精品解析：河北省邯郸市武安市武安市第十一中学2024-2025 学年八年级数学下学期第一次月考卷数学

2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是(　　) A. x＞ B. x≥ C. x≤ D. x≤5 2. 下列各组数中能作为直角三角形三边的是（ ） A. 3，3，5 B. 9，6，8 C. 4，5，6 D. 5，12，13 3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是（　　） A. 10m B. 15m C. 26m D. 30m 6. 设直角三角形的较长直角边长为x，较短直角边长为y．若 xy＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 7. 如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是和，则字母B所代表的正方形的面积是( ) A. B. C. D. 8. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 9. 已知三角形的三条边长为3，5，k，化简：（ ） A. 8 B. －8 C. 2k-10 D. 10-2k 10. 如图，在中，，，垂足为D．若，，则的长为（ ） A. 2.4 B. 2.5 C. 4.8 D. 5 11. 将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点G落在上，若，空白部分面积为，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分.） 13. 计算的结果是_________． 14. 比较大小：________．（用、或连接） 15. 如图，在中，，，，将沿折叠，使点与点重合，则的长度为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 三、解答题（本题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 20. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的长度； （2）求的度数； （3）作图，在数轴上找到长度对应的点，并标注为点P．（要求保留作图痕迹） 21. 如图所示，在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现需要在处进行爆破，已知点与公路上的停靠站的距离为300米，与公路上的另一停靠站的距离为400米，且．为了安全起见，爆破点周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 22. [材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 23. （1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑（点D不与点B，C重合），连接EC． ①则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　 　； ②求证：BD2+CD2＝2AD2． （2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝13，CD＝5，求AD2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是(　　) A. x＞ B. x≥ C. x≤ D. x≤5 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意得，5x﹣1≥0， 解得，x≥， 故选B． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 2. 下列各组数中能作为直角三角形三边的是（ ） A. 3，3，5 B. 9，6，8 C. 4，5，6 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：A．，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意； B．，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意； C．，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意； D．，能作为直角三角形三边长度，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与是同类二次根式，符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的乘除运算，直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘除运算法则分别化简，进而得出答案． 【详解】A.，故不合题意； B．，故符合题意； C．，故不合题意； D．，故不合题意． 故选：B． 5. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是（　　） A. 10m B. 15m C. 26m D. 30m 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出大树折断部分的高度即可求解． 【详解】】解：如图所示： ∵△ABC是直角三角形，AB=10m，AC=24m， 故选C 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出BC的长度． 6. 设直角三角形的较长直角边长为x，较短直角边长为y．若 xy＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设小正方形的边长为 a，根据图形面积关系可得S大正方形＝S小正方形＋4S直角三角形，再根据xy＝8，可列方程求解． 【详解】设小正方形的边长为 a（a＞0）， ∵ S大正方形＝S小正方形＋4S直角三角形，S直角三角形＝x·y， ∴ 25＝a²＋×4×8， 所以a＝3. 故选 D． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 7. 如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是和，则字母B所代表的正方形的面积是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差． 【详解】解：由勾股定理得：字母B所代表的正方形的面积为． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟记：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积． 8. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知，代入求值即可． 【详解】解：， 当，时， ，， 原式． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式化简求值，二次根式的加减． 9. 已知三角形的三条边长为3，5，k，化简：（ ） A. 8 B. －8 C. 2k-10 D. 10-2k 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系确定k的取值范围，再得到9-k＞0，1-k＜0，从而化简代数式． 【详解】解：∵三角形的三条边长为3，5，k， ∴5-3＜k＜5+3，即2＜k＜8， ∴9-k＞0，1-k＜0， ∴===8， 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，二次根式的性质，去绝对值，解题的关键是确定k的取值范围． 10. 如图，在中，，，垂足为D．若，，则的长为（ ） A. 2.4 B. 2.5 C. 4.8 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先由勾股定理求出的长，再运用等面积法求得的长即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，即． 故选A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等面积法等知识点，掌握运用等面积法求三角形的高是解题的关键． 11. 将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意，分类讨论，当筷子直立在水杯中时，；当筷子斜放在水杯中，如图所示，运用勾股定理可得；由此即可求解． 【详解】解：根据题意，当筷子直立在水杯中时，； 当筷子斜放在水杯中，如图所示，，且 ∴， ∴筷子露在外面的部分的长度为， ∴的取值范围为：， 故选：B ． 12. 如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点G落在上，若，空白部分面积为，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出，根据勾股定理得到，解方程组得到，接着由图可知空白部分为重叠部分，阴影部分为非重叠部分，所以2倍的空白部分与阴影部分面积和等于三个正方形与三角形面积和．结合即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 阴影部分的面积和 三个正方形面积三角形面积倍空白部分面积， ； 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的相关知识，有一定难度；解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用． 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分.） 13. 计算的结果是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，注意：． 14. 比较大小：________．（用、或连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式 的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解答的关键．将根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，再比较被开方数的大小，即可得到答案． 【详解】解：，，且， ，即， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，将沿折叠，使点与点重合，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形的折叠的性质，勾股定理是解题的关键．根据折叠的性质可得，设，则，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意得，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴ ， 解得：． ∴． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 三、解答题（本题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质化简，进而得出答案； （2）将原式用平方差公式化简，再求值即可 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和混合运算法则． 18. 如图，，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用“”可证明； （2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 19. 一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】（1）梯子顶端距离地面的高度为24米 （2）梯子的底端在水平方向滑动了8米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键． （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度； （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离． 【小问1详解】 解：根据勾股定理： 梯子顶端距离地面的高度为：； 【小问2详解】 梯子下滑了4米， 即梯子顶端距离地面的高度为：米， 根据勾股定理得：米， ． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 20. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的长度； （2）求的度数； （3）作图，在数轴上找到长度对应的点，并标注为点P．（要求保留作图痕迹） 【答案】（1）； （2）； （3）图见解析． 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理可得为直角三角形，，即可求解； （3）分别以1，3两个点为圆心，以适当长（大于1）为半径画弧，交于两点，连接，必过点2这个点，再以2这一点为圆心，以2长为半径画弧，交于一点，连接，以为圆心，以为半径画弧，即可求解． 【小问1详解】 解：连接，如下图： 在中， 【小问2详解】 ∵，即 ∴为直角三角形， ∵， ∴ ∴ 【小问3详解】 如图，点即为所求 【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，无理数与数轴，以及尺规作图（作垂直平分线），解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 21. 如图所示，在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现需要在处进行爆破，已知点与公路上的停靠站的距离为300米，与公路上的另一停靠站的距离为400米，且．为了安全起见，爆破点周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 【答案】公路有危险需要封锁，需要封锁的路段长度为140米 【解析】 【分析】过作于,利用勾股定理算出的长度，然后利用三角形的面积公式可求出的长，用的长和250比较大小即可判断是否需要封锁，最后根据勾股定理求出封锁的长度． 【详解】解：公路需要暂时封锁， 理由如下：如图，过作于， 因为米，米，， 所以根据勾股定理有米， 因为， 所以（米）， 由于,故有危险， 封锁长度为：米， 因此段公路需要暂时封锁，封锁长度为140米． 【点睛】本题考查了正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键． 22. [材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据所得规律计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：，； （2）解： ； （3）． 理由如下： ∵，， ∵， ∴， ∴． 23. （1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑（点D不与点B，C重合），连接EC． ①则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　 　； ②求证：BD2+CD2＝2AD2． （2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝13，CD＝5，求AD2． 【答案】（1）①BC＝DC+EC；②见解析；（2）72 【解析】 【分析】（1）①证明△BAD≌△CAE，得出BD=CE，可得BC=DC+BD=DC+EC；②根据全等三角形的性质可得∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根据勾股定理计算即可； （2）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE=9，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）①解：BC＝DC+EC，理由如下： ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝EC， ∴BC＝DC+BD＝DC+EC； 故答案为：BC＝DC+EC； ②证明：∵Rt△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， 由（1）得，△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°， ∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°， ∴CE2+CD2＝ED2， 在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2， 又AD＝AE， ∴BD2+CD2＝2AD2； （2）解：如图2，过A作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE， ∴∠EDA=45°， ∵∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠BAC=∠DAE=90°， ∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD与△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE＝13， ∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°， ∴∠EDC＝90°， ∴DE＝＝＝12， ∵∠DAE＝90°， ∴AD2+AE2＝DE2， ∵AE＝AD， ∴AD2＝＝72． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的判定等知识；本题难度适中，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $