精品解析：广东省江门市鹤山市碧桂园学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

鹤山市碧桂园学校2024-2025学年第二学期3月阶段性自查 八年级数学 说明：本次自查时间为120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，逐一判断即可，一般形如的代数式叫做二次根式．当时，表示的算术平方根；当小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）． 【详解】解：A、无意义，故本选项不符合题意； B、的根指数是3，不是2，故本选项不符合题意； C、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意； D、当时，根式无意义，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 若，则的值是（ ） A. 49 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质化简计算是解题的关键． 根据二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：， ∴， 故选：C ． 3. 计算 的结果是（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的乘法．根据进行计算即可． 【详解】解： 故选：D 4. 与最简二次根式是同类二次根式，则（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义是解题关键． 直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得：． 故选：A． 5. 已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A. 48 B. 6 C. 12 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先化简二次根式，再确定n的最小值即可． 【详解】解：∵， ∵是整数，则是整数， ∴是一个平方数， ∴正整数n的最小值为3， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，理解“被开方数是平方数，那么二次根式的值为整数”是解题的关键． 6. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用数形结合的思想是解题关键．先求出圆的半径，结合点A在表示1的数的左侧，即得出点A处所表示的数． 【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为， ∴点A处所表示的数为． 故选：B． 7. 以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为（ ） A. 6 B. 36 C. 64 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，算术平方根的相关计算，掌握以上知识及计算是解题的关键． 根据题意，正方形A的面积与8的和等于14，可得A得面积，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴正方形的边长为， 故选：D ． 8. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于下列哪部著名数学著作中（ ） A. 《孙子算经》 B. 《海岛算经》 C. 《周髀算经》 D. 《九章算术》 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数学历史文化，勾股定理；由周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”记载于《周髀算经》之中，即可求解． 【详解】解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论，被记载于《周髀算经》之中． 故选：C． 9. 在中，已知两边长为5和12，则第三边的长为（ ） A. 13 B. C. 13或 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，掌握分类讨论思想是解本题的关键．本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：当12是斜边时，第三边是； 当12是直角边时，第三边是． 故第三边长为或． 故选：C． 10. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ． 若，则的值为（ ） A. 5 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算；将分母有理化，化简为，仿照例题进行计算得出，代入，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 比较大小：______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据，可得． 【详解】解：∵， ∴，即， 故答案为：． 12. 化简：_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质，先将原式化为绝对值形式，再根据判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号即可得到结果． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 13. 若，满足，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：． 14. 海伦—秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题目所给公式代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图是一台手机支架的示意图，可分别绕点A，B转动，测得，若，垂足为点E，，则点D到的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理可得，则此题可解. 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴点D到的距离为. 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算解答即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的乘法、除法公式是解题的关键． 【详解】 ． 17. 如图，已知实数在数轴上的对应点，请化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数轴上点的特点、绝对值和实数的运算与二次根式化简，根据数轴上点的位置判断出二次根式被开放数的正负与绝对值内的正负是解答本题的关键． 【详解】解：由题图可知， 所以原式 ． 18. 如图，一根长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端．如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将向右滑动多少米？ 【答案】米． 【解析】 【分析】先在中，利用勾股定理出的长，再根据线段的和差可得的长，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后根据即可得出答案． 【详解】解：如图， 由题意得：， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：梯子的底端将向右滑动米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 先化简，再求值：，其中． 以下是一位同学的化简过程： 解：原式 第一步 第二步 ．第三步 （1）这位同学的化简过程从第______步开始出错； （2）写出完整的解答过程． 【答案】（1）一 （2） 原式 ． 当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法，平方差公式，二次根式等， （1）根据整式的乘法，平方差公式，去括号法则进行判断即可； （2）根据整式的乘法，平方差公式，去括号法则进行计算． 【小问1详解】 解：原式，故第一步错了， 故答案为：一 【小问2详解】 解：略． 20. 麻阳河自然保护区是国家一级重点保护区，主要野生动物是黑叶猴．如图，有两只猴子在一棵树上的点 B 处，且，它们都要到A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下再走到离树处的A 处（即），另一只猴子乙先爬到顶 D 处后再沿缆绳滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，求这棵树高有多少米？ 【答案】这棵树高有6米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出的等量关系，并根据求的长是解题的关键．设的长度为，根据，求出，在中，由勾股定理，列出方程求解出，即可解答． 【详解】解：设的长度为， ∵， ∴， ∴； 由题意知，则在中， 有， ∴， 解得：， ， ∴． 答：这棵树高有6米． 21. 如图，等腰直角三角形ABC中，点D在斜边BC上，以AD为直角边作等腰直角三角形ADE． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）求证：BD2＋CD2＝2AD2． 【答案】 （1）∵△ABC，△ADE是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝∠DAE＝90°，BA＝CA，AD＝AE，∠B＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝45°， ∴∠BAD＋∠DAC ＝∠CAE＋∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE． 在△ABD与△ACE中，BA＝CA，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE． （2）∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD＝∠ACE＝45°，BD=CE． ∴∠ECD＝∠ACE＋∠ACB＝90°， ∴CE2＋CD2＝DE2． ∵△ADE是等腰直角三角形， ∴DE2＝AD2＋AE2＝2AD2． ∴BD2＋CD2＝2AD2． 【解析】 【分析】（1）通过证BA＝CA，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，得出△ABD≌△ACE； （2）证CE=BD,DE2=2AD2，再在Rt△CDE中利用勾股定理即可. 【详解】（1）略； （2）略． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题共14分，共27分） 22. 观察下列运算：； ； ； …… （1）通过观察上面的解答过程得 ， （用含n的式子表示，n为正整数）． （2）化简：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． （1）把的分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算即可；把的分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算即可； （2）先分母有理化，然后合并即可； 【小问1详解】 解： ； ； 【小问2详解】 解： ． 23. 综合与实践 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． （1）把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理． （2）如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； （3）在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． （4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】（1） （2） （3）千米 （4） 【解析】 【分析】（1）根据可得四边形为直角梯形，则，根据，可得，则，由，可得，，进而可得，再根据可得，据此即可得出答案； （2）连接，过点作于点，根据，可得四边形是矩形，进而可得千米，千米，于是可得千米，然后利用勾股定理即可求得、两个村庄之间的距离； （3）由题意可知，点在的垂直平分线上，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；设千米，则千米，在和中，分别利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可求出的距离； （4）根据轴对称—最短路线的求法即可求出：先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则就是代数式的最小值；然后利用轴对称的性质、矩形的判定与性质及勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：依题意得：，，，， ， ， 四边形为直角梯形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理，得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于点，    ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意可知，点在的垂直平分线上， 如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：， 即：千米； 【小问4详解】 解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 【点睛】本题是四边形—三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用（包括：选址使到两地距离相等、求最短路径等），轴对称—最短路线问题，线段的垂直平分线，矩形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，这是解本题的关键，而构造出直角三角形则是解本题的难点． 六、附加题（本大题共15分） 24. 如图，已知在中，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接． （1）当秒时，求的长度（结果保留根号）； （2）当为等腰三角形时，求t的值； （3）过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 【答案】（1） （2），16，5 （3）5或11 【解析】 【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解； （2）根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分3种情况即可求解； （3）根据动点运动的不同位置，分2种情况利用全等三角形的判定与性质和勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 在中，根据勾股定理，得． 答：的长为． 【小问2详解】 在中，， 根据勾股定理，得 若，则 ，解得； 若，则，解得； 若，则，解得． 答：当为等腰三角形时，t的值为，16，5． 【小问3详解】 ①点P在线段上时，过点D作于E，连接，如图1所示： 则， ∴， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，连接，如图2所示： 同①得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤山市碧桂园学校2024-2025学年第二学期3月阶段性自查 八年级数学 说明：本次自查时间为120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值是（ ） A. 49 B. C. D. 3. 计算 的结果是（ ） A. 6 B. C. 3 D. 4. 与最简二次根式是同类二次根式，则（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 11 5. 已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A. 48 B. 6 C. 12 D. 3 6. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为（ ） A. 6 B. 36 C. 64 D. 8. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于下列哪部著名数学著作中（ ） A. 《孙子算经》 B. 《海岛算经》 C. 《周髀算经》 D. 《九章算术》 9. 在中，已知两边长为5和12，则第三边的长为（ ） A. 13 B. C. 13或 D. 9 10. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ． 若，则的值为（ ） A. 5 B. 1 C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 比较大小：______（填“”，“”或“”）． 12. 化简：_______________． 13. 若，满足，则_______． 14. 海伦—秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积是___________． 15. 如图是一台手机支架的示意图，可分别绕点A，B转动，测得，若，垂足为点E，，则点D到的距离为___________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 计算： 17. 如图，已知实数在数轴上的对应点，请化简：． 18. 如图，一根长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端．如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将向右滑动多少米？ 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 先化简，再求值：，其中． 以下是一位同学的化简过程： 解：原式 第一步 第二步 ．第三步 （1）这位同学的化简过程从第______步开始出错； （2）写出完整的解答过程． 20. 麻阳河自然保护区是国家一级重点保护区，主要野生动物是黑叶猴．如图，有两只猴子在一棵树上的点 B 处，且，它们都要到A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下再走到离树处的A 处（即），另一只猴子乙先爬到顶 D 处后再沿缆绳滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，求这棵树高有多少米？ 21. 如图，等腰直角三角形ABC中，点D在斜边BC上，以AD为直角边作等腰直角三角形ADE． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）求证：BD2＋CD2＝2AD2． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题共14分，共27分） 22. 观察下列运算：； ； ； …… （1）通过观察上面的解答过程得 ， （用含n的式子表示，n为正整数）． （2）化简：． 23. 综合与实践 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． （1）把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理． （2）如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； （3）在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． （4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 六、附加题（本大题共15分） 24. 如图，已知在中，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接． （1）当秒时，求的长度（结果保留根号）； （2）当为等腰三角形时，求t的值； （3）过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $