下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 不等式2x+1≤3的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，在中，平分，上于点，，，，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 如图，在等边三角形中，于点，于点，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝l，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则AD的长为( ) A. l.5 B. C. 2 D. 6. 如图，中，，，是边上的中线且，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一元一次不等式的最小整数解是_______． 8. 如图，中，于．要用“HL”定理判定，还需加条件________． 9. 来宾市某校组织开展了“民族团结”的知识竞赛，共有30道竞赛题，选对一题得5分，不选或者错选一道题扣2分，若得分不低于60分获奖，那么至少答对____道题才能获奖． 10. 如图，在的正方形网格中，____． 11. 如图，在中，，，点D，E在上，，．已知，则的长为_______． 12. 如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．则在下列结论中：①，②，③若平分，则，④．正确的结论有__________（填序号） 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 14. 如图，在中，，AD平分，于点F，，求证：． 15. 如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点． （1）求的度数； （2）求证：是等腰三角形； 16. 在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠B=30°，AB的垂直平分线DE交BC边于点E，AC的垂直平分线MN交BC于点N． （1）求△AEN的周长； （2）求证：BE=EN=NC． 17. 图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫作格点．点、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图中画出边的垂直平分线． （2）如图，是的角平分线，作的内角的角平分线． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 在等式（k，b为常数）中，当时，；当时，． （1）求k与b的值； （2）若关于x的不等式的解集是，求n的值． 19. 如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D． （1）求证：∠PCD=∠PDC；（2）求证：OP垂直平分线段CD 20. 某校八年级举行演讲比赛，购买,两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别为12元和8元，根据比赛设奖情况，需购买两种笔记本共30本，并且购买笔记本的数量少于笔记本数量的，但又不少于笔记本数量的，设买笔记本本，买两种笔记本的总费用为元. (1)请写出元关于本的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)购买这两种笔记本各多少本时，花费最少？此时的花费是多少元？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，已知是等边三角形，D，E分别为上的点，且，相交于点P，于点Q，求证：． 22. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． （1）过点作于点，求证：； （2）若，，求的长． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，中，，，D为边的中点，点E在线段上（不与点重合），以为直角边构造等腰（在点E的右侧），连接． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，过点F作交于点G，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，P为的中点，连接交于点Q，求证：Q为的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $