精品解析： 安徽省芜湖市镜湖区荟萃中学2024—2025学年上学期12月月考九年级数学试卷

2024-2025学年安徽省芜湖市镜湖区荟萃中学九年级（上）月考数学试卷（12月份） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列英文字母中，既属于轴对称图形，也属于中心对称图形的是（ ） A. A B. C C. Z D. X 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 今天是周二，明天是周三 B. 买了一张彩票，中了一等奖 C. 抛掷一枚骰子，得到的点数为 D. 在平面内画一个四边形，其内角和为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查随机事件，根据随机事件的定义（可能发生也可能不发生的事件）对各选项逐一判断．掌握事件的分类是解题的关键． 【详解】解：A．今天是周二，明天必定是周三，属于必然事件，故此选项不符合题意； B．彩票中奖结果不确定，可能发生也可能不发生，属于随机事件，故此选项符合题意； C．骰子点数最大为，不可能出现，属于不可能事件，故此选项不符合题意； D．四边形内角和恒为，属于必然事件，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：． 4. 如图，，，，是上的点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同弧所对的圆周角的关系，解题的关键是掌握：同弧所对的圆周角相等．据此解答即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 故选：B． 5. 如图，正方形的边长为2，阴影部分是正方形的内切圆．若在正方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，用圆的面积除以正方形的面积即可得解，解题的关键是熟练掌握几何概率求法． 【详解】解：∵正方形的边长为2， ∴圆的半径为1， ∴若在正方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为， 故选：A． 6. 已知，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数性质，根据抛物线解析式，得到抛物线开口向上，对称轴为．再比较各点横坐标到对称轴的距离，结合二次函数性质可知点到对称轴的距离越大其对应的值越大，即可解题． 【详解】解：抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为． 又 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． 由于开口向上，距离对称轴越远的点值越大．因此，． 故选C． 7. 某商场为了减少某品牌服装老款的库存，将原售价为625元的该品牌服装降价，经过两次降价后现售价为361元．若两次的降价百分率均为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题是关于连续两次降价的问题，需要根据原价和降价百分率建立方程来求解．解题思路是先设出每次降价的百分率，然后依次表示出第一次和第二次降价后的售价，最后根据两次降价后的实际售价列出方程．本题主要考查了一元二次方程在连续降价问题中的应用，熟练掌握连续变化问题中价格的计算方式是解题的关键． 【详解】解：设每次降价的百分率为 ∵ 原价为元，第一次降价后的售价 = 原价×(1 - 降价百分率) ∴ 第一次降价后的售价为元 ∴ 第二次降价后的售价为元 ∵ 两次降价后现售价为元 ∴ 可列方程 故选：B． 8. 如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，连接，根据旋转的性质得，，可判断为等边三角形，得，由等边三角形的性质得到，， 证明，得，在中，根据勾股定理的逆定理可得，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识点．掌握等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理是解题的关键． 9. 如图，在中，，，点是的外心，点是的内心，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作的外接圆，则圆心为点，连接并延长交于点，连接、，推出垂直平分，，求出，由求得，连接、，作于点，于点，根据内心的定义得，，，则，所以，则点在上，然后根据得，求得，即可得出答案． 【详解】解：如图，作的外接圆，则圆心为点，连接并延长交于点，连接、，则， ∵，， ∴垂直平分，， ∴，， ∴， ∵，且， ∴， 解得：， 连接、，过点作于点、于点， ∵点是的内心， ∴平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上，即点在上， ∵， ∴， 解得：， ∴， 即的长度为． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心、垂直平分线的判定，勾股定理、等腰三角形的判定和性质，根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 10. 若方程是关于的一元二次方程，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且，则且， ∴， 故答案为：． 11. 口袋中有5个黄球和个红球，从中任意摸一个，若摸到红球的可能性是，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据简单的概率公式列出分式方程解答即可； 本题考查了简单的概率公式，解分式方程，正确选择方法是解题的关键． 【详解】解：由题意，得， 解得， 经检验，是这个分式方程的解， 的值为3． 故答案为：3． 12. 如图，圆锥的高为，母线的长为，则该圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角为________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长是解题的关键．先根据勾股定理求出圆锥的底面圆的半径，再根据弧长公式即可得出答案． 【详解】解：圆锥的高为，母线长为， 圆锥的底面圆的半径， 由（r为圆锥底面半径，R为圆锥的母线长，n为圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角） 得， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，是的中点，是上一动点，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，． （1）当点和点重合时，________． （2）在点运动的过程中，的最小值为________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）先根据含30度角的直角三角形的性质，再根据线段中点定义和旋转性质得到，，然后利用勾股定理求解即可； （2）如图，作于M，于J，延长交于N．首先借助相似三角形的性质和全等三角形的性质说明点F在直线l上运动（直线l与直线之间的距离为），根据垂线段最短可知，当直线l时，最短，则最小值为． 【详解】解：（1）如图， ∵中，， ∴， ∵是的中点， ∴， 由旋转性质，得，， ∴， 故答案为：； （2）如图，作于M，于J，延长交于N． 则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 由旋转性质得，， ∴，又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，又， ∴点F在直线l上运动，此时直线(直线l与直线之间的距离为)， 根据垂线段最短可知，当直线l时，最短，则最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转变换，含30度的直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 14. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求解方法． 利用因式分解法，求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 即或， 解得：，． 15. 已知点与点关于原点对称，将点向右移动3个单位长度得到点，点关于轴的对称点为点． （1）求点，的坐标． （2）顺次连接，，，，求所得图形的面积． 【答案】（1）， （2）20 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形-轴对称变换、平移变换、中心对称变换，正确作出图形是解答的关键． （1）根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数列方程求解a、b即可求解； （2）根据平移性质和轴对称性质得到点C、D的位置，进而利用割补法求解图形面积即可． 【小问1详解】 解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得：，， ∴，； 【小问2详解】 解：由题意，，，如图， 由图可得，所得图形的面积为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 16. 已知二次函数的图像经过点和． （1）求这个二次函数的表达式． （2）求该二次函数的对称轴和顶点坐标． 【答案】（1） （2）对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质、待定系数法求函数解析式，正确求得函数表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）将（1）中函数表达式化为顶点式，进而可得答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像经过点和， ∴，解得， ∴这个二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由 得该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 17. 如图，在中，，，将绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理．先根据三角形的内角和定理求得，再根据旋转性质得到，然后根据等边对等角求得，进而可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到， ∴， ∴， ∴， ∴． 五、（本大题共2小题，满分20分） 18. 小赵经营一家网店，销售一款成本为80元的冬装．他销售一段时间后发现，当售价为240元时，每周可销售200件，售价每下降1元，可多销售2件．设该冬装降价元，每周可获利润元． （1）试用含的式子表示，并求当取最大值时，该款冬装应降价多少元？ （2）小赵准备减少库存，且每周的利润不低于32000元，则该款冬装最多降价多少元？ 【答案】（1），当取最大值时，该款冬装应降价30元 （2）该款冬装最多降价60元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用．建立数学模型，借助二次函数解决实际问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数关系式或方程． （1）根据利润售价成本销售量，结合题意可得y与x的函数表达式；利用二次函数图像与性质进行解答即可； （2）把代入（1）中函数表达式中，求得相应的的值，进而结合题意可求解． 【小问1详解】 解：设该冬装降价元，每周可获利润元，则销售量为件， 依题意，得： ， ∴与之间的函数表达式为：． ， ∵， ∴抛物线图像开口向下， ∴当时，y取得最大值． 即当取最大值时，该款冬装应降价30元； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：，， 由（2）可知，抛物线图像开口向下， ∵每天的销售利润不低于元， ∴， ∵要减少库存， ∴该款冬装最多降价60元． 19. 如图1，当线段上有1个点时，可将线段分成2个部分，可得到3条线段；如图2，当线段上有2个点时，可将线段分成3个部分，可得到6条线段；如图3，当线段上有3个点时，可将线段分成4个部分，可得到10条线段……根据题意，回答下列问题． （1）当线段上有4个点时，可将线段分成________个部分，可得到________条线段． （2）若线段上有个点时，可将线段分成________个部分，可得到________条线段． （3）若在线段上得到66条线段，则线段上除端点之外还有多少个点？ 【答案】（1）5，15 （2），； （3）10个 【解析】 【分析】本题考查图形类规律探究及一元二次方程，找到图形变化规律是解答的关键． （1）依次求得线段上有1个、2个、3个点时分成的部分和线段条数，找到变化规律即可求解； （2）根据（1）中分成的部分及线段的总数与n的关系得出规律即可求解； （3）由（2）中结论列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当线段上有1个点时，可将线段分成2个部分，可得到（条）线段； 当线段上有2个点时，可将线段分成3个部分，可得到（条）线段； 当线段上有3个点时，可将线段分成4个部分，可得到（条）线段， ∴当线段上有4个点时，可将线段分成5个部分，可得到（条）线段， 故答案为：5，15； 【小问2详解】 解：由（1）得当线段上有n个点时，可将线段分成个部分，可得到（条）线段， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：由题意，得，整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴线段上除端点之外还有10个点． 六、（本题满分12分） 20. 如图，以为直径的经过点A，点D在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）已知，，． ①求的半径； ②求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）连接，先根据直径所对的圆周角是直角得到，则，再根据等腰三角形的性质，结合已知可得，进而根据切线的判定可得结论； （2）①证明，利用相似三角形的性质求得即可解答； ②根据相似三角形的性质得到，然后根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的半径长是； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 七、（本题满分12分） 21. 某校为了了解九年级学生的体质情况，组织全体九年级学生进行体能测试，并随机抽取部分同学的测试结果进行统计分析．体育老师将体能测试的最终结果分为A优秀，B良好，C合格，D不合格四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次随机抽取的学生共________人，并把条形统计图补充完整． （2）若该校九年级有900人，请估计该校体能测试不合格的总人数． （3）假定A等级样本中有2名女生，现准备从A等级样本中随机抽取2名同学，求抽取的同学恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）50，图见解析 （2）144人 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、用样本估计总体、画树状图或列表法求概率，理解题意，看懂统计图是解答的关键． （1）先由B等级的人数除以其所占百分比求得抽取人数，再求得A等级的人数，即可补全统计图； （2）用该校九年级总人数乘以样本中不合格人数所占比例即可求解； （3）根据A等级人数知，有3名男生，2名女生，画树状图，利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由统计图可得，本次随机抽取的学生共（人）， A等级人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校体能测试不合格的总人数为144人； 【小问3详解】 解：由题意，A等级有3名男生，2名女生， 列表如下： 男 男 男 女 女 男 （男，男） （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，男） （女，女） 一共有20种等可能的结果，其中，恰好是一男一女的有12种， ∴抽取的同学恰好是一男一女的概率为． 八、（本题满分14分） 22. 已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求，的值； （2）直线，且直线与抛物线只有一个交点． ①求直线的表达式； ②设直线与抛物线的交点为，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标． 【答案】（1）， （2）; 存在，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）①先求出直线的解析式为，根据直线，设的表达式为，再根据与抛物线只有一个交点求解即可；②先求出点的坐标，设，然后根据四边形的对角线分三种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：将，代入抛物线解析式，得： ， 解得：，； 【小问2详解】 解：①由（1）可知，抛物线解析式为：， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得： ， 解得：， ∴， ∵直线， ∴设的表达式为：， 联立直线与抛物线，得： ， 整理，得：， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为：； ②存在，点的坐标为或或， 理由如下： 设直线与抛物线的交点为， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴直线的解析式为：， ∴不在直线上， ∴一定存在， 设，然后分三种情况讨论： 第一种情况：当四边形为平行四边形时，由平行四边形的性质可知，和互相平分， 又，，， ∴，， ∴，， ∴； 第二种情况：当四边形为平行四边形时，和互相平分， ∴，， ∴，， ∴； 第三种情况：当四边形为平行四边形时，和互相平分， ∴，， ∴，， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，求一次函数与二次函数交点，解二元一次方程组，二次函数与平行四边形的结合，中点坐标公式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质、平行四边形的性质及中点坐标公式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年安徽省芜湖市镜湖区荟萃中学九年级（上）月考数学试卷（12月份） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列英文字母中，既属于轴对称图形，也属于中心对称图形的是（ ） A. A B. C C. Z D. X 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 今天是周二，明天是周三 B. 买了一张彩票，中了一等奖 C. 抛掷一枚骰子，得到的点数为 D. 在平面内画一个四边形，其内角和为 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，，是上的点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正方形的边长为2，阴影部分是正方形的内切圆．若在正方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（　　） A. B. C. D. 6. 已知，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 某商场为了减少某品牌服装老款的库存，将原售价为625元的该品牌服装降价，经过两次降价后现售价为361元．若两次的降价百分率均为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点是的外心，点是的内心，则的长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 10. 若方程是关于的一元二次方程，则________． 11. 口袋中有5个黄球和个红球，从中任意摸一个，若摸到红球的可能性是，则______． 12. 如图，圆锥的高为，母线的长为，则该圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角为________． 13. 如图，在中，，，，是的中点，是上一动点，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，． （1）当点和点重合时，________． （2）在点运动的过程中，的最小值为________． 三、本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 14. 解方程： 15. 已知点与点关于原点对称，将点向右移动3个单位长度得到点，点关于轴的对称点为点． （1）求点，的坐标． （2）顺次连接，，，，求所得图形的面积． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 16. 已知二次函数的图像经过点和． （1）求这个二次函数的表达式． （2）求该二次函数的对称轴和顶点坐标． 17. 如图，在中，，，将绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，求的度数． 五、（本大题共2小题，满分20分） 18. 小赵经营一家网店，销售一款成本为80元的冬装．他销售一段时间后发现，当售价为240元时，每周可销售200件，售价每下降1元，可多销售2件．设该冬装降价元，每周可获利润元． （1）试用含的式子表示，并求当取最大值时，该款冬装应降价多少元？ （2）小赵准备减少库存，且每周的利润不低于32000元，则该款冬装最多降价多少元？ 19. 如图1，当线段上有1个点时，可将线段分成2个部分，可得到3条线段；如图2，当线段上有2个点时，可将线段分成3个部分，可得到6条线段；如图3，当线段上有3个点时，可将线段分成4个部分，可得到10条线段……根据题意，回答下列问题． （1）当线段上有4个点时，可将线段分成________个部分，可得到________条线段． （2）若线段上有个点时，可将线段分成________个部分，可得到________条线段． （3）若在线段上得到66条线段，则线段上除端点之外还有多少个点？ 六、（本题满分12分） 20. 如图，以为直径的经过点A，点D在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）已知，，． ①求的半径； ②求的长． 七、（本题满分12分） 21. 某校为了了解九年级学生的体质情况，组织全体九年级学生进行体能测试，并随机抽取部分同学的测试结果进行统计分析．体育老师将体能测试的最终结果分为A优秀，B良好，C合格，D不合格四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次随机抽取的学生共________人，并把条形统计图补充完整． （2）若该校九年级有900人，请估计该校体能测试不合格的总人数． （3）假定A等级样本中有2名女生，现准备从A等级样本中随机抽取2名同学，求抽取的同学恰好是一男一女的概率． 八、（本题满分14分） 22. 已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求，的值； （2）直线，且直线与抛物线只有一个交点． ①求直线的表达式； ②设直线与抛物线的交点为，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $