精品解析：山东省济南市商河县郑路中学2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试题

2024－2025下学期第一次月考数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题关键，根据幂的乘方运算法则直接计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 2. 我国已生产出了7纳米的芯片．．用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据科学记数法的表示形式即可得． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照单项式与单项式的乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A．，故不正确； B．，正确； C．与不是同类项，不能合并，故不正确； D．，故不正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了单项式与单项式的乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4. 的计算结果是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，平方差公式，熟练掌握平方差公式的运算法则是解题的关键； 通过变形将其转化为平方差公式直接解答即可． 【详解】解： ； 故选；D． 5. 若3x＝15，3y＝3，则3x﹣y＝（ ） A. 5 B. 3 C. 15 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法，由3x＝15，3y＝3，可得3x﹣y的值，本题得以解决． 【详解】解：∵3x＝15，3y＝3，3x﹣y×3y＝3x， ∴3x﹣y＝3x÷3y＝15÷3＝5， 故选：A． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法与除法，熟练掌握法则是解题的关键． 6. 若，则的值为（  ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式．熟练掌握平方差公式，是解题的关键． 根据可得． 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：D． 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方运算，有理数的大小比较，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则，有理数的大小比较方法是解题的关键．先根据幂的乘方逆运算，将a，b，c变形为，，，然后再指数相同，底数越大值就越大进行比较即可． 【详解】解：，，， 且， ， ． 故选：D． 8. 已知，，那么的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键．将两式展开后再相减即可得到结果． 【详解】解：由题意，得：， ， 两式相减，得：， 解得：， 故选：A． 9. 若二次三项式是完全平方式，则k的值是（　　） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据所给多项式可以确定两平方项分别为，则一次项为，据此可得答案． 【详解】解：∵，是完全平方式， ∴， 解得． 故选：C． 10. 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式乘法的规律，根据杨辉三角图形规律第三项系数为1到指数前一位的整数和求解即可得到答案； 【详解】解：由杨辉三角得， 的第三项系数为， 的第三项系数为， 的第三项系数为， 由此可知的第三项系数为， ∴的展开式中第三项的系数为：， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．直接利用单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，解答本题的关键是熟练掌握积的乘方法则：先把各个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．先根据积的乘方法则计算，再算单项式的除法即可得到结果． 【详解】 故答案为： 13. 如图，将分割的正方形阴影部分拼接成长方形的方案中，可以验证哪个公式_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用．左边一幅图中阴影部分面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积， 右边一幅图中阴影部分面积等于长为，宽为的长方形面积，据此分别求出两幅图中阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：左边一幅图中，阴影部分面积为， 右边一幅图中，阴影部分面积为， ∵两幅图中阴影部分面积相等， ∴， 故答案为：． 14. 若关于x的多项式展开后不含有x一次项，则实数k的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据展开后不含有一次项，即含一次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵关于x的多项式展开后不含有x一次项， ∴， ∴， 故答案为：2． 15. 已知代数式是一个完全平方式，则实数a的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的运用．直接利用完全平方公式求解． 【详解】解：∵代数式是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得或， 故答案为：或． 16. 边长分别为m和的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据图列出代数式并掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 由图可知，阴影部分的面积=两个正方形的面积之和-两个三角形的面积，据此列式计算即可． 【详解】解：由图可得阴影部分的面积= =． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题；共86分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算． （1）先计算积的乘方，再根据单项式乘单项式法则计算即可； （2）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （3）先计算同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： ． 18. 用乘法公式进行简便运算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了乘法公式，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）把原式变形为，再利用完全平方公式求解即可； （2）把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用乘方的定义、零指数幂和负整数指数幂先运算，再相加即可； （）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可； （）先进行乘方运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可； 本题考查了零指数幂和负整数指数幂，整式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 20. 先化简，再求值： （1），其中，； （2），其中，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，整式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，合并同类项，对原式进行化简，代入字母的值，计算即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式去括号，合并同类项，再根据整式的除法运算法则，对原式进行化简，代入字母的值，计算即可． 【小问1详解】 解： 当，时， 原式 【小问2详解】 解： 当，时， 原式 21. 为改善居住环境，某社区计划修建一个广场，广场的平面图（单位：m）如图所示． （1）用含m，n的代数式表示该广场的面积S． （2）若m，n满足，求该广场的面积S． 【答案】（1） （2）420 【解析】 【分析】（1）利用长方形的面积公式，根据广场的面积大长方形的面积空白长方形的面积计算即可； （2）根据绝对值和偶次方的非负性质求出、的值，再代入的表达式并计算即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ∵， ，， ，， ， 该广场的面积是420． 【点睛】本题考查列代数式、绝对值和偶次方的非负性质、代数式求值，掌握长方形的面积计算公式、绝对值和偶次方的非负性质是解题的关键． 22. 已知，，求： （1）的值； （2）的值； （3）的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用同底数幂乘法的逆运算计算即可； （）利用幂的乘方的逆运算计算即可； （）利用同底数幂乘法的逆运算和幂的乘方的逆运算计算即可； 本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴． 23. 一个底面是正方形的长方体，高为厘米，底面正方形边长厘米．如果它的高不变，底面边长增加厘米，那么它体积增加多少？ 【答案】立方厘米 【解析】 【分析】本题考查了整式混合运算的实际应用，根据题意列出算式解答即可． 根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：立方厘米， 答：它体积增加立方厘米． 24. 规定新运算：（其中m、n为正整数）．例如， 若，则． 解答以下问题：若， （1）求的值； （2）当，求n的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法与乘法、一元一次方程的应用，理解新运算的定义是解题关键． （1）根据，利用新运算的定义求解即可得； （2）根据新运算的定义可得，则，从而可得，解方程即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴． 25. 【数学实验】 如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为a、宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）．利用若干个图1中的图形可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如：图2可以解释为． （1）图3可以解释为______； （2）取图1中的若干个图形拼成一个长方形，使它的长和宽分别为和，不画图形，试通过计算说明需要多少个C类图形； 【拓展运用】 （3）若取图1中的若干个图形拼成一个长方形，使它的面积为，通过操作发现拼成的长方形的长为______，宽为______． 【答案】（1）；（2）需要15个C类图形；（3）， 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用； （1）根据图3面积两种求法即可得到结论； （2）根据多项式乘多项式的法则即可得到结论； （3）根据已知条件可画出图形，于是得到长方形的两边． 【详解】解：（1）图3面积由面积公式可得，由四个图形拼成可得面积， ∴； 故答案为：； （2）∵， 边长为b的大正方形（C类）面积为， ∴长方形的长和宽分别为和，需要15个C类图形； （3）图形如下： ∴长方形的面积为，它长是，宽是． 故答案为：，． 26. 小明遇到下面一个问题： 计算．． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式，以及多项式乘多项式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果； （2）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025下学期第一次月考数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 我国已生产出了7纳米的芯片．．用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 的计算结果是( ) A. B. C. D. 5. 若3x＝15，3y＝3，则3x﹣y＝（ ） A. 5 B. 3 C. 15 D. 10 6. 若，则的值为（  ） A. B. 2 C. D. 3 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A. B. C. D. 8. 已知，，那么的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 9. 若二次三项式是完全平方式，则k的值是（　　） A. 6 B. C. D. 10. 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算________． 12. 计算：________． 13. 如图，将分割的正方形阴影部分拼接成长方形的方案中，可以验证哪个公式_____． 14. 若关于x的多项式展开后不含有x一次项，则实数k的值为________． 15. 已知代数式是一个完全平方式，则实数a的值为______． 16. 边长分别为m和的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为 _______． 三、解答题（本大题共10小题；共86分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 18. 用乘法公式进行简便运算： （1）； （2）． 19. 计算： （1）； （2）； （3）． 20. 先化简，再求值： （1），其中，； （2），其中，． 21. 为改善居住环境，某社区计划修建一个广场，广场的平面图（单位：m）如图所示． （1）用含m，n的代数式表示该广场的面积S． （2）若m，n满足，求该广场的面积S． 22. 已知，，求： （1）的值； （2）的值； （3）的值． 23. 一个底面是正方形的长方体，高为厘米，底面正方形边长厘米．如果它的高不变，底面边长增加厘米，那么它体积增加多少？ 24. 规定新运算：（其中m、n为正整数）．例如， 若，则． 解答以下问题：若， （1）求的值； （2）当，求n的值； 25. 【数学实验】 如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为a、宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）．利用若干个图1中的图形可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如：图2可以解释为． （1）图3可以解释为______； （2）取图1中的若干个图形拼成一个长方形，使它的长和宽分别为和，不画图形，试通过计算说明需要多少个C类图形； 【拓展运用】 （3）若取图1中的若干个图形拼成一个长方形，使它的面积为，通过操作发现拼成的长方形的长为______，宽为______． 26. 小明遇到下面一个问题： 计算．． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： （1） （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $