专题01 变量与函数（七大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

专题01 变量与函数 【题型1 自变量与常量】......................................................................................................1 【题型2 函数的概念】............................................................................................................2 【题型3 求自变量的取值范围或函数值】...............................................................................5 【题型4 函数的三种表示方法】..............................................................................................7 【题型5 函数解析式】...........................................................................................................13 【题型6 从函数的图象获取信息】.........................................................................................16 【题型6 动点问题的函数图象】............................................................................................21 【题型1 自变量与常量】 1.假期小敏一家自驾游山西，爸爸开车到加油站加油，小敏发现加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） 金额：168.80元 油量：20.00升 单价：8.44元/升 A．单价 B．金额 C．油量 D．金额和油量 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的定义，理解常量与变量的定义是解题的关键；汽油的单价是不会变的，因此是常量，而金额会随着油量的变化而变化，因此金额和油量是变量． 【详解】解：单价是常量，金额和油量是变量， 故选：． 2.球的体积是，球的半径为，则，其中变量是（   ） A．变量是 B．变量是 C．变量是 D．变量是 【答案】A 【分析】本题考查了常量和变量，根据常量和变量的概念解答即可． 【详解】解：球的体积是V，球的半径为R，则， 其中变量是V，R； 故选：A． 3．某智能音箱正在加载语音数据库，加载速率为每秒，已加载了．设继续加载的时长为t秒，总加载量为．下列判断正确的是（    ） A．t和a是常量，5和15是变量 B．5和t是常量，15和a是变量 C．15和a是常量，5和t是变量 D．5和15是常量，t和a是变量 【答案】D 【分析】本题主要考查常量和变量，根据题意，总加载量由已加载量和继续加载量组成，其中加载速率和已加载量是固定值，而时间和总加载量会变化． 【详解】解：加载速率为每秒，是固定不变的，属于常量， 已加载量是初始值，不会随加载时间变化，也属于常量， 继续加载时长秒和总加载量会随加载过程变化，属于变量， 总加载量由已加载量和后续加载量组成，即， 可见，随的变化而变化，而5和15均为固定数值， ∴5和15是常量，和是变量， 故选：D． 【题型2 函数的概念】 1．下列变量之间的关系中，不属于函数关系的是（   ） A．人的身高与体重 B．某地一天的气温与时间 C．存款在银行中产生的利息与时间 D．正方形的周长与面积 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数． 【详解】解：A、人的身高与体重，因为身高相同的人体重可能不同，给定一个身高，可能有多个体重与之对应，因此人的身高与体重不属于函数关系，故选项符合题意； B、某地一天中，每一时刻对应的气温是唯一确定的值，故一天的气温和时间是函数关系，故选项不合题意； C、在银行中利息与时间是函数关系，每一天对应的利息是唯一的，故选项不合题意； D、正方形的面积等于，是函数关系，故选项不合题意； 故选：A． 2.下列各曲线中表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图像的读图能力和函数的概念．解题的关键是理解和掌握函数的概念．函数的意义反映在图像上简单的判断方法是：作垂直于x轴的直线在左右平移的过程中，与函数图像只会有一个交点．根据函数的定义：一般在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数；据此即可求出答案． 【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以D正确． 故选：D． 3.下列解析式中，y不是x的函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的定义．根据函数的定义，对于每一个自变量 x 的值，只能有唯一的因变量 y 的值与之对应，即可求解． 【详解】解：A、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； B、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； C、，当时，，不满足对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，不符合函数的定义，y不是x的函数，故本选项符合题意； D、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 4.下列各曲线中，能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的概念：在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此进行判断即可. 【详解】解：A、从图象上看，对于x的每一个确定的值，y有唯一确定的值与其对应，y是x的函数，故A符合题意； B、从图象上看，对于x的每一个确定的值，y可能有多个值与其对应，y不是x的函数，故B不符合题意； C、从图象上看，对于x的每一个确定的值，y可能有两个值与其对应，y不是x的函数，故C不符合题意； D、从图象上看，对于x的每一个确定的值，y可能有两个值与其对应，y不是x的函数，故D不符合题意. 故选：A. 5.下列式子：①；②；③；④．其中y是x的函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的概念，在自变量的取值范围（定义域）内，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么y是x的函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：①中，满足对于x的任意值，y都有唯一值与之对应，故y是x的函数； ②中，对于正数x的任意值，y都有两个值与之对应，故y不是x的函数； ③中，满足对于x的任意值，y都有唯一值与之对应，故y是x的函数； ④中，满足对于的任意值，y都有唯一值与之对应，故y是x的函数； ∴y是x的函数的个数是3个， 故选：C． 【题型3 求自变量的取值范围或函数值】 1．变量y与x的关系为，当时，y的值为（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求函数值；将已知的x值代入表达式，直接计算对应的y值． 【详解】解：当时， 故选：B． 2．某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是表中的数据： 鸭的质量/千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 烤制时间/分钟 40 60 80 100 120 140 160 180 设鸭的质量为千克，烤制时间为．当千克时，的值约为（    ） A．168 B．170 C．172 D．174 【答案】C 【分析】本题考查了的是函数关系式，解题的关键是根据题目的已知及图表条件得到相关的信息．观察表格数据可知，鸭的质量每增加0.5千克，烤制时间增加20分钟，即可得到烤制时间与质量的关系式，再代入计算即可． 【详解】解：由表格数据可知，质量每增加0.5千克，烤制时间增加20分钟， 则烤制时间与质量的关系式为， 当时， （分钟）． 故选：C． 3．函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由函数可得自变量的取值范围是， ∴， 故答案为：． 4．在函数 中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数自变量的取值范围、分式有意义的条件等知识点，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式有意义的条件列出关系式求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故答案为：． 5．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数自变量取值范围即函数的定义域；根据二次根式中被开方数非负即可求解． 【详解】解：由题意知：， 解得：； 故答案为：． 5．小明在进行温度与金属导体的电阻大小之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R（单位：Ω）与温度t（单位：）之间满足关系式，当电阻时，此时温度 ． 【答案】20 【分析】本题考查函数的应用，当时，代入关系式求出对应t的值即可． 【详解】解：当时，得， 解得， ∴此时温度． 故答案为：20． 6．若函数，则当自变量时，函数值 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求函数值．把代入，即可求解． 【详解】解：当自变量时， 函数值． 故答案为：3 7．按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是5，则输出的值是3，若输入的值是，则输出的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了函数值，正确得出的值是解题关键．直接利用已知代入得出的值，进而求出输入时，得出的值． 【详解】解：当输入的值是，输出的值是3， ， 解得：， 故输入的值是时，． 故答案为： 【题型4 函数的三种表示方法】 1．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 …… 刹车距离（m） 0 5 10 …… 下列说法中错误的是（    ） A．自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离 B．刹车时的车速每增加千米，刹车距离就增加 C．当刹车距离为时，刹车时的车速为 D．当刹车时的车速为时，与其前方距离为的车辆不会追尾 【答案】C 【分析】根据函数的表达式特点判定，结合变量关系判定，确定函数的解析式表达方式判定即可． 【详解】A、根据函数表达方式的特点，自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离，正确，不符合题意； B、根据表格，刹车时的车速每增加千米，刹车距离就增加，正确，不符合题意； C、根据函数表达方式的特点，转化为解析式表达方式为，当，得到 ，解得，不正确，符合题意； D、根据函数表达方式的特点，转化为解析式表达方式为，当，得到 ，正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了函数的表达方式及其意义，正确理解各自表达方式的意义是解题的关键． 2．一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是（    ） 放水时间t（分） 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … A．放水时间是自变量，水池里的水量是因变量 B．每分钟放水 C．放水25分钟，水池里的水全部放完 D．水池里的水量Q与放水时间t的关系式为Q＝48－2t 【答案】D 【分析】由函数的定义可判断A，由表格信息可判断B，根据题意可得蓄水量Q=50-2t，可判断C，D，从而可得答案． 【详解】解：放水时间是自变量，水池里的水量是因变量，故A不符合题意； 蓄水池每分钟放水2m3，故B不符合题意； 放水25分钟时，Q=50-2×25=0，水池里的水全部放完，故C不符合题意； 水池里的水量Q与放水时间t的关系式为Q=50-2t，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查函数的实际应用，列函数关系式，通过分析题意列出正确的函数解析式是解决本题的关键． 3．下表反映的是某地区电的使用量x（千瓦·时）与应交电费y（元）之间的关系，下列说法不正确的是（    ） 用电量x（千瓦·时） 1 2 3 4 … 应交电费y（元） 0.55 1.1 1.65 2.2 … A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元 C．若用电量为8千瓦·时，则应交电费4.4元 D．若所交电费为2.75元，则用电量为6千瓦·时 【答案】D 【分析】根据表格数据可得每度电的费用及二者的函数关系，据此求解即可． 【详解】解：A、由于应交电费随用电量的增加而增大，故x、y都是变量，x是自变量，y是因变量，故选项正确，不符合题意； B、根据表格中的数据可知：用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元，故选项正确，不符合题意； C、用电量为8千瓦时时，应交电费=0.55×8=4.4（元），故选项正确，不符合题意； D、由表可知：所交电费为2.75元时，用电量为5千瓦时，故选项错误，符合题意； 故选D． 【点睛】题目主要考查根据表格得出相应的函数关系，理解题意，由表格得出相关信息是解题关键． 4．一个蓄水池有水，打开放水闸门，水池里的水量和放水时间的关系如下表，下面说法不正确的是（    ） 放水时间（min） 1 2 3 4 … 水池里的水量（） 48 46 44 42 … A．水池里的水量是因变量 B．放水10分钟，水池里的水量是 C．每分钟放水 D．放水25分钟，水池里的水恰好全部放完 【答案】B 【分析】根据函数的定义确定放水时间为自变量，水池中的水量为因变量；从表中数据看出，放水时间每增加1分钟，水池中的水量就减少2m3，说明每分钟2m3；放水10分钟时，共放水20m3，则水池中还有水50-20=30m3；放水25分钟时，共放水50m3，则水池中还有水50-50=0m3，此时水池里的水全部放完，即可求解． 【详解】解：A、水池中的水量随着放水时间的变化而变化，因此，放水时间为自变量，水池中的水量为因变量，故本选项正确，不符合题意； B、原来水池中有水50m3，每分钟放水2m3，放水10分钟，共放水20m3，水池里还剩水30m3，故本选项错误，符合题意； C、由表格得：放水时间每增加1分钟，水池中的水量就减少2m3，故本选项正确，不符合题意； D、每分钟放水2m3，放水25分钟，共放水50m3，原来水池中有水50m3，所以水池里的水全部放完，故本选项正确，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了列表法表示函数关系，通过表格中的数据信息找到自变量与因变量，以及二者的函数关系，并且可以计算某个具体的自变量值所对应的函数值． 5．声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表： 气温（℃） 0 5 10 15 20 音速（） 331 334 337 340 343 下列结论错误的是(   ) A．在变化中，气温是自变量，音速是因变量 B．音速随气温的增大而增大 C．当气温为5℃时，音速为 D．当气温为30℃时，音速为 【答案】D 【分析】根据音速随气温变化而变化可知在变化中，气温是自变量，音速是因变量，由此可判断A；根据表格可知音速随气温的增大而增大，由此可判断B；直接根据表格中数据可判断C；根据表格可知气温每升高，音速就增加，由此可求出当气温为时的音速，由此可判断D． 【详解】解：A、在变化中，气温是自变量，音速是因变量，此项结论正确，不符题意； B、音速随气温的增大而增大，此项结论正确，不符题意； C、当气温为时，音速为，此项结论正确，不符题意； D、当气温为时，音速为，则此项结论错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了自变量与因变量、函数的表示方法，正确得出气温每升高，音速就增加是解题关键． 6．一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表： 防水时间（） 1 2 3 4 … 水池中水量（） 48 46 44 42 … 下面说法不正确的是（    ） A．放水时间是自变量，水池中的水量是因变量 B．随着放水时间的增加，水池中水量减少 C．放水后，水池中的水全部放完 D．放水后，水池中还有水 【答案】D 【分析】根据表格中的数量关系可辨别各选项是否符合题意． 【详解】解：A、由题意可得，放水时间是自变量，水池中的水量是因变量，故选项正确； B、水池中原有水，每分钟放水，随着放水时间的增加，水池中水量减少，故选项正确，不符合题意； C、放水后，水池中的水还有，此时水池中水全部放完，故选项正确，不符合题意； D、放水后，水池中的水还有，故选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了利用函数解决实际问题的能力，解题的关键是准确理解题目中的数量关系，并能列式表达． 【题型5 函数解析式】 1.某班同学在探究弹簧的长度随外力的变化关系时，使用50克/个的砝码进行实验，记录得到的相应数据如表，则弹簧的长度y（厘米）与砝码的质量x（克）之间的函数关系式是 ． 砝码的个数 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧长度（厘米） 5 6 7 8 9 10 11 12 【答案】 【分析】本题主要考查了函数解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的关系．根据题意每增加一个砝码，弹簧长度就增加1厘米，注意：1个砝码是50克，知弹簧的长度y（厘米）与砝码的质量x（克）之间的函数关系式是计算即可得到结论． 【详解】解：根据题意，每增加一个砝码，弹簧长度就增加1厘米，1个砝码是50克， 所以弹簧的长度y（厘米）与砝码的质量x（克）之间的函数关系式是． 故答案为：． 2.汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油7升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为 ． 【答案】（） 【分析】根据余油量的构成，即初始油量减去消耗的油量，来确定余油量与行驶时间的关系式．本题主要考查根据实际问题列代数式，熟练掌握“余油量、初始油量、消耗油量”之间的数量关系是解题的关键． 【详解】解：∵每小时耗油升，行驶时间为小时， 小时的耗油量为升． ∵油箱初始有油升， 余油量（升）与行驶时间（小时）的关系式为（）． 故答案为： （）． 3.某水果批发市场规定，批发水果不少于时，批发价是每千克元，小王携带现金元到市场采购苹果，并以批发价买进，如果购买的苹果为，小王付款后的剩余现金为y元，那么y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了列函数解析式．利用已知批发价为每千克元，小王携带现金3000元到这个市场采购苹果，求得解析式，根据批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克元，至多可以买，求出自变量的取值范围． 【详解】解：由已知批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到这个市场采购苹果得y与x的函数关系式：， ∵批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克元， ∴， ∴至多可以买． 故自变量x的取值范围：． 故答案为： 4.已知一支长16cm的蜡烛点燃后每小时燃烧掉3cm，用单位：表示燃烧后蜡烛的长度，用单位：表示燃烧的时间，则y与之间的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，根据燃烧后蜡烛的长度=燃烧前蜡烛的长度-每小时燃烧掉的长度燃烧的时间写出y与t之间的关系式是解题的关键． 根据燃烧后蜡烛的长度=燃烧前蜡烛的长度-每小时燃烧掉的长度燃烧的时间计算即可． 【详解】解：由题意可知，y与t之间的关系式为 故答案为： 5．一个正方形的边长为，它的各边长都减少后，得到的新正方形的周长为． (1)求与之间的关系式； (2)若这个正方形的各边长都减少了，求得到的新正方形的周长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查函数关系式，掌握正方形周长计算公式是解题的关键． （1）根据正方形周长公式计算即可； （2）当时，求出对应的值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 与之间的关系式为． （2）当时，， 答：得到的新正方形的周长为． 6.某通信公司开设了两种通讯业务“全球通”和“快捷通”．“全球通”：使用者先交50元租费，然后每通话一分钟付0.4元话费；“快捷通”：不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元．若一个月内通话x分钟，两种方式的费用分别为P元，Q元． (1)请你分别写出P，Q与x之间的关系式； (2)若某用户一个月内通话时间为120分钟，你认为选择哪种通讯业务更划算？ 【答案】(1) (2)某用户一个月内通话时间为120分钟，选择“快捷通”移动通信业务比较合适 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求解函数值， （1）根据两种业务的收费标准列出对于的关系式即可； （2）把代入（1）所求式子中，求出P、Q的值，然后比较大小即可； 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：当时，， ∵， ∴若某用户一个月内通话时间为120分钟，选择“快捷通”移动通信业务比较合适； 7．父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格． 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 … 温度（） 20 14 8 2 … 根据上表，解决下列问题： (1)求与之间的函数关系式； (2)计算出距离地面8千米的高空温度是多少？ 【答案】(1) (2)距离地面8千米的高空温度是 【分析】本题考查函数关系式，结合表格数据求得函数关系式是解题的关键． （1）结合表格数据即可求得T与h的关系式； （2）将代入（1）中所求关系式求得t的值即可． 【详解】（1）解：由表格数据可得，高度每增加1千米，温度就下降， 则； （2）解：当时，， 即距离地面8千米的高空温度是． 8．如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，完成下面各题． (1)2节链条的总长度为___________，3节链条的总长度为___________； (2)若x节链条总长度为，求y关于x的函数关系式； (3)当一根链条的总长度为时，请求出该链条由几节组成． 【答案】(1)， (2) (3)总长度为的链条由40节组成 【分析】本题考查列函数关系式，求自变量的值，解题的关键是正确的列出函数关系式： （1）根据题意可知每增加一节，增加，进行求解即可； （2）根据（1）中结论，列出函数关系式即可； （3）令，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：每增加一节，链条增加， 2节链条的总长度， 3节链条的总长度， 故答案为：，； （2） ； （3）当时， 解得， 总长度为的链条由40节组成． 【题型6 从函数的图象获取信息】 1.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．乙用11分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走1440米才到达终点 C．甲乙两人之间的最远距离是300米 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了7分钟 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的图象，能从函数的图象中获取相关信息解决问题是解答的关键． 根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：（分）， 乙用12分钟追上甲，故A选项错误，不符合题意； 甲的速度为（米/分）， 乙追上甲时，二人离起点的距离为（米）， 乙追上甲后，再走1440米才到达终点，故B选项正确，符合题意； 乙的速度为（米/分）， 乙到达终点所用的时间为（分）， 当乙到达终点时甲走的路程为（米）， 当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为（米），故C选项错误，不符合题意； 当乙到达终点时甲走的路程为2040米， 甲还需要（分）到达终点， 甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，故D选项错误，不符合题意； 故选：B 2.、两地相距630千米，客车、货车分别从、两地同时出发，匀速相向行驶．货车两小时可到达途中站，客车需9小时到达站．货车的速度是客车的，客、货车到站的距离分别为、（千米），它们与行驶时间（小时）之间的函数关系如图．下列说法错误的是（   ） A．客、货两车的速度分别为60千米小时，45千米小时 B．点的坐标为 C．函数、的图象相交于点，则点的纵坐标为180 D．点横坐标为12 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象获取信息、一元一次方程的应用，从函数图象正确获取信息是解题关键．设客车的速度为千米时，则货车的速度为千米时，根据题意列方程，即可判断；再求出、间距离即可判断，设两车在客车出发后y小时相遇，则由图可知两车到距离相等，列方程 ，即可判断，求出货车由到用的时间即可判断． 【详解】解：设客车的速度为千米时，则货车的速度为千米时， 由题意，得， 解得， 客车的速度为千米时，货车的速度为千米小时， 故正确； 货车2小时到达， 、间距离为千米， 则点的坐标为， 故正确； 客车9小时到达， 、间距离为千米， 设两车在客车出发后y小时相遇，则由图可知两车到距离相等， 则有， 解得， 此时距离为千米， 图中的纵坐标为180， 故正确． 货车由到用时为小时， 则货车一共行驶14小时， 点横坐标为14， 故错误； 故选：． 3.如图是泰安市某一天内的气温变化图，下列结论中错误的是（   ） A．这一天中最高气温是 B．这一天中最高气温与最低气温的差为 C．这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高 D．这一天中气温在逐渐降低的只有14时至24时 【答案】D 【分析】此题考查了函数图象，由纵坐标看出气温，横坐标看出时间是解题关键． 根据函数图象的纵坐标，可得气温，根据函数图象的增减性，可得答案． 【详解】A、由纵坐标看出，最高气温是，正确，不符合题意； B、由纵坐标看出，最低气温是，温差是，正确，不符合题意； C、由函数图象看出，这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高，正确，不符合题意； D、由函数图象看出，这一天中0时至2时，14时至24时气温在逐渐降低，原说法错误，符合题意． 故选：D． 4.如图所示是某物体做直线运动时的路程随时间变化的图象，由图象判断下列说法错误的是（    ） A．时，物体通过的路程为 B．在整个时间内，物体运动的平均速度为 C．物体运动的总路程为 D．物体在内的速度比内的速度大 【答案】C 【分析】本题考查路程—时间图象的识别，根据图象，按照路程速度时间即可逐项判断． 【详解】解：A：由题图知，时，物体通过的路程为说法正确，不符合题意． B：整个时间内，物体通过的路程为，则物体的平均速度，B说法正确，不符合题意． C：由图可知，物体通过的总路程为，故C说法错误，符合题意； D：内物体速度， 内物体速度， 故物体在内的速度比内的速度大，D说法正确，不符合题意． 故选：C． 5．“龟兔赛跑”讲述的是：领先的兔子骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但是为时已晚，乌龟还是先到了终点……下列折线图中与故事情节相吻合的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了函数图象，根据题意可知，乌龟先到终点，兔子开始时速度比乌龟快，在兔子睡觉阶段兔子跑的路程呈水平状态，兔子比乌龟晚到终点，据此解答即可，能够从函数图象获取信息，解决有关的实际问题是解题的关键． 【详解】解：，由图中兔子没有到终点，不符合题意； 、由图中兔子和乌龟同时到终点，不符合题意； 、与故事情节相吻合，符合题意； 、由图中兔子比乌龟先到终点，不符合题意； 故选：． 【题型6 动点问题的函数图象】 1．如图1，在中，，点从点开始沿向点运动，在运动过程中，设线段的长为，线段的长为，关于的函数图象如图2所示，点是函数图象上的最低点，则此时的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，垂线段最短，勾股定理等知识，读懂图象，用好垂线段最短和勾股定理是解题的关键．根据图象信息得，当时，，此时运动结束，表示点运动到了点处，故，；当，取得最小值，根据垂线段最短，得到垂线段为，当与重合时，最小，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：根据图象信息得，当时，，此时运动结束，表示点运动到了点处，故，； 当，取得最小值，根据垂线段最短，得到垂线段为，当与重合时，最小， 此时，， 故． 故选：D． 2．如图①所示（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积随点运动的时间（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题和坐标系．路线为，将每段路线在坐标系中对应清楚即可得出结论． 【详解】解：坐标系中对应点运动到B点， ，故B选项正确，符合题意； ，即， 解得：，故A选项错误，不符合题意； 对应的段， ， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∴所用时间为， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．如图（），在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图（）是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，作于，当点与重合时，在图2中点，表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，再由勾股定理计算即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ， 当点与重合时，在图2中点，表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小， ∴，，， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．如图1（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积与点运动的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示，则的长度为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查函数图象问题，将动点的运动状态与函数图象对应，关注图象中的拐点，给合函数图象给定的信息确定等量关系即可求解． 【详解】解：如图，点P运动至点B时，即， 的面积，解得：， ∴， 时，点P运动至点E，即， ∴， ∴故选：A． 5．如图，在长方形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为，的面积为．若y与x的对应关系如图所示，则图中 ． 【答案】3 【分析】本题考查用图象表示变量的关系，读懂图象获取有效信息是解题的关键．根据题意可知，当点P在上运动时，的面积不变，即当点P运动到点A时，的面积即a的值，再根据点P沿运动到D时的路程为，求得b的值即可． 【详解】解：根据题意可知，当点P在上运动时，的面积不变， ∴当点P运动到点A时，， ∵在长方形中，，， ∴， 由图可知，当点P运动到点D时，此时点P的运动路程为， 即， ∴， ∴． 故答案为：3． 6．如图①，在中，D为的中点，动点P从点D出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则（1） ；（2）m的值为 ． 【答案】 6 4 【分析】此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出的长，从而求出，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出时，根据勾股定理即可求出，即可解答． 【详解】解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为，根据图象可知，当时， ∴， ∵点为边中点， ∴， 由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小， ∴根据垂线段最短，此时， 如图所示，此时点P运动的路程， ∴， ∴在中，， 即． 故答案为：6，4． 7．如图，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出与的长度，本题属于中等题型． 根据图象可知点在上运动时，此时不断增大，而从向运动时，先变小后变大，从而可求出与的长度． 【详解】解：根据图象可知点在上运动时，此时不断增大， 由图象可知：点从向运动时，的最大值为， 即， 由于是曲线部分的最低点， 此时最小， 即，， 由勾股定理可知，此时， 由于图象的曲线部分是轴对称图形， 此时， 此时， 的面积为：， 故答案为：． 1．在函数，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：，解得：． 故答案为：． 2．如图，在长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿方向运动至点D，再以的速度从点D运动到点A处停止，设P点运动的时间为，的面积为，y关于x的图象如图2所示． (1)观察图象可知：______；______；______；______． (2)当时，直接写出y关于x的关系式； (3)当时，求x的值． 【答案】(1)10，16，23，80 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意，得点P从点B出发，以的速度向点D运动；则，根据题意解答即可； （2）当时，根据三角形的面积公式解答即可； （3）分点P在上，三种情况解答即可． 本题考查了动点问题的函数图象，一元一次方程的应用，从函数图象中获取相关信息，是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得点P从点B出发，以的速度向点D运动，则，根据图象，当时，的面积为， 根据题意，得，解得，根据图象，得点P在上运动了，，故，解得， 故从点D到点A的运动时间为：， 故； 故答案为：10，16，23，80． （2）解：当时，． （3）解：根据题意，得点P在上时，， 故时，， 当时，，解得； 点P在上时，是定值，不可能为20，此时无解； 点P在上时，， 当时，，解得； 综上所述，当时，x的值为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 变量与函数 【题型1 自变量与常量】......................................................................................................1 【题型2 函数的概念】............................................................................................................2 【题型3 求自变量的取值范围或函数值】...............................................................................2 【题型4 函数的三种表示方法】..............................................................................................3 【题型5 函数解析式】...........................................................................................................5 【题型6 从函数的图象获取信息】.........................................................................................7 【题型6 动点问题的函数图象】............................................................................................9 【题型1 自变量与常量】 1.假期小敏一家自驾游山西，爸爸开车到加油站加油，小敏发现加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） 金额：168.80元 油量：20.00升 单价：8.44元/升 A．单价 B．金额 C．油量 D．金额和油量 2.球的体积是，球的半径为，则，其中变量是（   ） A．变量是 B．变量是 C．变量是 D．变量是 3．某智能音箱正在加载语音数据库，加载速率为每秒，已加载了．设继续加载的时长为t秒，总加载量为．下列判断正确的是（    ） A．t和a是常量，5和15是变量 B．5和t是常量，15和a是变量 C．15和a是常量，5和t是变量 D．5和15是常量，t和a是变量 【题型2 函数的概念】 1．下列变量之间的关系中，不属于函数关系的是（   ） A．人的身高与体重 B．某地一天的气温与时间 C．存款在银行中产生的利息与时间 D．正方形的周长与面积 2.下列各曲线中表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 3.下列解析式中，y不是x的函数的是（  ） A． B． C． D． 4.下列各曲线中，能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 5.下列式子：①；②；③；④．其中y是x的函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型3 求自变量的取值范围或函数值】 1．变量y与x的关系为，当时，y的值为（   ） A．1 B．5 C． D． 2．某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是表中的数据： 鸭的质量/千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 烤制时间/分钟 40 60 80 100 120 140 160 180 设鸭的质量为千克，烤制时间为．当千克时，的值约为（    ） A．168 B．170 C．172 D．174 3．函数中，自变量的取值范围是 ． 4．在函数 中，自变量的取值范围是 ． 5．函数的定义域为 ． 5．小明在进行温度与金属导体的电阻大小之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R（单位：Ω）与温度t（单位：）之间满足关系式，当电阻时，此时温度 ． 6．若函数，则当自变量时，函数值 ． 7．按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是5，则输出的值是3，若输入的值是，则输出的值是 ． 【题型4 函数的三种表示方法】 1．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 …… 刹车距离（m） 0 5 10 …… 下列说法中错误的是（    ） A．自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离 B．刹车时的车速每增加千米，刹车距离就增加 C．当刹车距离为时，刹车时的车速为 D．当刹车时的车速为时，与其前方距离为的车辆不会追尾 2．一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是（    ） 放水时间t（分） 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … A．放水时间是自变量，水池里的水量是因变量 B．每分钟放水 C．放水25分钟，水池里的水全部放完 D．水池里的水量Q与放水时间t的关系式为Q＝48－2t 3．下表反映的是某地区电的使用量x（千瓦·时）与应交电费y（元）之间的关系，下列说法不正确的是（    ） 用电量x（千瓦·时） 1 2 3 4 … 应交电费y（元） 0.55 1.1 1.65 2.2 … A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元 C．若用电量为8千瓦·时，则应交电费4.4元 D．若所交电费为2.75元，则用电量为6千瓦·时 4．一个蓄水池有水，打开放水闸门，水池里的水量和放水时间的关系如下表，下面说法不正确的是（    ） 放水时间（min） 1 2 3 4 … 水池里的水量（） 48 46 44 42 … A．水池里的水量是因变量 B．放水10分钟，水池里的水量是 C．每分钟放水 D．放水25分钟，水池里的水恰好全部放完 5．声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表： 气温（℃） 0 5 10 15 20 音速（） 331 334 337 340 343 下列结论错误的是(   ) A．在变化中，气温是自变量，音速是因变量 B．音速随气温的增大而增大 C．当气温为5℃时，音速为 D．当气温为30℃时，音速为 6．一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表： 防水时间（） 1 2 3 4 … 水池中水量（） 48 46 44 42 … 下面说法不正确的是（    ） A．放水时间是自变量，水池中的水量是因变量 B．随着放水时间的增加，水池中水量减少 C．放水后，水池中的水全部放完 D．放水后，水池中还有水 【题型5 函数解析式】 1.某班同学在探究弹簧的长度随外力的变化关系时，使用50克/个的砝码进行实验，记录得到的相应数据如表，则弹簧的长度y（厘米）与砝码的质量x（克）之间的函数关系式是 ． 砝码的个数 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧长度（厘米） 5 6 7 8 9 10 11 12 2.汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油7升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为 ． 3.某水果批发市场规定，批发水果不少于时，批发价是每千克元，小王携带现金元到市场采购苹果，并以批发价买进，如果购买的苹果为，小王付款后的剩余现金为y元，那么y与x之间的函数关系式为 ． 4.已知一支长16cm的蜡烛点燃后每小时燃烧掉3cm，用单位：表示燃烧后蜡烛的长度，用单位：表示燃烧的时间，则y与之间的关系式是 ． 5．一个正方形的边长为，它的各边长都减少后，得到的新正方形的周长为． (1)求与之间的关系式； (2)若这个正方形的各边长都减少了，求得到的新正方形的周长． 6.某通信公司开设了两种通讯业务“全球通”和“快捷通”．“全球通”：使用者先交50元租费，然后每通话一分钟付0.4元话费；“快捷通”：不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元．若一个月内通话x分钟，两种方式的费用分别为P元，Q元． (1)请你分别写出P，Q与x之间的关系式； (2)若某用户一个月内通话时间为120分钟，你认为选择哪种通讯业务更划算？ 7．父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格． 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 … 温度（） 20 14 8 2 … 根据上表，解决下列问题： (1)求与之间的函数关系式； (2)计算出距离地面8千米的高空温度是多少？ 8．如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，完成下面各题． (1)2节链条的总长度为___________，3节链条的总长度为___________； (2)若x节链条总长度为，求y关于x的函数关系式； (3)当一根链条的总长度为时，请求出该链条由几节组成． 【题型6 从函数的图象获取信息】 1.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．乙用11分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走1440米才到达终点 C．甲乙两人之间的最远距离是300米 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了7分钟 2.、两地相距630千米，客车、货车分别从、两地同时出发，匀速相向行驶．货车两小时可到达途中站，客车需9小时到达站．货车的速度是客车的，客、货车到站的距离分别为、（千米），它们与行驶时间（小时）之间的函数关系如图．下列说法错误的是（   ） A．客、货两车的速度分别为60千米小时，45千米小时 B．点的坐标为 C．函数、的图象相交于点，则点的纵坐标为180 D．点横坐标为12 3.如图是泰安市某一天内的气温变化图，下列结论中错误的是（   ） A．这一天中最高气温是 B．这一天中最高气温与最低气温的差为 C．这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高 D．这一天中气温在逐渐降低的只有14时至24时 4.如图所示是某物体做直线运动时的路程随时间变化的图象，由图象判断下列说法错误的是（    ） A．时，物体通过的路程为 B．在整个时间内，物体运动的平均速度为 C．物体运动的总路程为 D．物体在内的速度比内的速度大 5．“龟兔赛跑”讲述的是：领先的兔子骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但是为时已晚，乌龟还是先到了终点……下列折线图中与故事情节相吻合的是（　　） A．B．C．D． 【题型6 动点问题的函数图象】 1．如图1，在中，，点从点开始沿向点运动，在运动过程中，设线段的长为，线段的长为，关于的函数图象如图2所示，点是函数图象上的最低点，则此时的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图①所示（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积随点运动的时间（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图（），在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图（）是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为（　　） A． B． C． D． 4．如图1（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积与点运动的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示，则的长度为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．如图，在长方形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为，的面积为．若y与x的对应关系如图所示，则图中 ． 6．如图①，在中，D为的中点，动点P从点D出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则（1） ；（2）m的值为 ． 7．如图，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是 ． 1．在函数，自变量x的取值范围是 ． 2．如图，在长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿方向运动至点D，再以的速度从点D运动到点A处停止，设P点运动的时间为，的面积为，y关于x的图象如图2所示． (1)观察图象可知：______；______；______；______． (2)当时，直接写出y关于x的关系式； (3)当时，求x的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $