第十二章 分式与分式方程 习题课件 2025-2026学年 冀教版八年级上册 数学

该初中数学课件系统梳理了分式单元的核心知识，涵盖分式的概念、性质、运算、方程及实际应用，通过典型例题将分式定义、有意义条件、化简求值、方程求解等知识点串联，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于采用分层设计，基础题巩固运算能力，如分式化简求值题；创新题如“和谐分式”新定义问题培养推理意识，实际应用题强化应用意识。这种设计兼顾不同学生需求，助力教师精准复习，提升学生知识掌握与素养发展。

第十二章　素养提优测试卷 一、选择题(每小题3分,共36分) 1. (2025河北石家庄新华校级月考,★☆☆)下列各式中,是分 式的是(         ) A.  　　    B.  　　    C.  　　    D.  +1 B 解析     是分式, , , +1都是整式,故选B. 2. (2025湖北武汉江夏月考,★☆☆)要使式子 有意义,则x 的取值范围是(         ) A. x≥1　　    B. x≤1　　    C. x≠1　　    D. x≤-1 C 解析　由题意可知-1+x≠0,解得x≠1.故选C. 3. (2025河北石家庄辛集期末,★☆☆)下列等式不成立的是 (         ) A.  + = 　　　    B.  =  C.  = 　　　    D.  =-  A 解析    A. + = + = ,故本选项等式不成立,符合题 意; B. = = ,故本选项等式成立,不符合题意; C. = = ,故本选项等式成立,不符合题意; D. = =- ,故本选项等式成立,不符合题意.故选 A. 4. (2024甘肃中考,★☆☆)计算: - =(         ) A. 2　　    B. 2a-b　　    C.  　　    D.   A 解析　原式= = =2.故选A. 5. (2025河南安阳期末,★☆☆)如图所示的是某同学关于分式 的运算过程,其中“ ”部分不小心被擦掉了,则 被擦掉的部分是(         ) B  ÷ = · =4+x. 第5题图 A. x　　    B. x+2　　    C. x-2　　    D. 4-x2 解析　根据题意得被擦掉的部分为 - = =  = =x+2.故选B. 6. 【学科特色·一题多解　】(2024河北邢台信都期中,★☆ ☆)当把分式 的x,y的值同时扩大到原来的5倍时,分式的 值也扩大到原来的5倍,则“□”可以是(         ) A. 5　　    B. 5y　　    C. 3xy　　    D. 3y2 B 解析　【解法一】分析法:∵x和y的值都扩大到原来的5倍, ∴2xy的值扩大到原来的5×5=25倍, ∵分式的值扩大到原来的5倍, ∴x+□的值扩大到原来的5倍, ∵x的值扩大到原来的5倍, ∴□的值也要扩大到原来的5倍,则“□”可以是5y. 【解法二】代入法:分别将四个选项代入原分式,x,y的值同时 扩大到原来的5倍,则A选项: = ,分式的值不是扩大 到原来的5倍,不符合题意; B选项: = ,分式的值扩大到原来的5倍,符合题意; C选项: = ,分式的值不是扩大到原来的5倍, 不符合题意; D选项: = ,分式的值不是扩大到原来的5倍, 不符合题意. 故选B. 7. (2025河北保定曲阳期末,★★☆)已知关于x的分式方程  = -4,要使该方程的解为正数,则m不能取的值为(        ) A. -1　　    B. 3　　    C. 5　　    D. 7 D 解析　解方程 = -4,得x= , 由题意得x≠2,即 ≠2,∴m≠-2. ∵该方程的解为正数,∴ >0,解得m<6. ∴m的取值范围为m<6且m≠-2, ∴m不能取的值为7.故选D. 8. (2024河北石家庄九中月考,★★☆)如果一个分式的分子或 分母可以因式分解,且这个分式不可约分,那么我们称这个分 式为“和谐分式”,下列分式中是“和谐分式”的是(         ) A.  　　    B.  　　    C.  　　    D.   C 解析　由题意可知,“和谐分式”是一种特殊的最简分式. A. = = ,原分式不是最简分式,故原分式 不是“和谐分式”,故此选项不符合题意; B. = = ,原分式不是最简分式,故原分式 不是“和谐分式”,故此选项不符合题意; C. 是最简分式,且分母可以利用平方差公式进行因式分 解,故此分式是“和谐分式”,故此选项符合题意; D. 是最简分式,但分子和分母均不能因式分解,故此分式 不是“和谐分式”,故此选项不符合题意. 故选C. 9. (2024四川广元中考,★★☆)我市把提升城市园林绿化水平 作为推进城市更新行动的有效抓手,从2023年开始通过拆违 建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公 园”,现需要购买A,B两种绿植,已知A种绿植单价是B种绿植 单价的3倍,用6 750元购买的A种绿植比用3 000元购买的B种 绿植少50株.设B种绿植单价是x元,则可列方程是(         ) A.  -50= 　　　    B.  -50=  C.  +50= 　　　    D.  +50=  C 解析　∵A种绿植单价是B种绿植单价的3倍,B种绿植单价是 x元,∴A种绿植单价是3x元.根据题意,得 +50= .故选 C. 10. (2024河北石家庄二十七中期中,★★☆)小敏在做数学作 业时,不小心将式子中除号后边的代数式用墨水污染了,即  ÷*(*为被污染的代数式),通过查看答案,知答案为  ,则被污染的代数式*为(         ) A.  　　    B.  　　    C.  　　    D.   C 解析　根据题意得,被污染的代数式*= ÷ =  ·(1-a)= ·[-(a-1)]= ,故选C. 11. (★★☆)若a为正整数,下列关于分式 的值的结论正 确的是    (         ) A. 有最大值是2　　　    B. 有最大值是  C. 有最小值是1　　　    D. 有最小值,没有最大值 B 解析     = = ,根据分式有意义,知(a+1)(a-1) ≠0,解得a≠1且a≠-1,∵a为正整数,∴a的最小值为2,∵分式 的值随着a的值的增大而减小,∴当a取最小整数2时,原式有最 大值,为 = ,易知原分式无最小值.故选B. 12. 【新考向·新定义题】(2023湖南娄底涟源期末, )规定 一种新的运算“JQx→+∞ ”,其中A和B是关于x的多项式.当A 的次数小于B的次数时,JQx→+∞ =0;当A的次数等于B的次数 时,JQx→+∞ 的值为A和B的最高次项的系数的商;当A的次数大 于B的次数时,JQx→+∞ 不存在.例:JQx→+∞ =0,JQx→+∞  = .若 = ÷ ,则JQx→+∞ 的值为(         ) C A. 0　　    B.  　　    C.  　　    D. 不存在 解析     = ÷ = ÷  = × = , ∴JQx→+∞ = .故选C. 二、填空题(每小题3分,共12分) 13. (2025河北石家庄辛集期末,★☆☆)已知a,b满足 + =  ,则 的值为_________.     2     解析　由 + = 可得 = ,b≠0,即(a+b)(a-b)=2ab, ∴a2-b2=2ab, ∴ -1= ,即 = +1, ∴ =1- + =1- + +1=2,故答案为2. 14. (★★☆)已知关于x的方程 =5- 有增根,则关于x的 方程 + =0的解为____________.     x=-      解析     =5- ,去分母得x=5(x-4)+m, 去括号得x=5x-20+m,移项、合并同类项得m=20-4x, ∵方程 =5- 有增根,∴x-4=0, ∴x=4,把x=4代入m=20-4x,得m=4,将m=4代入 + =0,得  + =0,去分母得5(x+3)+4(x-2)=0,解得x=- .经检验,x= - 是方程 + =0的解. 15. 【新考向·规律探究题】(★★☆)关于x的方程x+ =a+ 的 两个解为x1=a,x2= ;x+ =a+ 的两个解为x1=a,x2= ;x+ =a+  的两个解为x1=a,x2= ,则关于x的方程x+ =a+ 的两个解 为_________________.     x1=a,x2=      解析　由已知方程整理得(x-1)+ =(a-1)+ , 根据题意得x-1=a-1或x-1= ,解得x1=a,x2= , 经检验,x1=a,x2= 都为分式方程的解. 16. (2024河北石家庄行唐期末,★★☆)已知关于x的分式方程  = +2. (1)若m=4,则分式方程的解为___________. (2)若分式方程无解,则m的值为_________.     3         x=2     解析    (1)当m=4时,原方程为 = +2,去分母得3x=4+2(x- 1),解得x=2,检验:当x=2时,x-1≠0,∴x=2是原方程的解. (2)方程去分母得3x=m+2(x-1),整理,得x=m-2,当x=1时,x-1=0,分 式方程无解,∴m-2=1,解得m=3, ∴m=3时,分式方程无解. 三、解答题(共6小题,共72分) 17. (2025河北模拟,★☆☆)(10分)在数学课上,老师展示两道 习题的解答过程: 习题1:计算 + . 解:原式= +  …第一步 =a-1+a(a-1)…第二步 =a2-1.…第三步 习题2:解方程 = +1. 解:方程两边同乘x+1, 得2=x+1,…第一步 解得x=1,…第二步 经检验,x=1是分式方程的解,…第三步 所以分式方程的解为x=1.…第四步 (1)解答过程中,习题1从第________步开始出现错误,习题2 从第________步开始出现错误. (2)任选一个习题写出正确的解答过程. 解析    (1)二;一. (2)选习题1.  + = + = + = =1. 选习题2.  = +1, 方程两边同乘x+1,得2=x+x+1,解得x= , 经检验,x= 是分式方程的解, 所以分式方程的解为x= . (以上任选其一) 18. (2025河北石家庄栾城校级模拟,★★☆)(12分)已知M=  ,N= . (1)当x>0时,判断M-N与0的关系,并说明理由. (2)设y= +N,当y=3时,求x的值. 解析    (1)M-N≥0,理由如下: M-N= - = = = = , ∵x>0,∴(x-1)2≥0,2(x+1)>0, ∴ ≥0,∴M-N≥0. (2)y= + = + = , ∵y=3,∴ =3,解得x=1, 经检验,x=1是方程 =3的解, ∴x的值为1. 19. 【新课标·运算能力】(2023山东烟台中考,★★☆)(12分) 先化简,再求值: ÷ ,其中a是使不等式  ≤1成立的正整数. 解析　原式= ÷  = ·  = ·  = , ∵ ≤1,∴a≤3, ∵a是使不等式 ≤1成立的正整数,∴a=1,2,3, 又∵a-2≠0,a-3≠0,a+3≠0,∴a≠2,a≠3,a≠-3, ∴a=1, ∴原式= =- . 20. (2024贵州遵义月考,★★☆)(12分)已知m,n互为相反数,且 m≠n,p,q互为倒数. (1)求 +2pq- 的值. (2)爱思考的璐璐发现其中的条件m≠n是多余的,你认为璐璐 的想法对吗?为什么? 解析    (1)易知m≠0,n≠0,∵m,n互为相反数, ∴m+n=0, =-1. ∵p,q互为倒数,∴pq=1, ∴ +2pq-  = +2×1-(-1)=0+2+1=3. (2)璐璐的想法不对.理由如下: ∵当m=n时,必有m=n=0,则式子 与 都没有意义,∴m≠n 这个条件不是多余的. 21. 【新考向·阅读理解题】(2025内蒙古呼和浩特赛罕期末, ★★☆)(12分)阅读下面的解题过程: 已知 = ,求 的值. 解:由 = ,可知x≠0,∴ =3,即x+ =3①, ∴ =x2+ = -2=32-2=7②.故 的值为 . (1)第②步x2+ = -2运用了公式:________.(要求:用 含a,b的式子表示) (2)题目中的解法叫作“倒数法”,请你利用“倒数法”解决 问题:已知 =- ,求 的值. (3)已知 = , =- , = ,求 的 值. 解析    (1)(a+b)2=a2+2ab+b2. (2)∵ =- ,∴x≠0, ∴ =-4,∴x-3+ =-4, ∴x+ =-1, ∴ =x2+7+ = -2+7=(-1)2-2+7=6, ∴ = . (3)∵ = ,∴ =2 024, 即 + =2 024, 同理可得 + =-2 025, + =2 026, ∴ = , =- , =- , ∴ = + + = , ∴ = . 22. (2025广西桂林期末,★★☆)(14分)综合与实践. 【问题情境】2024年10月26日至11月3日,桂林成功举办了艺 术节,推出了多款以桂林艺术节为主题的文创产品,推动了桂 林本地文旅产品经济的发展.某商店老板购进冰箱贴和手提 包两种文创产品进行销售.已知用750元购进手提包的数量比 用500元购进冰箱贴的数量少20个,且手提包进价是冰箱贴进 价的2.5倍.求冰箱贴和手提包的进价各是多少元/个. (1)根据题意,小林同学列出如下方程:  =2.5× ,解得x=50,经检验,x=50是原方程的解,且符合 题意. 小林同学所列方程中的x表示________. (2)小桂同学有不同的解法,若他设冰箱贴的进价是y元/个,请 你帮他完成解答. (3)由于文创产品销售火爆,该老板再次以同样的价格购进商 品.若购进冰箱贴的数量比手提包的数量的2倍少3个,且购进 冰箱贴、手提包两种文创产品的总资金不超过1 320元,则最 多可以购进手提包多少个? 解析    (1)购进冰箱贴的数量. (2)因为冰箱贴的进价是y元/个,所以手提包的进价是2.5y元/ 个, 根据题意得 - =20,解得y=10, 经检验,y=10是原方程的解,且符合题意, ∴2.5y=2.5×10=25. 答:冰箱贴的进价是10元/个,手提包的进价是25元/个. (3)设购进m个手提包,则购进(2m-3)个冰箱贴, 根据题意得25m+10(2m-3)≤1 320, 解得m≤30,∴m的最大值为30. 答:最多可以购进手提包30个. END THANKS 感谢您的观看 $$