精品解析：湖南省长沙市浏阳市浏阳河中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2025年九年级数学第一次阶段性测试 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 据教育部教育考试院官方微信消息，2024年全国高考报名人数达到1342万人，1342万这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同， 本题是对科学记数法的考查，熟练掌握科学记数法是解决本题的关键． 【详解】解：1342万， 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据以上运算法则逐项分析即可． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 4. 若不等式组无解，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数，反比例函数的图象和性质，求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，得到关于 的不等式，利用反比例函数的图象和性质，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组无解， ∴，，， 令， ∵， ∴反比例函数的图象在第四象限， 随着 的增大而增大， 当 时， ， ∴当时， ； 故选B． 5. 如图，在 中，弦 的长为8，圆心O到 的距离 ，则 的半径长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到 ，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在 中，弦 的长为8，圆心O到 的距离 ， ∴ ，， 在 中，， 故选：B． 6. 如图，，于点 ，连接 ，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义．首先根据平行线的性质可知，根据垂直的定义可知，再根据角的和与差可得． 【详解】解：如下图所示，过点 作， ， ， ， ， ， ， ．   故选：D ． 7. 若点，，在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点A、B、C分别在反比例函数上，可解得、、的值，然后通过比较大小即可解答. 【详解】解：将A、B、C的横坐标代入反比函数上， 得：y1＝－6，y2＝3，y3＝2， 所以，； 故选C. 【点睛】本题考查了反比例函数的计算，熟练掌握是解题的关键. 8. 如图所示，在中， 的平分线交 于点E， 的平分线交 于点F．若，则 的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识点，由平行四边形的性质结合角平分线的定义得 ，则有；同理得，由线段的和差关系即可求解． 【详解】解：在中，，, ∴； ∵ 平分 ， ∴， ∴ ， ∴； 同理得； ∴． 故选：A． 9. 如图， ， 为 的两条弦，连接 ， ，若 ，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知，即可得到答案． 【详解】根据题意，圆周角和圆心角 同对着， ， ， ． 故选：C． 10. 已知双曲线上有一点，将点A先向左平移6个单位，再向上平移9个单位，得到点，点恰好也落在双曲线上，则此双曲线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出点向左平移6个单位，再向上平移9个单位后点的坐标，再根据点A、都在双曲线上列出方程，求解即可．本题考查了坐标与图形变化-平移，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，列出关于a的方程是解题的关键． 【详解】解：∵将点先向左平移6个单位，再向上平移9个单位，得到点， ∴点，即， ∵点A、都在双曲线 ∴， 解得， ∴ ∴此双曲线的解析式为 故选：D． .二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标“如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数”，熟练掌握关于原点对称的点的坐标变换规律是解题关键．根据如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数可得a，b，代入计算即可得． 【详解】解∶∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为∶ ． 12. 在中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件得到，求出结果即可 【详解】解：， ， 解得：， 故答案为： 13. “见贤思齐焉，见不贤而内自省也”这句话中，“贤”字出现的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求概率，根据“贤”字出现的次数除以总字数即可，熟知概率公式的计算是解题的关键． 【详解】解：“见贤思齐焉，见不贤而内自省也”这句话中，共有个字，“贤”字出现了 次， ∴“贤”字出现的概率为， 故答案为：． 14. 已知关于 的一元二次方程的两实数根为，，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，能熟记知识点的内容是解此题的关键．根据根与系数的关系得出，即可求出答案． 【详解】解：∵关于 的一元二次方程的两实数根为，， ∴， 故答案为：5 15. 半径为4，圆心角为 的扇形的面积为______（结果保留 ）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，根据扇形的面积公式（n为圆心角的度数，r为半径）求解即可． 【详解】解：由题意，半径为4，圆心角为 的扇形的面积为， 故答案为：． 16. 一个物体的主视图和左视图都是高为4的等腰三角形，俯视图是半径为3的圆，则这个物体的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥体的表面积．根据题意可判断该几何体是圆锥，且圆锥的高为4，底面半径为3，先求出圆锥的母线长，即可求出物体的表面积． 【详解】解：∵物体的主视图和左视图都是高为4的等腰三角形，俯视图是半径为3的圆， ∴可判断该几何体是圆锥，且圆锥的高为4，底面半径为3， ∴圆锥的母线长为， ∴这个物体的表面积为． 故答案为： 17. 若，则以为内角的的形状是 ___________． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】直接利用非负数的性质得出，进而得出的形状． 【详解】解：∵， ∴，， 则，， ∴， ∴以为内角的 的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键． 18. 如图，四边形ABCD为矩形， ， ，点P是线段 上一动点，点M为线段 上一点，，则 的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取 的中点 ，连接 ， ．证明，推出，点 的运动轨迹是以 为圆心，2为半径的 ．利用勾股定理求出 ，可得结论． 【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ． 四边形 是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 点 的运动轨迹是以 为圆心，2为半径的 ． ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 三、解答题：本题共8小题，共66分．19，20题各6分，21，22题各8分，23，24题各9分，25，26题各10分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 【答案】 ． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角三角函数值，根据零指数幂，二次根式化简，绝对值化简，负整数指数幂，分母有理化，特殊角三角函数值分别进行计算，然后合并即可，熟练掌握相关知识并正确运算是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中 满足． 【答案】， ． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，先计算括号内分式加法运算，然后将除法转换成乘法进行约分化简，然后解方程，再根据分式有意义的条件选取符合题意的 代入求值即可，熟练掌握运算顺序，运算法则，解一元二次方程的方法步骤是解题得关键． 【详解】解： ， 由，解得： ，， ∵，即 ∴ ， ∴原式 ． 21. 某中心学校九（1）班为了了解学生对消防知识的掌握情况，为此九（1）班全体同学进行了一次测试，测试满分为5分，将所得的分数（单位：分）进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1） ，并补全条形统计图； （2）请计算九（1）班本次测试成绩的中位数和平均数； （3）由于学校开展消防演练的需要，现从成绩前四名（1名男生和3名女生）中随机抽取2人进行对灭火器的实践操作，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中1男1女的概率． 【答案】（1）8， 补全条形图如图：     （2）3分，2.98分 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，利用列表法求概率： （1）求出3分的人数所占的比例，用3分的人数除以所占的比例求出总人数，再用5分的人数除以总人数求出 的值，求出2分和4分的人数，补全条形图即可； （2）根据中位数和平均数的计算方法，进行计算即可； （3）用 表示男生，表示女生，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：九（1）班的人数为：， ∴， ∴； 成绩为2分的学生人数为：， ∴成绩为4分的学生人数为：； 【小问2详解】 将成绩从小到大排列，第25个数据和第26个数据均为3分， ∴中位数为：3分 平均数为： （分）； 【小问3详解】 用 表示男生，表示女生，列表如下： A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 共12种等可能的结果，其中一男一女的结果有6种， ∴． 22. 如图，有一建筑物 在小山 上，小山的斜坡 的坡角为，在建筑物顶部有一座避雷塔 ，在坡底 处测得避雷塔顶端 的仰角为，在山顶 处测得建筑物顶端 的仰角为 ，已知在同一条垂直于地面的直线上， ，，． （1）求小山 的高度； （2）求避雷塔 的高度．（结果精确到 ， ， ） 【答案】（1）小山 的高度为； （2）避雷塔 的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，仰角俯角问题，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （ ）由小山的斜坡 的坡度为，则可得出 ，故有，然后代入求解即可； （ ）过点 作，垂足为点 ，证明四边形 是矩形，则，，在 中求出，则有，然后证明是等腰直角三角形，则，在 中，，最后由，代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵小山的斜坡 的坡度为， ，， ∴， ∴ ， ∴ 中，， 则小山 的高度为； 【小问2详解】 解：如图，过点 作，垂足为点 ， ∴则， 又∵ ， ∴四边形 是矩形， ∴，， 又∵在 中，， ∴， 又∵在同一条垂直于地面的直线上，， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵在 中，， ∴， 则避雷塔 的高度约为． 23. 冬季来临，羽绒服成为了街头巷尾的主角，羽绒服一般分为鸭绒服和鹅绒服两种，某羽绒服工厂生产了一批鸭绒服和鹅绒服，鹅绒服的单价比鸭绒服的单价贵50元，消费者在该工厂用1800元购买鸭绒服的数量比用1500元购买鹅绒服的数量多一件． （1）求鸭绒服、鹅绒服的单价分别是多少元？ （2）某服装城打算使用不超过28500元的进货资金，在该工厂购进鸭绒服、鹅绒服共60件进行销售，并将鸭绒服、鹅绒服的售价分别定为每件520元、600元，求服装城应如何进货才能获得最大利润，最大利润为多少？（假设购进的两种羽绒服全部销售完） 【答案】（1）鸭绒服的单价为每件 元，鹅绒服每件元 （2）当购进鸭绒服和鹅绒服各30件时，利润最大，为5100元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用： （1）设鸭绒服的单价为每件 元，根据鹅绒服的单价比鸭绒服的单价贵50元，消费者在该工厂用1800元购买鸭绒服的数量比用1500元购买鹅绒服的数量多一件，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进鸭绒服 件，根据某服装城打算使用不超过28500元的进货资金，列出不等式求出 的取值范围，设总利润为 ，根据题意，列出函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设鸭绒服的单价为每件 元，则：鹅绒服每件元， 由题意，得：， 解得：（舍去）或； 经检验，是原方程的解， ∴， 答：鸭绒服的单价为每件 元，鹅绒服每件元； 【小问2详解】 设购进鸭绒服 件，则购进鹅绒服件； 由题意，得：， 解得：； 设总利润为 ，则：， 整理，得：， ∵， ∴ 随着 的增大而减小， ∵， ∴当 时， 有最大值为：； 故当购进鸭绒服和鹅绒服各30件时，利润最大，为5100元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，经过原点 ，点与点，点 在 轴负半轴上，连接 ，且． （1）求的半径； （2）求证：直线 为的切线； （3）求图中阴影部分的面积．（结果保留 和根号）． 【答案】（1）2 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出 ，证出 为的直径，则可得出答案； （2）由切线的判定可得出结论； （3）连接 ，求出为等边三角形，由扇形的面积公式及三角形面积公式可得出答案． 【小问1详解】 ∵经过，点与点，且， 为直径， ∵点与点， ∴， ， ∴， ∴的半径为： ； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ 为直径， ∴ 为切线； 【小问3详解】 如图，连接 ， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，坐标与图形的性质，扇形面积的求解，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直径所对圆周角为直角，熟练掌握各个性质定理是解题关键． 25. 如图1，在 中， ， ，将 绕点 顺时针旋转角 得到 ，此时点 落在 的延长线上． （1）求 的大小； （2）设 ，求 关于 的函数关系式； （3）如图2，连接 ， 为 的中点，连接 ，证明：直线 ． 【答案】（1） （2） （3） 证明：如图所示，连接 ， ∵ ，由旋转可得 ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是 的中点， ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质结合已知条件，得出 是等腰直角三角形，即可求解； （2）过点 作 于点 ，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，表示出 ，进而列出关系式； （3）连接 ，根据已知以及旋转的性质可得 ，证明得出 ，进而可得 ，即可证明 ，即可得证 【小问1详解】 解：由旋转可得 ， 又∵点 落在 的延长线上， ， ∴ ， ∴ ， 【小问2详解】 解：如图所示，过点 作 于点 ， ∵ ，则 是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的与判定，函数关系，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于点和点 ，与 轴交于点 ． （1）求 的值； （2）如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标； （3）将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N．设L的顶点横坐标为n，的长为d． ①求 关于 的函数解析式； ② 与 轴围成的区域记为 ， 与 内部重合的区域（不含边界）记为 ．当d随n的增大而增大，且 内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出 的取值范围． 【答案】（1） （2）点M的横坐标为 （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设，作轴于点 ，构造直角三角形，利用锐角三角函数或者相似建立关于 的方程求解即可； （3）①由二次函数平移可得出图象 的解析式为，从而得到，再分类讨论去绝对值即可； ②根据题干条件得出整数点 ，，，再分别两两进行分类讨论，建立二次函数不等式即可解决． 【小问1详解】 解： 二次函数与 轴交于 ， ， 解得：； 【小问2详解】 ， 二次函数表达式为：， 令 ， 可得：， 解得： 或 ， 令 ，可得： ， ， ，， 设， 作轴于点 ，如图， ， ，即， 解得或 （舍去）， 的横坐标为； 【小问3详解】 ① 将二次函数沿水平方向平移， 纵坐标不变为 ， 图象 的解析式为， ， ， ； ②由①得，画出大致图象如下， 随着 增加而增加， 或， 中含 ，，三个整点（不含边界）， 当 内恰有 个整数点 ，时， 当 时，，当 时，， ， ，或， ， 或， ； 当 内恰有2个整数点 ，时， 当 时，，当 时，， ， 或，， ， 或， ； 当 内恰有 个整数点，时，此种情况不存在，舍去． 综上所述， 的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级数学第一次阶段性测试 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 据教育部教育考试院官方微信消息，2024年全国高考报名人数达到1342万人，1342万这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若不等式组无解，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在 中，弦 的长为8，圆心O到 的距离 ，则 的半径长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6. 如图，，于点 ，连接 ，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在中， 的平分线交 于点E， 的平分线交 于点F．若，则 的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图， ， 为 的两条弦，连接 ， ，若 ，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线上有一点，将点A先向左平移6个单位，再向上平移9个单位，得到点，点恰好也落在双曲线上，则此双曲线的解析式为（ ） A. B. C. D. .二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则 ______． 12. 在中，自变量x的取值范围是______． 13. “见贤思齐焉，见不贤而内自省也”这句话中，“贤”字出现的概率是________． 14. 已知关于 的一元二次方程的两实数根为，，则______． 15. 半径为4，圆心角为 的扇形的面积为______（结果保留 ）． 16. 一个物体的主视图和左视图都是高为4的等腰三角形，俯视图是半径为3的圆，则这个物体的表面积为________． 17. 若，则以为内角的的形状是 ___________． 18. 如图，四边形ABCD为矩形， ， ，点P是线段 上一动点，点M为线段 上一点，，则 的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共66分．19，20题各6分，21，22题各8分，23，24题各9分，25，26题各10分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中 满足． 21. 某中心学校九（1）班为了了解学生对消防知识的掌握情况，为此九（1）班全体同学进行了一次测试，测试满分为5分，将所得的分数（单位：分）进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1） ，并补全条形统计图； （2）请计算九（1）班本次测试成绩的中位数和平均数； （3）由于学校开展消防演练的需要，现从成绩前四名（1名男生和3名女生）中随机抽取2人进行对灭火器的实践操作，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中1男1女的概率． 22. 如图，有一建筑物 在小山 上，小山的斜坡 的坡角为，在建筑物顶部有一座避雷塔 ，在坡底 处测得避雷塔顶端 的仰角为，在山顶 处测得建筑物顶端 的仰角为 ，已知在同一条垂直于地面的直线上， ，，． （1）求小山 的高度； （2）求避雷塔 的高度．（结果精确到 ， ， ） 23. 冬季来临，羽绒服成为了街头巷尾的主角，羽绒服一般分为鸭绒服和鹅绒服两种，某羽绒服工厂生产了一批鸭绒服和鹅绒服，鹅绒服的单价比鸭绒服的单价贵50元，消费者在该工厂用1800元购买鸭绒服的数量比用1500元购买鹅绒服的数量多一件． （1）求鸭绒服、鹅绒服的单价分别是多少元？ （2）某服装城打算使用不超过28500元的进货资金，在该工厂购进鸭绒服、鹅绒服共60件进行销售，并将鸭绒服、鹅绒服的售价分别定为每件520元、600元，求服装城应如何进货才能获得最大利润，最大利润为多少？（假设购进的两种羽绒服全部销售完） 24. 如图，在平面直角坐标系中，经过原点 ，点与点，点 在 轴负半轴上，连接 ，且． （1）求的半径； （2）求证：直线 为的切线； （3）求图中阴影部分的面积．（结果保留 和根号）． 25. 如图1，在 中， ， ，将 绕点 顺时针旋转角 得到 ，此时点 落在 的延长线上． （1）求 的大小； （2）设 ，求 关于 的函数关系式； （3）如图2，连接 ， 为 的中点，连接 ，证明：直线 ． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于点和点 ，与 轴交于点 ． （1）求 的值； （2）如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标； （3）将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N．设L的顶点横坐标为n，的长为d． ①求 关于 的函数解析式； ② 与 轴围成的区域记为 ， 与 内部重合的区域（不含边界）记为 ．当d随n的增大而增大，且 内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $