2026年湖南邵阳市邵东市中考信息（二） 数学试卷

2026年中考信息（二) 数学 时量：120分钟 满分：120分 注意事项： 1.答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号： 2.答题时，切记答案要填写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效： 3.考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师。 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.本大题共10个小 题，每小题3分，共30分) 1.王老师本月体重较上月减少了2kg,记作一2kg,一2的绝对值为 A.-2 B.2 c D分 2.从十四届全国人大四次会议民生记者会上获悉，目前我国各级各类学校在校学生 2.8亿，数据2.8亿用科学记数法表示为 A.2.8×104 B.2.8×106 C.28×105 D.2.8×108 3.篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功.如图是一块雕刻印章的材料， 其俯视图为 从正面看 D 4.把抛物线y=2x2向左平移3个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线的解析式 是 A.y=2x+3)2-1 B.y=2(x+3)2+1 C.y=2(x-3)2-1 D.y=2(x-3)2+1 5.如图，AB∥CD,若∠1=65°，∠2=120°，则∠3的度数为 A.45° B.55° C.60° D.65 3x-6<0 6.已知不等式组 ，其解集在数轴上表示正确的是 x+1≥0 。 A B 数学信息（二)第1页共6页 7.如图，AB是⊙O的直径，∠ADC=50°，则∠CAB的度数是 A.25° B.30° C.40° D.50° 8.数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试.如图是他最近五次测试成绩 (满分为100分)的折线统计图，那么其平均数和方差分别是 成绩分 100 100 92 9693 99 80八-- 012345 次数 A.96分，10 B.95分，10 C.95分，V10 D.96分，10 9.如图，点E,F,G,H分别是四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点，如果 AC=BD=10,EG=8,则四边形EFGH的面积为 H B A.20 B.24 C.32 D.48 10.如图，四边形ABCD中，AD∥BC,AD>AB,AB=a,AD=b,以点A为圆心， AB长为半径作弧，与BC相交于点E,连接AE.以点E为圆心，适当长为半径 作弧，分别与EA,EC相交于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于二MN的 长为半径作弧，两弧在∠AEC的内部相交于点P,作射线EP,与AD相交于点F, 则R 的值为 AF A. B. M C. b-a D. b-a a b 数学信息（二)第2页共6页 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11.化简：a(a一1)+a= 12.一个n边形的每一个外角都为45°，那么n的值是 13.某书店今年3月份盈利5000元，5月份盈利6000元.设该书店每月盈利的平均增 长率为x.根据题意，可列方程为 14.如图，随机闭合开关K1,K2,K3中的两个，能让两盏灯泡L1,L2同时发光的概率 为 个北 X G 第14题图 第15题图 15.如图，在铁路建设中，需要确定隧道两洞口A和B之间的距离.点D,点E分别 位于测绘点C的正北和正西方向.已知测得两定位点E和D与隧道口A和B的距 离分别为150m和100m,测绘点H,G分别为CD,CE的中点，测绘方在测绘点 H测得点G在点H的南偏西53°的方向上，且HC=480m,则隧道AB的长约为 m.(参考数据：sin53=0.8,c0s530.6,tan53=) 16.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”， 后来南宋数学家秦九韶在《数书九章•大衍求一术》中将此问题系统解决.现有一 道同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺 序排成一列数，最小的数是 ,第50个数是 三、解答题（本大题共8个小题，第17题6分，第18题8分，第19-22题每小题9 分，第23-24题每小题11分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(6分)计算： 8+月-3m304-D2 数学信息（二）第3页共6页 18.(8分)如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC,BD相交于点O.E,F为对 角线BD上的两点，请你从以下三个条件：①AE=CF:②∠I=∠2；③AC=EF, 选择一个合适的作为已知条件，使四边形AEC℉为菱形.（不添加辅助线） (1)你选择的条件是 (填序号)： (2)选择了一个条件后，请证明四边形AECF为菱形. B 19.(9分)根据以下调查报告解决问题. 调查主题 学校八年级学生视力健康情况 背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注.某学习小组为了解本校八 年级学生视力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据. 调查结果 八年级学生右眼视力频数分布表 右眼视力 频数 八年级学生右眼视力频数分布直方图 3.8≤x<4.0 3 频数 4.0≤x<4.2 24 24 2 1 4.2≤x<4.4 18 3 4.4≤x<4.6 12 4.6≤x<4.8 9 3.84.04.24.44.64.85.05.2 4.8≤x<5.0 9 视力 5.0≤x<5.2 15 合计 90 建议：… (说明：以上仅展示部分报告内容) (1)视力在“4.8≤x<5.0”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：4.8,4.9， 4.8,4.8,4.9,4.8,4.8,4.9,4.9,这组数据的中位数是 (2)视力低于5.0属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼 视力不良的学生有多少人？ (3)视力在“3.8≤x<4.0”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采 访，用树状图法或列表法求恰好抽到两位男生的概率： (4)请为做好近视防控提一条合理的建议， 数学信息（二）第4页共6页 20.(9分)某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为4000米的污水排放主干 管道，为减少施工对城市交通所造成的影响，施工方优化了施工方案，实际施工时 每天的工效比原计划增加25%，结果提前2天完成铺设任务. (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米? (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每 天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过12万元.该公司原计划最多 应安排多少名工人施工? 21.(9分)如图，某反比例函数 $$y = \frac { k } { x } \left( k > 0 \right)$$ 的图象经过点4和点B(2，3)(点4 在点B的右侧)，分别过点A作 AC⊥x 轴于点C，作 AD⊥y 轴于点D，连接AB， BD. (1)求k的值； (2) 若五边形OC ABD的面积为12， 求直线AB的表达式； (3)请根据图象，直接写出不等式 $$\frac { k } { x } + \frac { 1 } { 2 } x > 4$$ 的解集. y B D C 22. (9分)如图， ⊙O 是 △ABC 的外接圆，AB是 ⊙O 的直径， ∠BAC 的平分线交 ⊙O 于点D，过点D作BC的平行线交AC的延长线于点E. E (1)求证：DE是 ⊙O 的切线； C D (2)若 $$\angle B A C = 6 0 ^ { \circ } ， C E = \sqrt 3 ，$$ ，求 ⊙O 的半径. A B 数学信息(二)第5页共6页 23.（11分)【方法探索】 如图1，在等边△ABC中，点P在△ABC内，且PA=2,PC=4,∠APC=150°， 求PB的长， 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路： 如图1，把△APC绕着点A顺时针旋转60°得到△APB,连接PP',分别证明△APP 和△BPP是特殊三角形，从而得解.（1)请在此思路提示下，求出PB的长。 【方法应用】 请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题： (2)如图2，点P在等边△ABC外，且PA=4,PB=3,∠APB=120°，求AB的 长： (3)如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=V10,P是△ABC外一点，连接 PA,PB,PC.已知∠APB=45°，PB=2.求PC的长. D B B 图1 图2 图3 24.(11分)已知抛物线G:y=ax2-2ax（a≠0)与直线1：y=x-2交于A,B两点， 其中B点在x轴上 (1)若点A的横坐标为-1，直线1与y轴交于点C,求a的值： (2)在（1)的条件下，若P为线段BC上一点，过点P作P2∥y轴交抛物线于点 2,求四边形OPB2面积最大时点P的坐标： (3)若M(s,t)，N(m,n)为该抛物线上不同的两点，a>0,且满足s-1=s -m-1 (sm≠0，m≠1，s≠1)，已知抛物线G存在最小值-2a2+1,设-n+=k,请判 t+1 断k是否为定值，若为定值，请求出k的值；若不是定值，请确定其取值范围： 数学信息（二)第6页共6页 2026数学信息卷（二)参考答案及解析 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 B D C A B B c A B C 二、 填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 11.a2 12.8 13.5000(1+x)2=6000 14. 1 15.1350 16.11,746 三、解答题（本大题共8个小题，第17题6分，第18题8分，第19-22题每小题9分， 第23-24题每小题11分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 17.解：原式=2+V3-3x3 ...4分 3 =3.6分 18.方法一： (1)解：① 2分 (2)证明：，四边形ABCD为菱形， .AC⊥BD,AO=CO, .∴.∠AOE=∠COF=90° ....4分 在Rt△AOE和Rt△COF中， AE=CF A0=CO .Rt△AOE≌Rt△COF(HL),.6分 ..OE-OF, 又.AO=CO,AC⊥EF, .7分 .四边形AECF为菱形 8分 方法二： (1)解：② ...2分 (2)证明：四边形ABCD为菱形， ∴.AC⊥BD,AO=CO, ∴.∠AOE-∠COF-90° ...4分 在△AOF和△COE中， ∠2=∠1 AO=CO ∠AOF=∠COE .∴.△AOF≌△COE(ASA), 6分 ∴.OE=OF, 又.AO=CO,AC⊥EF, ..7分 ∴.四边形AECF为菱形 8分 19.解：(1)4.8.2分 (2)估计该校八年级学生中右眼视力不良的学生有600x90,15=500(人)： 90 故该校八年级右眼视力不良的学生有500人.............4分 (3)画树状图如图： 开始 男女男女男男 .6分 共有6种等可能的结果，其中恰好抽到两位男生的有2种， 所以从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的概率是二…7分 63 (4)建议学校严格加强学生对手机、平板等电子产品的运用或者加强眼保健操，教 室改换护眼灯等措施（答案不唯一，只要合理就给分）·… .9分 20.解：（(1)设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道(1+25%)x=1.25x米， 根据题意得 4000 +2 4000 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 ..2分 1.25x 解得x=400, ..3分 经检验：x=400是分式方程的解，且符合题意， .4分 ∴.1.25x=500. 答：原计划与实际每天铺设管道分别为400米，500米.......5分 (2)设该公司原计划应安排y名工人施工，4000÷400=10（天）， 根据题意得300×10y≤120000， ....7分 解得y≤40， .8分 y的最大整数值为40. 答：该公司原计划最多应安排40名工人施工...9分 21.解：(1)将点B(2,3)代入反比例函数y=k中，得 .∴.k=2×3=6 2分 (2)由(1)知反比例函数解析式为y=6, 3分 设点A的坐标为(x6), .四边形OCAD为矩形， 5a0m54面+5a0号6-9+6=12,4分 解得6， 6 y=2=1, 6 .点A的坐标为(6,1) .5分 设直线AB的表达式为y=k2x+b, 将A(6,1),B(2,3)代入解析式得 「2k2+b=3 解得 2 .6分 6k2+b=1 b=4 1 .直线AB的解析式为y=-二x+4.7分 （3)0<K2或x6.9分 22.（1)证明：如答图，连接OD,则OD=OA, .∠ODA=∠BAD, .'∠BAC的平分线交⊙O于点D, E '.∠CAD=∠BAD, C D .∴.∠ODA=∠CAD, .∴.OD∥AC, .2分 B ,'AB是⊙O的直径，DE∥BC, .OD∥AC, .'.∠E=∠ACB=90°， 第22题答图 ∴.∠ODE=180°-∠E=90°， .'OD是⊙O的半径，且DE⊥OD, .DE是⊙O的切线.4分 (2)解：如答图，设OD交BC于点F, .∠ACB=90° ∴.∠FCE=90°， :∠FDE=∠E=90°， .四边形CEDF是矩形，.5分 ∴.DF=CE=V5,∠CFD=90°...6分 .OD∥AC, .∴.∠BOD=∠BAC=60°. .OD=OB, .△DOB是等边三角形..7分 ,BC⊥OD于点F, OF=DF,8分 ∴.OD=2DF=2V5, .⊙0的半径是23...9分 23.解：(1)将△APC绕点A顺时针旋转60°得到△APB,如答图1， ∴.AP=AP=2,BP=PC=4,∠PAP=60°， .△PAP为等边三角形， ∴.∠APP=60°，AP=AP=PP=2. P .'∠APB=∠APC=150°， .∴.∠BPP=∠APB-∠APP=150°-60°=90°， 在Rt△BPP中，由勾股定理得： 第23题答图1 BP=BP2+Pp2-V42+22=2V5....3分 (2)如答图2，连接PC,将△PAC绕点A顺时针旋转60°得到△PAB, ∴.PA=PA=4,∠PAP=60°， ∴.△PAP为等边三角形， ..PP=PA=4. .∠APB=120°， .∠BPP=180°，即B,P,P三点共线. B .PB=BP+PP=3+4=7,.5分 第23题答图2 过点A作AMLP'B于点M,则P'仁PP-号×4-2 在Rt△4MP中，由勾股定理得AEPA'-PP-V4P-22-2W3, BM=BP1-PM=7-2=5, 在Rt△AMB中，由勾股定理得AB=VAMP件B=(2V3)+52-√37；7分 (3)如答图3，将△APC绕点A顺时针旋转90°得到△ABP',连接PP, 过点B作BM⊥AP于点M, .∠APB=45°，BM⊥AP,PB=2, P ..PM-BM-V2. 、入、 .AB-=10, 在Rt△4MB中，AM=VAB2-BMF-V10-2=2V2, ∴.PA=PM什AF3V2,......8分 B 第23题答图3 由旋转的性质得：PA=PA=3V2,∠PAP-90°， 则∠PPA=∠PPA=45°， 在Rt△2AP中，Pp=PA2+PA2-6.9分 ,∠P'PA=45°，∠APB=45°， .∠PPB=45°+45°=90°， 在Rt△PPB中，PB-,Pp2+PB2=2V10,.10分 .'△APC≌△APB, .PC=P'B-2V10. .11分 24.解：（1)在y=x-2中，令x=-1,得y=-3；令y=0,得x=2. A（-1,-3),B(2,0), 将A（-1,-3)代入y=x2-2ax,得-3=x(-1)2-2ax(-1), 解得a=-1. 3 分 (2)如答图： 由（1)得抛物线解析式为y=-x+2x, 第24题答图 在y=x-2中，令x=0得y=-2, .C(0,-2), 由P在线段BC上，设P(p,p-2), 其中0≤P≤2， .PQ∥y轴交抛物线于Q, ∴.9(p,-p+2p), .P0=-p2+2p-（p-2)=-p+p叶2，… .5分 SP-PQ9-o（-p2+p叶2)x2=-p2+p叶2=-(p)+2 ∴当p广时，S边形oP0取最大值，此时点P的坐标为（兮，-）；7分 (3)k为定值 ,y=ax2-2ax=a(x-1)2-a,且抛物线G的最小值为-2a2+1, .当x=1时，取最小值，即-a=-2a+1, 解得：a=1或F-号（不符合a>0,舍去），8分 当a=1时，抛物线的解析式为y=x2-2x, .M(s,t)、W(m,n)均在抛物线上， .∴.t=s2-2s,=2-2m, .∴.s-5-+1=S, .m=1-5, .∴.n=m2-2m=(1-S)2-2(1-S)=2-1, 9分 .t-n=s2-2s-(s2-1)=-2s+1, ∴.t-什1=-2s+2=-2(5-1), 又什1=S2-2+1=(6-1),.10分 仁+102=46-102 =4. t什1 6-1)2 ∴.k为定值4. .11分