精品解析：河南省许昌市东城区新时代精英学校2024-2025学年九年级下学期开学数学试题

许昌市新时代精英学校2024-2025年度第二学期 九年级数学入学评估测试试卷 时间：100分钟 满分：120分 卷面分：1分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 清明时节一定下雨 B. 水加热到时沸腾 C. 小明经过马路，恰好是红灯 D. 任意画一个三角形，内角和是 2. 若关于x方程是一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 3. 袋内装有标号分别为1、2、3、4的4个球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 若的圆心角所对的弧长为，那么它所在的圆的面积为（　　） A. B. C. D. 5. 如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是 A. B. C. D. 6. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 7. 若，，为二次函数图像上的三点，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，点A坐标为，点C坐标为，将线段绕点C逆时针旋转至，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数图象上，点A在反比例函数的图象上，若平行四边形的面积是7，则（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知反比例函数的图象经过点，那么k的值为______． 12. 在中，若直径为，某弦的弦心距为，则此弦的长为______． 13. 将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得抛物线的顶点坐标为_________． 14. 某家用电器经过两次降价，每台零售价由350元下降到299元．若两次降价的百分率相同，设这个百分率为x，则可列出关于x的方程为____． 15. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是12cm，当重物上升时，滑轮的一条半径OA绕轴心按逆时针方向旋转的度数_________． 三、解答题（本大题共有8小题，共75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 某学校到红色景区开展红色研学活动，研学活动中有一个重温二苏大召开的场景活动，该活动需要派杨老师去领取四个灯笼，灯笼上分别写有“军”“民”“一”“家”（外观完全一样）． （1）杨老师从四个灯笼中任取一个，取到写有“一”的灯笼的概率是________． （2）杨老师从四个灯笼中不放回地先后取出两个灯笼，请用列表或画树状图的方法求杨老师恰好取到写有“军”“民”的两个灯笼的概率． 18. 如图，画出该图形以点O为对称中心的中心对称图形． 19. 在力的作用下，物体会在F的方向上发生位移，力F所做的功满足．当W为定值时，F与s之间的函数图象如图所示． （1）力F所做的功是多少？ （2）写出F与s之间的函数解析式． （3）当时，求s的值． 20. 已知：如图是圆O的直径，点D在的延长线上，，点C在圆上，，求证是圆O的切线． 21. 某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调查价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件． （1）直接写出每周售出商品的利润y（单位：元）与每件降价x（单位：元）之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围； （2）涨价多少元时，每周售出商品的利润为2250元； （3）直接写出使每周售出商品利润最大的商品的售价． 22. 如图，有一拱桥为圆弧形，跨度，拱高，当洪水泛滥时，跨度只有时要采取紧急措施．当测量人员测得水面到拱顶距离只有时，否需要采取紧急措施？ 23. 已知的两边分别与圆相切于点，，圆的半径为． （1）如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数； （2）如图2，点在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由； （3）若交圆于点，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 许昌市新时代精英学校2024-2025年度第二学期 九年级数学入学评估测试试卷 时间：100分钟 满分：120分 卷面分：1分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 清明时节一定下雨 B. 水加热到时沸腾 C. 小明经过马路，恰好是红灯 D. 任意画一个三角形，内角和是 【答案】D 【解析】 【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：A．清明时节一定下雨，是随机事件，故该选项不符合题意； B．只有在一个大气压下，水加热到时沸腾，才必然事件，故该选项不符合题意； C．小明经过马路，恰好是红灯，是随机事件，故该选项不符合题意； D．任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键． 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程 ∴， 故选：B． 3. 袋内装有标号分别为1、2、3、4的4个球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过画树状图可求出概率． 【详解】画树状图为： 共有16种等可能的结果数，其中所成的两位数是3的倍数的结果数为5，所以成的两位数是3的倍数的概率=． 故选B． 4. 若的圆心角所对的弧长为，那么它所在的圆的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据弧长求半径，根据弧长公式求出半径，再利用面积公式求出圆的面积即可． 【详解】解：设圆的半径为， 则：， ∴， ∴圆的面积为； 故选D． 5. 如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案． 【详解】解：抛物线向下平移1个单位， 抛物线的解析式为，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是掌握向下平移个单位长度纵坐标要减． 6. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据圆周角定理即可得． 【详解】解：∵， ∴由圆周角定理得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 7. 若，，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算抛物线的对称轴，在计算各点与对称轴的水平距离，根据抛物线开口向上，距离越大，函数值也越大比较即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，且， ∵，，， ∴点A到对称轴直线的距离为， 点B到对称轴直线的距离为， 点C到对称轴直线的距离为， ∵， ∴， 根据抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的增减性，熟练掌握抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小是解题的关键． 8. 如图，点A坐标为，点C坐标为，将线段绕点C逆时针旋转至，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，旋转的性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 分别过作轴的垂线，垂足分别为，证明，得出，求出，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，分别过作轴的垂线，垂足分别为， 则． ∵点坐标为，点坐标为， ， 根据旋转可知：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 9. 如图，四边形是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，若平行四边形的面积是7，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据反比例函数系数k的几何意义得到，进而即可求得k的值． 【详解】解：连接OB， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴轴， ∴，， ∴， ∴， ∵平行四边形的面积是7， ∴，即， ∵在第四象限， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例系数k的几何意义、平行四边形的面积，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是是解答此题的关键． 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口向上，得到a＞0，由于抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0，于是得到ac＜0，故①正确；根据抛物线的对称轴为直线x＝−，于是得到2a＋b＝0，当x=-1时，得到故②正确；把x＝2代入函数解析式得到4a＋2b＋c＜0，故③错误；抛物线与x轴有两个交点，也就是它所对应的方程有两个不相等的实数根，即可得出③正确根据二次函数的性质当x＞1时，y随着x的增大而增大，故④错误． 【详解】解：①∵抛物线开口向上与y轴交于负半轴， ∴a＞0,c＜0 ∴ac＜0 故①正确； ②∵抛物线的对称轴是x=1， ∴ ∴b=-2a ∵当x=-1时，y=0 ∴0=a-b+c ∴3a+c=0 故②正确； ③∵抛物线与x轴有两个交点，即一元二次方程有两个不相等的实数解 ∴ ∴ 故③正确； ④当-1＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时y随x的增大而增大． 故④错误 所以正确的答案有①、②、③共3个 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数与x轴的交点，正确识别图象，并逐一分析各结论是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知反比例函数的图象经过点，那么k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，利用待定系数法计算即可得解，熟练掌握待定系数法计算即可得解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 在中，若直径为，某弦的弦心距为，则此弦的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线，垂足为点，则，，连接，由题意可得，由勾股定理可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过圆心作弦的垂线，垂足为点，则，，连接， ， ∵直径为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得抛物线的顶点坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图像的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是，则其向左平移个单位，再向上平移个单位后的顶点坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．掌握抛物线的平移及解析式的变化规律是解题的关键． 14. 某家用电器经过两次降价，每台零售价由350元下降到299元．若两次降价的百分率相同，设这个百分率为x，则可列出关于x的方程为____． 【答案】350×(1－x)2＝299 【解析】 【详解】解：设家用电器平均每次降价的百分率为x， 根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率）， 则第一次降价后的价格是100（1-x）， 第二次后的价格是100（1-x）2， 据此即可列方程 15. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是12cm，当重物上升时，滑轮的一条半径OA绕轴心按逆时针方向旋转的度数_________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式的计算．重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：滑轮的半径是， 设旋转的角度是， 由题意得：， 解得：， 滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有8小题，共75分） 16. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 17. 某学校到红色景区开展红色研学活动，研学活动中有一个重温二苏大召开的场景活动，该活动需要派杨老师去领取四个灯笼，灯笼上分别写有“军”“民”“一”“家”（外观完全一样）． （1）杨老师从四个灯笼中任取一个，取到写有“一”的灯笼的概率是________． （2）杨老师从四个灯笼中不放回地先后取出两个灯笼，请用列表或画树状图的方法求杨老师恰好取到写有“军”“民”的两个灯笼的概率． 【答案】（1）；（2）恰好取到写有“军”“民”的两个灯笼的概率． 【解析】 【分析】（1）直接根据题意利用概率计算公式进行求解即可； （2）利用树状图的方法进行求解概率即可． 【详解】解：（1）由题意得： 取到写有“一”的灯笼的概率是， 故答案为； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好取到写有“军”“民”的两个灯笼的概率． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解方法是解题的关键． 18. 如图，画出该图形以点O为对称中心的中心对称图形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了画中心对称图形，利用中心对称的性质，即中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分，来作出以点为对称中心的中心对称图形即可，熟练掌握中心对称的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图： ．． 19. 在力的作用下，物体会在F的方向上发生位移，力F所做的功满足．当W为定值时，F与s之间的函数图象如图所示． （1）力F所做的功是多少？ （2）写出F与s之间的函数解析式． （3）当时，求s的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）把，，代入计算即可得解； （2）由题意可得，结合（1）可得，即可得解； （3）将代入（2）中的关系式计算即可得解． 【小问1详解】 解：把，，代入可得，力F所做的功是； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（1）可得， ∴F与s之间的函数解析式； 【小问3详解】 解：当时，， 解得． 20. 已知：如图是圆O直径，点D在的延长线上，，点C在圆上，，求证是圆O的切线． 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接、，如图，利用圆周角定理得到，则可计算出，于是可判断 是等边三角形，则，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质计算出，从而得到，然后根据切线的判定定理可得到结论． 【详解】证明：连接、，如图， ∵是的直径， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， 又， ， ，而， ， ， ， 是的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了等边三角形的判定与性质． 21. 某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调查价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件． （1）直接写出每周售出商品的利润y（单位：元）与每件降价x（单位：元）之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围； （2）涨价多少元时，每周售出商品的利润为2250元； （3）直接写出使每周售出商品利润最大的商品的售价． 【答案】（1）y＝﹣20x2+100x+6000；（0≤x≤20）；（2）涨价25元时，每周售出商品的利润为2250元；（3）65元． 【解析】 【分析】（1）根据涨价时，每涨价1元，每星期要少卖出10件，可列出销售量代数式，根据总利润＝单件利润×销售量列出函数表达式即可； （2）根据总利润＝单件利润×销售量列方程解答即可； （3）根据函数表达式，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）∵每降价1元，每星期要多卖出20件， ∴每星期实际可卖出（300+20x）件， y＝（60﹣40﹣x）（300+20x） ＝﹣20x2+100x+6000；（0≤x≤20）； （2）设涨价m元时，每周售出商品的利润为2250元， 由题意得，（60+m﹣40）（300﹣10m）＝2250， 解得：m＝25或m＝﹣15（不合题意，舍去）； 答：涨价25元时，每周售出商品的利润为2250元； （3）∵y＝-20x2+100x+6000＝-20（x-）2+6125． ∴在降价的情况下，售价为57.5元每星期售出商品的最大利润是6125元． 设涨价m元时，每周售出商品的利润为W元， ∴W＝（60+m-40）（300-10m）＝-10m2+100m+6000＝-10（m-5）2+6250， ∴在涨价的情况下，售价为65元每星期售出商品的最大利润是6250元． 综上所述：每周售出商品利润最大的商品的售价是65元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，再配成抛物线的顶点式，然后利用当，时，有最大值；当，时，有最小值等性质解决实际问题． 22. 如图，有一拱桥为圆弧形，跨度，拱高，当洪水泛滥时，跨度只有时要采取紧急措施．当测量人员测得水面到拱顶距离只有时，是否需要采取紧急措施？ 【答案】不需要采取紧急措施 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接、，由题意可得，，，，，，由垂径定理可得，，再利用勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接、， ， 由题意可得：，，，，，， 由垂径定理可得：，， 由勾股定理可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴不需要采取紧急措施． 23. 已知的两边分别与圆相切于点，，圆的半径为． （1）如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数； （2）如图2，点在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由； （3）若交圆于点，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含的式子表示）． 【答案】（1）50°；（2）当∠APB=60°时，四边形APBC为菱形，理由见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）连接OA、OB，根据切线的性质和多边形内角和定理可得∠AOB+∠APB=180°，然后结合已知求得∠AOB，最后根据圆周角定理即可解答； （2）连接OA、OB，先观察发现当∠APB=60°时，四边形APBC可能为菱形；然后利用∠APB=60°结合（1）的解答过程可得∠ACB=∠APB=60°，再根据点C运动到PC距离最大，即PC经过圆心；再说明四边形APBC为轴对称图形结合已知条件得到PA =PB=CA =CB，即可得到四边形APBC为菱形； （3）由于⊙O的半径为r，则OA=r、OP=2 r，再根据勾股定理可得AP=r、PD=r，然后根据弧长公式求得的弧长，最后根据周长公式计算即可． 【详解】解：（1）如图1，连接OA、OB ∵PA，PB为⊙O的切线 ∴∠PAO=∠PBO=90° ∴∠AOB+∠MPN=180° ∵∠MPN=80° ∴∠AOB=180°-∠MPN=100° ∴∠AOB=100°=∠ACB=50°； （2）当∠APB=60°时，四边形APBC为菱形，理由如下： 如图2：连接OA、OB 由（1）可知∠AOB+∠APB=180° ∵∠APB=60° ∴∠AOB=120° ∴∠ACB=60°=∠APB ∵点C运动到PC距离最大 ∴PC经过圆心 ∵PA、PB为⊙O的切线 ∴四边形APBC为轴对称图形 ∵PA=PB，CA=CB，PC平分∠APB和∠ACB ∴∠APB=∠ACB=60° ∴∠APO=∠BPO=∠ACP=∠BCP=30° ∴PA =PB=CA =CB ∴四边形APBC为菱形； （3）∵⊙O的半径为r ∴OA=r，OP=2 r ∴AP=r，PD=r ∵∠AOP=60° ∴ ∴C阴影． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、菱形的判定、弧长公式以及有关圆的最值问题，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $