第5章 一次函数 单元提优卷 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第5章 一次函数 单元提优卷 （考试时间为100分钟，满分为150分） 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在下列图象中，是的函数的是(    ) A. B. C. D. 2.匀速地向一个容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示图中为折线，则这个容器的形状可能是(    ) A. B. C. D. 3.已知与成正比例，且时，，则与的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与其中，，，，为常数的图象分别为直线，下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 5.漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，当时，，当时，，则当时间时，对应的高度为(    ) A. B. C. D. 6.方程组所对应的一次函数图象如图所示，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.六个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，已知点是其中一个正方形的顶点，经过点的一条直线将这六个正方形分成面积相等的两部分，则直线的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 8.若直线与函数的图象恰好有一个交点，则实数的取值范围是(    ) A. B. 或 C. D. 或 9.小强将一长方体石块从玻璃器皿的上方向下缓慢移动浸入水里做浮力实验，如图，在此过程中拉力与石块下降的高度之间的关系如图提示：当石块位于水面上方时，当石块入水后，重力浮力则以下说法正确的是(    ) A. 当石块下降时，石块在水里 B. 当时，与之间的函数关系式为 C. 石块下降时，石块所受的浮力是 D. 当弹簧测力计的示数为时，石块距离水底 10.如图，直线与轴、轴分别交于，两点，点在轴的正半轴上，点在直线上，且，若为线段上的一个动点，且点关于轴的对称点总在内不包括边界，则点的横坐标的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，共30分。 11.已知函数是正比例函数，且随的增大而减小，那么的取值范围是          ． 12.将直线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，正好经过点，则的值为          ． 13.点，在一次函数的图象上，则           填“”“”或“”． 14.某电信运营商推出一款手机流量套餐，套餐内包含一定免费流量，超出部分额外计费．该套餐总费用元与超出流量的部分数据如下表： 超出流量 总费用元 已知总费用元是超出流量的一次函数，小李使用此套餐后支付的总费用为元，则他使用的流量共超出          ． 15.若直线：与直线：的交点坐标为，则直线：与直线：的交点坐标为          ． 16.如图，和是两个边长不相等的等边三角形，点，，，都在直线上．固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，与之间的函数关系如图所示，则的边长是          ． 17.如图，直线分别交轴、轴于点，，点在轴上，连接，为直线上一动点．若，则点的坐标为          ． 18.庄子天下篇记载“一尺之框，日取其半，万世不竭”如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，若对任意大于的整数恒成立，则的最小值为          ． 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分已知正比例函数的图象过点． 求正比例函数表达式； 画出正比例函数的图象； 当自变量满足时，直接写出对应函数值的取值范围． 20.本小题分 已知一次函数． 当，分别满足什么条件时，随的增大而增大？ 当，分别满足什么条件时，函数图象与轴的交点在轴的下方？ 当，分别满足什么条件时，函数图象经过原点？ 当，时，求此函数的图象与两个坐标轴的交点坐标； 若函数图象经过第一、二、三象限，求，的取值范围． 21.本小题分 年月，无人快递车在我市的城市道路上正式“上岗”现有一条笔直的路上依次有，，三个快递网点，其中，两网点相距米甲、乙两车分别从，两网点同时出发，匀速行驶去往目的地，图中，分别表示甲、乙两车离地的距离米与行驶时间分钟的函数关系图象． 直线的函数表达式为______； 出发后甲快递车行驶多长时间，与乙快递车相遇？ 甲快递车到网点后，再经过分钟乙车也到网点，求，两网点间的距离． 22.本小题分如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． 求直线的表达式． 求的面积． 动点在线段和射线上运动，是否存在点，使的面积是的面积的？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 23.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的直线交轴于点． 求的值和直线对应的函数表达式； 若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 24.本小题分甲、乙两地之间有一条笔直的公路，小明从甲地出发沿公路步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地．设小明与甲地的距离为，小亮与甲地的距离为，小明与小亮之间的距离为，小明行走的时间为．，与之间的函数图象如图所示，与之间的部分函数图象如图所示． 求小亮从乙地到甲地的过程中与之间的函数表达式； 求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中与之间的函数表达式； 在图中，补全整个过程中与之间的函数图象，并确定的值． 25.本小题分在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整， 列表： 其中，           ，           ． 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象． 研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： 点，，，在函数图象上，则______，______；填“”“”或“” 在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，且，则的值为______；注：直线为经过且垂直于轴的直线 直线与图象相交，交点依次从左到右为，，三点，如果，求的值． 注：直线为经过且垂直于轴的直线 26.本小题分如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，为平面内一点． 点          填“不在”或“在”一次函数的图象上． 已知一次函数的图象经过点，与轴交于点． 求的长． 求证：平分． 若正比例函数与一次函数的图象交于点，且点，到一次函数的图象的距离相等，则符合条件的的值为________． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 一次函数 单元提优卷 （考试时间为100分钟，满分为150分） 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在下列图象中，是的函数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 2.匀速地向一个容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示图中为折线，则这个容器的形状可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 3.已知与成正比例，且时，，则与的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 4.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与其中，，，，为常数的图象分别为直线，下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【解答】解：由图象可得，  ，，，，，故选项A正确，符合题意；  ，故选项B错误，不符合题意；  ，故选项C错误，不符合题意；  ，故选项D错误，不符合题意；  故选：． 5.漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，当时，，当时，，则当时间为时，对应的高度为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：设， 当时，，当时，， ， 解得， ， 当时，， 对应的高度为； 故选：． 用待定系数法求出函数关系式，再把代入可得的值． 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式． 6.方程组所对应的一次函数图象如图所示，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】根据题意，得方程组的解为 所以解得所以故选A． 7.六个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，已知点是其中一个正方形的顶点，经过点的一条直线将这六个正方形分成面积相等的两部分，则直线的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】如图，过点作轴，交轴于点， 设直线与轴交于点． 直线将这六个正方形分成面积相等的两部分，每一部分面积是， ． ，，，，即． 由题易得设直线的函数表达式为． 将，代入，得解得 直线的函数表达式为． 8.若直线与函数的图象恰好有一个交点，则实数的取值范围是(    ) A. B. 或 C. D. 或 【答案】B  【解析】如图，画出直线与函数的大致图象，观察图象，可知直线必过点，且绕该点旋转．当与有一个交点时，其与不相交，此时；当与有一个交点时，其与不相交，此时综上所述，的取值范围是或． 9.小强将一长方体石块从玻璃器皿的上方向下缓慢移动浸入水里做浮力实验，如图，在此过程中拉力与石块下降的高度之间的关系如图提示：当石块位于水面上方时，当石块入水后，重力浮力则以下说法正确的是(    ) A. 当石块下降时，石块在水里 B. 当时，与之间的函数关系式为 C. 石块下降时，石块所受的浮力是 D. 当弹簧测力计的示数为时，石块距离水底 【答案】D  【解析】解：由题图可知，石块下降到时，石块正好接触水面， 故选项A说法错误，不符合题意； B.当时，设所在直线的函数表达式为：， 则， 解得， ， 故选项B说法错误，不符合题意； C.当石块下降的高度为时，即时， ， 此时石块所受浮力是， 故选项C说法错误，不符合题意； D.当弹簧测力计的示数为时， ， 解得， 石块距离水底的距离为， 故选项D说法正确，符合题意． 故选：． 根据函数图象待定系数法求得线段的解析式，进而逐项分析判断即可求解． 本题考查了一次函数的应用，求得函数解析式，数形结合是解题的关键． 10.如图，直线与轴、轴分别交于，两点，点在轴的正半轴上，点在直线上，且，若为线段上的一个动点，且点关于轴的对称点总在内不包括边界，则点的横坐标的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】在中，当时，，当时，，，．点在轴正半轴上，，易得．，点在线段的垂直平分线上，即在直线上在中，当时，，设直线对应的函数解析式为将，代入，得解得 直线对应的函数解析式为同理，可得直线对应的函数解析式为．为线段上的一个动点，且其横坐标为，．点，关于轴对称，．点总在内不包括边界，，解得．点的横坐标的取值范围是． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.已知函数是正比例函数，且随的增大而减小，那么的取值范围是          ． 【答案】  【解析】略 12.将直线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，正好经过点，则的值为          ． 【答案】  【解析】直线经过两次平移后为直线， 将代入，得，解得． 13.点，在一次函数的图象上，则           填“”“”或“”． 【答案】  【解析】略 14.某电信运营商推出一款手机流量套餐，套餐内包含一定免费流量，超出部分额外计费．该套餐总费用元与超出流量的部分数据如下表： 超出流量 总费用元 已知总费用元是超出流量的一次函数，小李使用此套餐后支付的总费用为元，则他使用的流量共超出          ． 【答案】    【解析】提示：设一次函数的表达式为根据表格，可得解得所以一次函数的表达式为令，得，解得所以他使用的流量共超出． 15.若直线：与直线：的交点坐标为，则直线：与直线：的交点坐标为          ． 【答案】  【解析】方法：把分别代入，得，， ，，，得，，解得． 把代入得，直线与直线的交点坐标为． 方法：由题意，直线可由直线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，直线可由直线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则直线与直线的交点可由直线与直线的交点通过同样的平移方式得到， 直线与直线的交点坐标为，即． 16.如图，和是两个边长不相等的等边三角形，点，，，都在直线上．固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，与之间的函数关系如图所示，则的边长是          ． 【答案】    【解析】提示：由题图可知，当，即在内部移动时，，即的面积为结合题图，由运动可知，当时，点与点重合，所以；当时，点与点重合，所以过点作于点因为为等边三角形，所以，所以所以，解得负值已舍所以的边长为． 17.如图，直线分别交轴、轴于点，，点在轴上，连接，为直线上一动点．若，则点的坐标为          ． 【答案】或     【解析】提示：易知直线的函数表达式为，点，因为，所以点到的距离等于点到的距离．有种情况．  过点作直线，交直线于点，则直线的函数表达式为，此时，点符合题意，联立方程组解得所以点  由对称性可知，直线关于对称的直线，或将直线向下平移个单位长度，得到的直线与的交点也符合题意．所以直线的函数表达式为联立方程组解得所以点  综上所述，满足题意的点的坐标为或． 18.庄子天下篇记载“一尺之框，日取其半，万世不竭”如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，若对任意大于的整数恒成立，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】把代入，得， 所以， 所以． 把代入，得， 所以． 把代入，得， 所以， 所以． 把代入，得， 所以 把代入，得， 所以， 所以 所以． 因为对任意大于的整数恒成立， 所以， 所以的最小值为． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 已知正比例函数的图象过点． 求正比例函数表达式； 画出正比例函数的图象； 当自变量满足时，直接写出对应函数值的取值范围． 【答案】(1)∵正比例函数的图象过点， ∴，∴，∴正比例函数为.   (2)列表： x 0 1 0 －2 描点、连线：   (3)对应函数值y的取值范围为.  【解析】 略  略   当时，；当时，，当自变量满足时，对应函数值的取值范围为． 20.本小题分 已知一次函数． 当，分别满足什么条件时，随的增大而增大？ 当，分别满足什么条件时，函数图象与轴的交点在轴的下方？ 当，分别满足什么条件时，函数图象经过原点？ 当，时，求此函数的图象与两个坐标轴的交点坐标； 若函数图象经过第一、二、三象限，求，的取值范围． 【答案】(1)因为y随x的增大而增大，所以m＞0，n为任意实数．  (2)因为函数图象与y轴的交点在x轴的下方，所以-3n＜0，解得n＞0．又该函数为一次函数，所以m≠0．  (3)因为一次函数的图象经过原点，所以m≠0且n＝0．  (4)因为m＝-1，n＝2，所以函数表达式为y＝-x-6．令y＝0，得-x-6＝0，解得x＝-6；令x＝0，得y＝-6．所以此函数图象与x轴的交点坐标为（-6，0），与y轴的交点坐标为（0，-6）．  (5)因为函数图象经过第一、二、三象限，所以m＞0且-3n＞0，解得m＞0且n＜0．所以m的取值范围为m＞0，n的取值范围为n＜0．  【解析】 略  略  略  略  略 21.本小题分 年月，无人快递车在我市的城市道路上正式“上岗”现有一条笔直的路上依次有，，三个快递网点，其中，两网点相距米甲、乙两车分别从，两网点同时出发，匀速行驶去往目的地，图中，分别表示甲、乙两车离地的距离米与行驶时间分钟的函数关系图象． 直线的函数表达式为______； 出发后甲快递车行驶多长时间，与乙快递车相遇？ 甲快递车到网点后，再经过分钟乙车也到网点，求，两网点间的距离． 【答案】； 设直线的函数表达式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的函数表达式为． 联立两直线函数表达式组成方程组， 解得：， 出发后甲快递车行驶分钟，与乙快递车相遇； 根据题意得：， 解得：， ， ，两网点间的距离为米．  【解析】解：设直线的函数表达式为， 将代入得：， 解得：， 直线的函数表达式为． 故答案为：； 设直线的函数表达式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的函数表达式为． 联立两直线函数表达式组成方程组， 解得：， 出发后甲快递车行驶分钟，与乙快递车相遇； 根据题意得：， 解得：， ， ，两网点间的距离为米． 设直线的函数表达式为，由点的坐标，利用待定系数法，即可求出直线的函数表达式； 设直线的函数表达式为，由点，的坐标，利用待定系数法，即可求出直线的函数表达式，联立两直线函数表达式组成方程组，解之即可得出结论； 根据“甲快递车到网点后，再经过分钟乙车也到网点”，可得出关于的一元一次方程，解之可得出的值，将其代入中，可求出，两网点间的距离，结合，两网点相距米，即可求出，两网点间的距离． 本题考查了一次函数的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数表达式；根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数表达式；找准等量关系，正确列出一元一次方程． 22.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． 求直线的表达式． 求的面积． 动点在线段和射线上运动，是否存在点，使的面积是的面积的？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)设直线AC的表达式是，根据题意得 解得则直线AC的表达式是.   (2)∵，，∴，∴.  (3)存在.设直线OA的表达式是，则，解得. 则直线OA的表达式是.∵的面积是的面积的时， ∴M到y轴的距离是，∴点M的横坐标为2或－2. 当M的横坐标是2时，在中，当时，，则M的坐标是. 在中，当时，则，则M的坐标是. 则M的坐标是或. 当M的横坐标是－2时，在中，当时，，则M的坐标是. 综上所述，M的坐标是或或.   【解析】 略  略  略 23.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的直线交轴于点． 求的值和直线对应的函数表达式； 若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 【答案】(1)把代入，得. 设直线AB对应的函数表达式为. 把，代入，得解得 ∴直线AB对应的函数表达式为   (2)∵点在线段AB上，点在直线上， ∴，，， ∴. ∵，∴的值随t的增大而减小. 又∵，∴当时，取得最大值，为   【解析】 略  略 24.本小题分 甲、乙两地之间有一条笔直的公路，小明从甲地出发沿公路步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地．设小明与甲地的距离为，小亮与甲地的距离为，小明与小亮之间的距离为，小明行走的时间为．，与之间的函数图象如图所示，与之间的部分函数图象如图所示． 求小亮从乙地到甲地的过程中与之间的函数表达式； 求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中与之间的函数表达式； 在图中，补全整个过程中与之间的函数图象，并确定的值． 【答案】(1)设小亮从乙地到甲地的过程中y与x之间的函数表达式为y=k1x+b（k1≠0）． 由图象，得解得所以y=-200x+2000（0≤x≤10）．   (2)由题意得，小明的速度为2000÷40=50（m/min）， 小亮骑自行车的速度为2000÷10=200（m/min）． 所以小亮从甲地追上小明的时间为24×50÷（200-50）=8（min）． 所以24min时，两人的距离s=24×50=1200（m）；32min时，两人的距离为0m． 设此时段s与x之间的函数表达式为s=kx+b1（k≠0）． 由题意，得解得所以s=-150x+4800（24≤x≤32）．   (3)由题意，得a=2000÷（200+50）=8．补全s与x之间的函数图象如图所示． ​​​​​   【解析】 略  略  略 25.本小题分 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整， 列表： 其中，           ，           ． 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象． 研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： 点，，，在函数图象上，则______，______；填“”“”或“” 在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，且，则的值为______；注：直线为经过且垂直于轴的直线 直线与图象相交，交点依次从左到右为，，三点，如果，求的值． 注：直线为经过且垂直于轴的直线 【答案】(1)－1;0  (2)如图：   (3)①＜＜ ②－2 ③根据题意可得，由，得，，得或，解得，，则，，∵，，解得，∴t的值为.   【解析】 略  略   把代入中，得，把代入中，得，． 由中的图象及分段函数可知，当时，或或，当时，，． 在直线右侧，时，点，关于直线对称，． 26.本小题分 如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，为平面内一点． 点          填“不在”或“在”一次函数的图象上． 已知一次函数的图象经过点，与轴交于点． 求的长． 求证：平分． 若正比例函数与一次函数的图象交于点，且点，到一次函数的图象的距离相等，则符合条件的的值为________． 【答案】(1)在  (2)①解：因为的图像经过点D(-4，-2)，所以，解得b＝-4．所以．易得点C(-8，0)，所以OC＝8．易知点A(-3，0)，点B(0，6)，所以OB＝6，OA＝3．所以． ②证明：设直线与y轴交于点E(0，-4)，则BE＝10＝BC．连接AE．因为AC＝CO-AO＝5，，所以AE＝AC．在△ABE和△ABC中，所以△ABE≌△ABC，所以∠ABE＝∠ABC，即AB平分∠OBC． ③或    【解析】 略   提示：当点，在直线的同侧时，因为点，到一次函数的图像的距离相等，所以与直线平行，所以当点，在直线的异侧时，过点作于点，过点作于点，直线交于点如图．因为点，到一次函数的图像的距离相等，所以易证≌，所以联立方程解得所以点，所以点的坐标为因为点在一次函数上，所以，解得综上所述，符合条件的的值为或． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 8页 第 5章 一次函数 单元提优卷 （考试时间为 100 分钟，满分为 150 分） 一、选择题：本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在下列图象中，�是�的函数的是( ) A. B. C. D. 2.匀速地向一个容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，水面高度ℎ随时间�的变化规律如图所示(图 中� − � − � − �为折线)，则这个容器的形状可能是( ) A. B. C. D. 3.已知� − 3 与�成正比例，且� = 2 时，� = 7，则�与�的函数表达式为( ) A. � = 2� + 3 B. � = 2� − 3 C. � − 3 = 2� + 3 D. � = 3� − 3 4.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数� = �1� + �1与� = �2� + �2(其中�1�2 ≠ 0 �1，�2，�1，�2为常数)的图象分别为直线�1，�2.下列结论正确的是( ) A. �1 + �2 > 0 B. �1�2 > 0 C. �1 + �2 < 0 D. �1�2 < 0 5.漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数 思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位ℎ(��) 是时间�(���)的一次函数，当� = 1(���)时，ℎ = 1.1(��)，当� = 5(���)时，ℎ = 2.7(��)，则当时间�10(���) 时，对应的高度ℎ为( ) A. 3.3�� B. 3.9�� C. 4.7�� D. 5.4�� 第 2页，共 8页 6.方程组 �� + � = 3, � + �� =− 1所对应的一次函数图象如图所示，则 2� + �的值为( ) A. −5 B. 3 C. 5 D. −3 7.六个边长为 1 的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，已知点�是其中一个正方形的顶点，经过点�的一 条直线�将这六个正方形分成面积相等的两部分，则直线�的函数表达式为( ) A. � =− 49 � + 2 3 B. � =− 3 8 � + 2 3 C. � =− 5 12 � + 3 4 D. � =− 7 12 � + 3 4 8.若直线� = �� + 2 与函数� = |�|的图象恰好有一个交点，则实数�的取值范围是( ) A. 1 ≤ � ≤ 2 B. � ≥ 1 或� ≤− 1 C. � ≤− 1 D. 1 ≤ � ≤ 2 或� ≤− 1 9.小强将一长方体石块从玻璃器皿的上方向下缓慢移动浸入水里做浮力实验，如图①，在此过程中拉力 �拉力(�)与石块下降的高度�(��)之间的关系如图②. (提示：当石块位于水面上方时�拉力 = �重力，当石块入 水后，�拉力 = �重力−�浮力).则以下说法正确的是( ) 第 3页，共 8页 A.当石块下降 4��时，石块在水里 B.当 6 ≤ � ≤ 10 时，�(�)与�(��)之间的函数关系式为�拉力 =− 3 8 � + 23 4 C.石块下降 8��时，石块所受的浮力是 1.25� D.当弹簧测力计的示数为 3�时，石块距离水底223 �� 10.如图，直线� = 2� − 6 与�轴、�轴分别交于�，�两点，点�在�轴的正半轴上，点�在直线��上，且�� = 10， �� = ��.若�为线段��上的一个动点，且点�关于�轴的对称点�总在▵���内(不包括边界)，则点�的横坐 标�的取值范围为( ) A. 13 < � < 2 3 B. 2 3 < � < 4 5 C. 2 3 < � < 12 5 D. 4 3 < � < 12 5 二、填空题：本题共 8 小题，共 30 分。 11.已知函数� = 3� − 1 �是正比例函数，且�随�的增大而减小，那么�的取值范围是 ． 12.将直线� = �� − 2 先向右平移 3 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度后，正好经过点 2, − 4 ，则� 的值为 ． 13.点� 1, �1 ，� 2, �2 在一次函数� = 3� + 1 的图象上，则�1 �2(填“<”“=”或“>”)． 14.某电信运营商推出一款手机流量套餐，套餐内包含一定免费流量，超出部分额外计费．该套餐总费用 �(元)与超出流量� �� 的部分数据如下表： 超出流量�/�� 0 1 2 3 4 … 总费用�/元 1821242730… 已知总费用�(元)是超出流量� �� 的一次函数，小李使用此套餐后支付的总费用为 63 元，则他使用的流量 共超出 ��． 15.若直线�1：� = �� + �(� ≠ 0)与直线�2：� = �� + �(� ≠ 0)的交点坐标为( − 2,1)，则直线�3：� = �(� − 3) + � + 2(� ≠ 0)与直线�4：� = �(� − 3) + � + 2(� ≠ 0)的交点坐标为 ． 16.如图 1，▵���和▵�′�′�′是两个边长不相等的等边三角形，点�′，�′，�，�都在直线�上．▵���固 定不动，将▵�′�′�′在直线�上自左向右平移．开始时，点�′与点�重合，当点�′移动到与点�重合时 第 4页，共 8页 停止．设▵�′�′�′移动的距离为�，两个三角形重叠部分的面积为�，�与�之间的函数关系如图 2 所示， 则▵���的边长是 ． 17.如图，直线� =− � − 4 分别交�轴、�轴于点�，�，点�(0,2)在�轴上，连接��，�为直线��上一动点．若 � △ ��� = � △ ���，则点�的坐标为 ． 18.《庄子⋅天下篇》记载“一尺之框，日取其半，万世不竭”.如图，直线�1: � = 1 2 � + 1 与�轴交于点�，过 点�作�轴的平行线交直线�2: � = �于点�1，过点�1作�轴的平行线交直线�1于点�1，以此类推，令�� = �1， �1�1 = �2，⋯，��−1��−1 = ��，若�1 + �2 +⋯+ �� ≤ �对任意大于 1 的整数�恒成立，则�的最小值为 ． 三、解答题：本题共 8 小题，共 90 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题 8 分)已知正比例函数� = ��的图象过点� 2�, − 4� � ≠ 0 ． (1)求正比例函数表达式； (2)画出正比例函数� = ��的图象； (3)当自变量�满足−3 ≤ � ≤ 4 时，直接写出对应函数值�的取值范围． 第 5页，共 8页 20.(本小题 8 分) 已知一次函数� = �� − 3�． (1)当�，�分别满足什么条件时，�随�的增大而增大？ (2)当�，�分别满足什么条件时，函数图象与�轴的交点在�轴的下方？ (3)当�，�分别满足什么条件时，函数图象经过原点？ (4)当� =− 1，� = 2 时，求此函数的图象与两个坐标轴的交点坐标； (5)若函数图象经过第一、二、三象限，求�，�的取值范围． 21.(本小题 8 分) 2023 年 4 月，无人快递车在我市的城市道路上正式“上岗”.现有一条笔直的路上依次有�，�，�三个快 递网点，其中�，�两网点相距 1000 米.甲、乙两车分别从�，�两网点同时出发，匀速行驶去往目的地�， �.图中��，��分别表示甲、乙两车离�地的距离�(米)与行驶时间�(分钟)的函数关系图象． (1)直线��的函数表达式为______； (2)出发后甲快递车行驶多长时间，与乙快递车相遇？ (3)甲快递车到�网点后，再经过 1 分钟乙车也到�网点，求�，�两网点间的距离． 第 6页，共 8页 22.(本小题 8 分)如图，在平面直角坐标系中，过点� 0,6 的直线��与直线��相交于点� 4,2 ． (1)求直线��的表达式． (2)求△ ���的面积． (3)动点�在线段��和射线��上运动，是否存在点�，使△ ���的面积是△ ���的面积的12？若存在，求出 此时点�的坐标；若不存在，请说明理由． 23.(本小题 8 分) 如图，在平面直角坐标系中，点� 2,� 在直线� = 2� − 52上，过点�的直线交�轴于点� 0,3 ． (1)求�的值和直线��对应的函数表达式； (2)若点� �, �1 在线段��上，点� � − 1, �2 在直线� = 2� − 5 2上，求�1 − �2的最大值． 第 7页，共 8页 24.(本小题 8 分)甲、乙两地之间有一条笔直的公路�，小明从甲地出发沿公路�步行前往乙地，同时小亮从 乙地出发沿公路�骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，原路原速返回，追上小明后两人一起步 行到乙地．设小明与甲地的距离为�1�，小亮与甲地的距离为�2�，小明与小亮之间的距离为��，小明行 走的时间为����．�1，�2与�之间的函数图象如图 1 所示，�与�之间的部分函数图象如图 2 所示． (1)求小亮从乙地到甲地的过程中�与�之间的函数表达式； (2)求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中�与�之间的函数表达式； (3)在图 2 中，补全整个过程中�与�之间的函数图象，并确定�的值． 25.(本小题 8 分)在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函 数性质的过程.若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数. 下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数� = � + 3 � ≤− 2 ,� + 1 � >− 2 的图象与性质，探究过程如下， 请补充完整， (1)列表： � … −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 … � … −3 −2 � 0 1 � 1 2 3 4 … 其中，� = ，� = ． 第 8页，共 8页 (2)描点：在平面直角坐标系中，以自变量�的取值为横坐标，以相应的函数值�为纵坐标，描出相应的点， 如图所示，请画出函数的图象． (3)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点� −3, �1 ，� − 3 4 , �2 ，� �1, 1 2 ，� �2, 5 4 在函数图象上，则�1______�2，�1______�2；(填“>”“<” 或“=”) ②在直线� =− 2 的右侧的函数图象上有两个不同的点� �3, �3 ，� �4, �4 且�3 = �4，则�3 + �4的值为 ______；(注：直线� =− 2 为经过 −2,0 且垂直于�轴的直线) ③直线� = �与图象相交，交点依次从左到右为�，�，�三点，如果�� = ��，求�的值． (注：直线� = �为经过 0, � 且垂直于�轴的直线) 26.(本小题 8 分)如图，已知一次函数� = 2� + 6 的图象与�轴、�轴分别交于�，�两点，�为平面内一点． (1)点�( − 4, − 2) (填“不在”或“在”)一次函数� = 2� + 6 的图象上． (2)已知一次函数� =− 12 � + �的图象经过点�( − 4, − 2)，与�轴交于点�． ①求��的长． ②求证：��平分∠���． ③若正比例函数� = ��与一次函数� = 2� + 6 的图象交于点�，且点�，�到 一次函数� =− 12 � + �的图象的距离相等，则符合条件的�的值为________．