精品解析：广东省河源市紫金县紫城第二中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

2024--2025学年第二学期八年级数学第一次月考试卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 若，则下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据，应用不等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：， ， 故本选项不符合题意； ， ， 故本选项不符合题意； ， ， 故本选项符合题意； ， ， 故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 以下列各组数为三边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项能构成直角三角形，不符合题意； B、，则此项能构成直角三角形，不符合题意； C、，则此项能构成直角三角形，不符合题意； D、，则此项不能构成直角三角形，符合题意； 故选：D． 3. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 等边对等角 B. 两直线平行，同旁内角互补 C. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 D. 全等三角形的对应角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了逆命题的定义以及真、假命题的判定． 通过分析每个选项的逆命题，判断其是否为真命题，从而得出答案． 【详解】解：A、逆命题为：等角对等边，正确，是真命题，故A选项不符合题意； B、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，故B选项不符合题意； C、逆命题为：到线段两端点距离相等的点在角平分线上，正确，是真命题，故C选项不符合题意； D、逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，故D选项符合题意； 故选：D． 4. 是下列不等式（ ）的一个解． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的解，解题的关键是理解不等式的解的意义；把分别代入各选项判定即可； 【详解】解：、当时，，故本选项不符合题意； 、当时，，故本选项不符合题意； 、当时，，故本选项不符合题意； 、当时，，故本选项符合题意； 故选：． 5. 若是关于的一元一次不等式，则的值为（　　） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义和解法，关键是根据一元一次不等式的定义求出的值． 根据一元一次不等式的定义得出，求出的值即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴． 故选：A． 6. 在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】游戏公平要求凳子到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质判断对应交点即可． 【详解】解：∵ 游戏公平需要凳子到三个顶点、、的距离相等， 又∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， ∴ 凳子应放置在三边垂直平分线的交点处， 故选D． 7. 不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．本题分别求出各个不等式的解集，即可写出不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解①式得：， 解②式得：， ∴不等式组的解集为：， 解集表示在数轴上如下： ， 故选：D 8. 如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．写出直线在直线下方部分的的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，当时，直线在直线下方， ∴不等式的解集为； 故选：C． 9. 如图，在中，，平分，交于点，垂足为．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，由角平分线的性质定理得出，再根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10. 如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形边长变化规律等知识．利用等边三角形的性质得到，结合可得，即有，利用同样的方法得到，，利用此规律得到，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的边长：， 同理可得， 的边长：， 的边长：， …， 可归纳得的边长， ∴的边长为． 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. “的3倍与7的和是非正数”用不等式表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，的3倍为 ，的3倍与7的和为，非正数即小于等于0的数，据此列出不等式即可． 【详解】解：“的3倍与7的和是非正数”用不等式表示为， 故答案为：． 12. 若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．不等式组中第一个不等式求出解集，根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集是， ∴， 故答案为：． 13. 如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为5，面积为12，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，利用三角形的面积，由求解即可． 【详解】解：连接， 由题意，， 由图知，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 一元一次不等式的最小整数解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先移项，合并同类项，然后系数化为1，得出不等式的解，最后得出最小整数解即可． 【详解】解：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的最小整数解是． 故答案为：． 15. 如图，点D，E分别为等边三角形的边，上的点，且，与相交于点P， 于点Q．若，，则的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】先证明，得到，再利用直角三角形的性质，计算即可． 【详解】解：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质和等边三角形性质是解题的关键． 三、解答题 16. 如图，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据直角三角形定理，即可求解， 本题考查了，直角三角形定理，解题的关键是：熟练掌握应用定理证明三角形全等． 【详解】证明：， 和都是直角三角形． 在和中， ， ． 17. 已知是关于x的一元一次不等式，求该不等式的解集． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义和解法，先根据一元一次不等式的定义，得，先求出的值是；再把代入不等式，整理得：，然后求解即可． 【详解】解：根据不等式是一元一次不等式可得：， ∴． ∴原不等式化为：， 解得． 18. 解不等式组：，并把解集表示在数轴上 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集．先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 数轴表示解集为： 19. 如图，中，，点为的中点，过点分别作于于． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ， 为中点， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （2） 证明：由（1）得：， ， 又， ， ． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）由等边对等角得，再证，即可得出； （2）由得，结合，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图中，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理： （1）根据作已知直线的垂直平分线的作法画出图形，连接即可； （2）根据线段垂直平分线的性质，可得，再由等腰三角形的性质可得，求出，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图，直线l即为所求； 【小问2详解】 解：垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）． 21. 如图，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，与直线相交于点． （1）求的值与求直线的解析式； （2）根据图像，直接写出关于的不等式的解集； （3）求四边形的面积． 【答案】（1）, （2） （3） 【解析】 【分析】（）把点坐标代入中求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式； （）根据函数图象找到当一次函数图象在直线图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案； （）得出点的坐标，进而根据四边形的面积解答即可； 本题考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，一次函数与不等式之间的关系，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵直线与直线相交于点, ∴， 解得 ∴， 把点，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：由图象可知，当一次函数图象在直线图象上方时，自变量的取值范围为， ∴不等式的解集是； 【小问3详解】 解：把代入得，， ∴， 把代入得，， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形的面积． 22. 亚冬会即将来临之际，某纪念品商店分别采购大、小两种型号的亚冬会吉祥物纪念品“滨滨和妮妮”40套、60套，共花费5600元，其中采购每套大型纪念品的价钱是每套小型纪念品的价钱的2倍． （1）采购每套大、小两种型号的纪念品的价钱分别为多少元？ （2）该商店决定再次采购两种型号的纪念品共60套，且采购费用不超过3200元，那么最多采购大型纪念品多少套？ 【答案】（1）采购每套大、小两种型号的纪念品的价钱分别为80元、40元 （2）最多采购大型纪念品20套 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程，一元一次不等式的应用，理解题意，正确的列出方程和不等式是解题的关键． （1）设采购每套小型纪念品的价钱分别为元，依题意列出方程即可得解； （2）设采购大型纪念品能套，依题意列出不等式即可得解； 【小问1详解】 设采购每套小型纪念品的价钱分别为元． 根据题意得． 解得． ． 答：采购每套大、小两种型号的纪念品的价钱分别为80元、40元． 【小问2详解】 设采购大型纪念品能套． 根据题意得． 解得． 答：最多采购大型纪念品20套． 23. 阅读下列材料： 数学问题：已知，且，，试确定的取值范围． 问题解法：，． 又，，． 又，．① 同理得．② 由②①得， 的取值范围是． 完成任务： （1）在数学问题中的条件下，写出的取值范围是_____． （2）已知，且，，试确定的取值范围； （3）已知，，若成立，试确定的取值范围（结果用含a的式子表示）． 【答案】（1）；（2）的取值范围是；（3）的取值范围是． 【解析】 【分析】（1）仿照例子，根据不等式的基本性质即可求解； （2）仿照例子，注意由0＜y＜1到-1＜-y＜0的转化，再由不等式同号可加性进行求解； （3）仿照例子，注意确定不等式有解集时，a的取值范围，因此要先确定当a＜-2时，关于x、y的不等式存在解集． 【详解】（1）， ． ， ， ． 故答案为． （2）， ． 又， ， ． 又， ， ． 同理得， ， 的取值范围是． （3）， ． 又， ， ． 又， ， ． 当时，． 同理得， ， ∴当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查不等式的性质；能够根据例子，仿照例子结合不等式的基本性质解题，注意不等式的同号可加性，是隐含的限定条件． 24. 综合探究 问题情境：是等边三角形，点是AC上一点，点在的延长线上，且，连接，． 猜想证明∶ （1）如图1，当点D是的中点时，______；（填“”，“”或“”） （2）若点为边上任意点时，同学们经讨论发现结论依然成立，并且可以通过构造一个三角形与全等来证明．以下是他们的部分证明过程： 证明：如图2，过点作，交于点．（请完成余下的证明过程） 问题解决： （3）如图3，当点是边上任意一点时，取的中点，连接．求的度数． 【答案】（1）； （2）， 理由如下：如图2，过点作，交于点． 是等边三角形 ， 是等边三角形， ， ，即 ， ， ， ， 在和中， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，再由“三线合一”的性质及角平分线得出，再由等角对等边即可证明； （2）如图2，过点作，交于点．证明是等边三角形，可得 ，证明，，可得结论， （3）延长至，使，连，根据全等三角形的判定得出，，再由其性质结合图形找出各角之间的关系即可得出结果． 【详解】证明：（1）在等边中，， ∴， ∵是的中点， ∴，平分， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2）略 （3）如图所示，延长至，使，连， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∴， ，， ∴ 又∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质与判定、等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形，找准各角之间的关系是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024--2025学年第二学期八年级数学第一次月考试卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 若，则下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为三边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 等边对等角 B. 两直线平行，同旁内角互补 C. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 D. 全等三角形的对应角相等 4. 是下列不等式（ ）的一个解． A. B. C. D. 5. 若是关于的一元一次不等式，则的值为（　　） A. B. C. 0 D. 1 6. 在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 7. 不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，平分，交于点，垂足为．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. “的3倍与7的和是非正数”用不等式表示为___________． 12. 若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是__． 13. 如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为5，面积为12，则的值为________． 14. 一元一次不等式的最小整数解是_______． 15. 如图，点D，E分别为等边三角形的边，上的点，且，与相交于点P， 于点Q．若，，则的长为_____． 三、解答题 16. 如图，，，求证：． 17. 已知是关于x的一元一次不等式，求该不等式的解集． 18. 解不等式组：，并把解集表示在数轴上 19. 如图，中，，点为的中点，过点分别作于于． （1）求证：； （2）求证：． 20. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图中，若，求的长． 21. 如图，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，与直线相交于点． （1）求的值与求直线的解析式； （2）根据图像，直接写出关于的不等式的解集； （3）求四边形的面积． 22. 亚冬会即将来临之际，某纪念品商店分别采购大、小两种型号的亚冬会吉祥物纪念品“滨滨和妮妮”40套、60套，共花费5600元，其中采购每套大型纪念品的价钱是每套小型纪念品的价钱的2倍． （1）采购每套大、小两种型号的纪念品的价钱分别为多少元？ （2）该商店决定再次采购两种型号的纪念品共60套，且采购费用不超过3200元，那么最多采购大型纪念品多少套？ 23. 阅读下列材料： 数学问题：已知，且，，试确定的取值范围． 问题解法：，． 又，，． 又，．① 同理得．② 由②①得， 的取值范围是． 完成任务： （1）在数学问题中的条件下，写出的取值范围是_____． （2）已知，且，，试确定的取值范围； （3）已知，，若成立，试确定的取值范围（结果用含a的式子表示）． 24. 综合探究 问题情境：是等边三角形，点是AC上一点，点在的延长线上，且，连接，． 猜想证明∶ （1）如图1，当点D是的中点时，______；（填“”，“”或“”） （2）若点为边上任意点时，同学们经讨论发现结论依然成立，并且可以通过构造一个三角形与全等来证明．以下是他们的部分证明过程： 证明：如图2，过点作，交于点．（请完成余下的证明过程） 问题解决： （3）如图3，当点是边上任意一点时，取的中点，连接．求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $