第15章 轴对称 单元过关检测卷 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第15章 轴对称 单元过关检测卷 （考试时间为100分钟，满分为150分） 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.近年来，我国的新能源汽车取得了令人瞩目的成就，成为全球汽车行业的重要力量下面我国四款新能源汽车的标志中，不是轴对称图形的是(    ) A.  小鹏汽车 B. 蔚来汽车 C. 阿维塔汽车 D. 理想汽车 2.如图，与关于直线对称，则以下结论中，不一定正确的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，连接若，，则的长是  (    ) A. B. C. D. 4.在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则，的值分别为  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 5.如图是我国古建筑梁架示意图，其顶部可看作等腰如图，已知，则下列不能说明的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，以点为圆心，适当长为半径作弧，与射线交于点，再以点为圆心，为半径作弧，两弧交于点，作出射线，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.如图，为三角形纸片的边上一点，作点关于和的对称点分别为，，连接分别交，于点，，连接，，若的周长为，则的长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在平面直角坐标系中，已知，，若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是  (    ) A. B. C. D. 9.如图，在等腰直角中，，，为边上一动点不与点，重合，连接，作，交于点，有以下结论：；当时，；当为的中点时，垂直平分；当时，，其中正确的结论为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，共30分。 11.如图，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为           ． 12.如图，一辆汽车在笔直的公路上由处向处行驶，，分别是位于公路两侧的村庄，当汽车行驶到某一位置时，汽车到村庄，的距离相等，则此时汽车应位于          ． 13.如图，在平面直角坐标系中，从点处射出一束光线，沿如图所示方向，每当光线碰到长方形的边时反射，已知反射的反射角等于入射角，光线第次反射时的坐标为点，第次反射时的坐标为点，，则第次反射时点的坐标为          ． 14.如图，在中，点在边上，连接，过点作平分交于点，且若，，，，则的面积为          ． 15.如图，在等边三角形中，点在边上，点在边上，将折叠，使点落在边上的点处，则           16.如图是一个折叠熨衣架，图是其侧面示意图，支架与交于点，，熨烫板水平线与地面水平线平行，，，，那么熨衣架的支架长为          ． 17.如图，在中，，，是的中点，是边上一动点，连接，将沿所在直线折叠，点的对应点为点，与相交于点点不与点重合若是以为腰的等腰三角形，则的度数为          ． 18.如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为          ． 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 在平面直角坐标系中的位置如图所示． 画出关于轴对称的； 将向右平移个单位长度，作出平移后的，并写出各顶点的坐标； 观察和，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴． 20.本小题分如图，在中，点和点分别在，上，连接，过点作交于点，已知，． 求证： 垂直平分； ． 21.本小题分如图，中边的垂直平分线与的平分线交于点，交的延长线于点，交于点． 求证： ； ． 22.本小题分 小马和小虎在解这样一道题：“如图，在中，，点，均在边上，，，求的度数．”他们经过商量后，结论不一致，小马说：“的度数与的度数有关，只有知道的度数才能求出的度数．”小虎说：“的度数是一个定值，与的度数无关．”他们谁说得正确？请说明理由． 23.本小题分 如图，在中，，为上一点，点在的延长线上，，连接，从下面中选取两个作为条件，另外一个作为结论，并证明结论是否成立． ；；． 选择的条件：________； 证明的结论：________填序号 证明如下： 24.本小题分 定义：在等边中，，，分别是边，，上的动点，若与形状相同，即也是等边三角形，则称是的子三角形． 已知：如图，是等边三角形，，，分别是边，，上的动点，且． 求证：是的子三角形． 证明：是等边三角形， ，， ， ， 请根据上述证明思路，补全剩余证明过程； 若，，求的长． 25.本小题分如图，是等腰直角三角形，，先将边沿过点的直线对折得到，连接，然后以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接，． 求证：； 如图，当点在的 斜边上时，请直接写出用表示的关系式； 如图，当点在的内部时，若点为的中点，且的面积为，求的面积． 26.本小题分已知，为等腰三角形，，点是边上一点不与端点重合，作直线，点关于直线的对称点为点，连接，直线与交于点． 如图，求证：； 如图，若为等边三角形，点在边上，且，连接交于点，求证：； 如图，若，点是射线上一点不与点，重合，其余条件不变，过点作于点，连接，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．注：有一个角为的直角三角形是等腰直角三角形 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15章 轴对称 单元过关检测卷 （考试时间为100分钟，满分为150分） 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.近年来，我国的新能源汽车取得了令人瞩目的成就，成为全球汽车行业的重要力量下面我国四款新能源汽车的标志中，不是轴对称图形的是(    ) A.  小鹏汽车 B. 蔚来汽车 C. 阿维塔汽车 D. 理想汽车 【答案】D  【解析】解：、、选项中的图形均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形，不符合题意； 选项中的图形不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，符合题意； 故选：． 根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2.如图，与关于直线对称，则以下结论中，不一定正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 3.如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，连接若，，则的长是  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】是的垂直平分线，，． 4.在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则，的值分别为  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B  【解析】【分析】 此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．直接利用关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可得出答案． 【解答】 解：点与点关于轴对称， ，， ，， 故选：． 5.如图是我国古建筑梁架示意图，其顶部可看作等腰如图，已知，则下列不能说明的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 6.如图，以点为圆心，适当长为半径作弧，与射线交于点，再以点为圆心，为半径作弧，两弧交于点，作出射线，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 7.如图，为三角形纸片的边上一点，作点关于和的对称点分别为，，连接分别交，于点，，连接，，若的周长为，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 8.如图，在平面直角坐标系中，已知，，若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 9.如图，在等腰直角中，，，为边上一动点不与点，重合，连接，作，交于点，有以下结论：；当时，；当为的中点时，垂直平分；当时，，其中正确的结论为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 10.如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，连接，。由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】连接，，  ，点是边的中点，  ，  ， ， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 当三点共线时，即的长为的最小值， 的周长最短， 故选：． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.如图，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为           ． 【答案】  【解析】略 12.如图，一辆汽车在笔直的公路上由处向处行驶，，分别是位于公路两侧的村庄，当汽车行驶到某一位置时，汽车到村庄，的距离相等，则此时汽车应位于          ． 【答案】线段的垂直平分线与公路的交点处  【解析】略 13.如图，在平面直角坐标系中，从点处射出一束光线，沿如图所示方向，每当光线碰到长方形的边时反射，已知反射的反射角等于入射角，光线第次反射时的坐标为点，第次反射时的坐标为点，，则第次反射时点的坐标为          ． 【答案】  【解析】光线的反射路径如解图，用坐标描述这个反射为后再重复进行新一轮的反射，则第次反射时点的坐标为． 14.如图，在中，点在边上，连接，过点作平分交于点，且若，，，，则的面积为          ． 【答案】  【解析】略 15.如图，在等边三角形中，点在边上，点在边上，将折叠，使点落在边上的点处，则           【答案】  【解析】略 16.如图是一个折叠熨衣架，图是其侧面示意图，支架与交于点，，熨烫板水平线与地面水平线平行，，，，那么熨衣架的支架长为          ． 【答案】  【解析】略 17.如图，在中，，，是的中点，是边上一动点，连接，将沿所在直线折叠，点的对应点为点，与相交于点点不与点重合若是以为腰的等腰三角形，则的度数为          ． 【答案】或  【解析】如图，当时，，，；如图，当时，，，． 18.如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为          ． 【答案】  【解析】作点关于的对称点，连接，则当，，三点共线，且时，此时的值最小，由题意可得，则，再由，，可得，解得，然后根据即可求出的长． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，    ， ， 当，，三点共线，且时，此时的值最小，即的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 在平面直角坐标系中的位置如图所示． 画出关于轴对称的； 将向右平移个单位长度，作出平移后的，并写出各顶点的坐标； 观察和，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴． 【答案】(1)解：如图，△A1B1C1即为所求.  (2)解：如图，△A2B2C2即为所求； 由图可知，A2（6，4），B2（4，2），C2（5，1）.  (3)解：△A1B1C1和△A2B2C2关于直线x=3对称；如图，直线l即为所求．    【解析】 略  略  略 20.本小题分 如图，在中，点和点分别在，上，连接，过点作交于点，已知，． 求证： 垂直平分； ． 【答案】(1)证明：∵AB=BC，∴点B在AC的垂直平分线上， ∵AD=CD，∴点D在AC的垂直平分线上， ∴BD垂直平分AC；   (2)∵BD垂直平分线段AC，∴∠CAB=∠ACB，∠DAC=∠ACD， ∵∠ACD=∠E+∠CAE，∠DAC=∠DAF+∠CAF， ∴∠E+∠CAE=∠DAF+∠CAF， ∵AF// BC，∴∠ACB=∠CAF， ∴∠CAF=∠CAE，∴∠DAF=∠E．   【解析】 略  略 21.本小题分 如图，中边的垂直平分线与的平分线交于点，交的延长线于点，交于点． 求证： ； ． 【答案】(1)证明：连接BE，CE．∵DE垂直平分BC，∴BE=CE．∵AE平分∠BAC，EG⊥AC，EF⊥AB，∴EF=EG，∠F=∠CGE=90°．∴Rt△BFE Rt△CGE，∴BF=CG；  (2)在Rt△AFE和Rt△AGE中，EF=EG，AE=AE，∴Rt△AFE Rt△AGE．∴AF=AG．∴AB+AC=AB+AG+CG=AB+AG+BF=AF+AG=2AF．  【解析】 略  略 22.本小题分 小马和小虎在解这样一道题：“如图，在中，，点，均在边上，，，求的度数．”他们经过商量后，结论不一致，小马说：“的度数与的度数有关，只有知道的度数才能求出的度数．”小虎说：“的度数是一个定值，与的度数无关．”他们谁说得正确？请说明理由． 【答案】解：小虎说得正确．  理由如下： ， ． ，， ， ． ，，   ，得． ， ． ． ． 的度数是一个定值，与的度数无关． 小虎说得正确．  【解析】略 23.本小题分 如图，在中，，为上一点，点在的延长线上，，连接，从下面中选取两个作为条件，另外一个作为结论，并证明结论是否成立． ；；． 选择的条件：________； 证明的结论：________填序号 证明如下： 【答案】解：；． 证明：，是等边三角形，． 又，即，是边上的高， 平分，． 又，， ， ， ，答案不唯一   【解析】略 24.本小题分 定义：在等边中，，，分别是边，，上的动点，若与形状相同，即也是等边三角形，则称是的子三角形． 已知：如图，是等边三角形，，，分别是边，，上的动点，且． 求证：是的子三角形． 证明：是等边三角形， ，， ， ， 请根据上述证明思路，补全剩余证明过程； 若，，求的长． 【答案】(1)解：补全剩余证明过程如下： ∴△DAF△EBD△FCE，∴DF=ED=FE， ∴△DEF是等边三角形， ∴△DEF是△ABC的子三角形；   (2)∵FE⊥BC，∠C=60°， ∴∠EFC=90°-∠C=90°-60°=30°． ∵∠BED+∠DEF=90°，∠EFC+∠C=90°，∠DEF=∠C=60°， ∴∠BED=∠EFC=30°， ∵∠B=60°，∴在△BDE中，∠BDE=180°-∠B-∠BED=180°-60°-30°=90°． 设BD=CE=x，则BE=2x， ∴BC=AB=BE+CE=12=3x，解得x=4， ∴CE的长为4．   【解析】 略  略 25.本小题分 如图，是等腰直角三角形，，先将边沿过点的直线对折得到，连接，然后以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接，． 求证：； 如图，当点在的 斜边上时，请直接写出用表示的关系式； 如图，当点在的内部时，若点为的中点，且的面积为，求的面积． 【答案】解：证明：边沿过点的直线对折得到， ， ， ， ， ， ， ， 又， ≌； 同可证：≌， ， ， ， ； 如图，设直线交于点，交于，连接， 由题意易得直线是的垂直平分线， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， ，， ， ， 点是的中点， ， 在和中 ≌， ， 是的中点， 由得：≌， ， 又是的中点， ， 又是的中点， ， ， 又， ， ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 26.本小题分 已知，为等腰三角形，，点是边上一点不与端点重合，作直线，点关于直线的对称点为点，连接，直线与交于点． 如图，求证：； 如图，若为等边三角形，点在边上，且，连接交于点，求证：； 如图，若，点是射线上一点不与点，重合，其余条件不变，过点作于点，连接，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．注：有一个角为的直角三角形是等腰直角三角形 【答案】(1)证明：由对称的性质可知 又∵， ∴， ∴；   (2)证明: 连接，如图， ∵为等边三角形， ∴，， 由对称的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；   (3)解:，理由如下： 当在线段上时，设交于，连接，如图， 由对称的性质可知，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（）知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在延长线上时，设交于，如图： 同理可得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴，  ， 综上所述，．   【解析】  根据对称的性质以及等腰三角形的性质求证即可；   连接，由为等边三角形，得，，通过对称的性质可知，，然后证明，则，再证明为等边三角形，所以，最后证明，通过全等三角形性质即可；   根据所在位置分类讨论，当在线段上时，当在延长线上时，利用三角形全等和等腰直角三角形的性质得出结论即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 8页 第 15 章 轴对称 单元过关检测卷 （考试时间为 100 分钟，满分为 150 分） 一、选择题：本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.近年来，我国的新能源汽车取得了令人瞩目的成就，成为全球汽车行业的重要力量.下面我国四款新能源 汽车的标志中，不是轴对称图形的是( ) A. 小鹏汽车 B. 蔚来汽车 C. 阿维塔汽车 D. 理想汽车 2.如图，△ ���与△ ���关于直线��对称，则以下结论中，不一定．．．正确的是( ) A. ��//�� B. ∠��� = ∠��� C. �� = �� D. �� ⊥ �� 3.如图，在△ ���中，��的垂直平分线分别交��，��于点�，�，连接��.若�� = 4，�� = 2，则��的长是 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4.在平面直角坐标系中，若点�(�, 2)与点�(3, �)关于�轴对称，则�，�的值分别为 ( ) A. 3，2 B. −3，2 C. 2，3 D. −2，−3 5.如图①是我国古建筑梁架示意图，其顶部可看作等腰△ ���(如 图②)，已知�� = ��，则下列不能．．说明�� = ��的是( ) A. �� ⊥ �� B. ∠��� = ∠��� C. ∠� = ∠� D. △ ��� ≌△ ��� 第 2页，共 8页 6.如图，以点�为圆心，适当长为半径作弧，与射线��交于点�，再以点�为圆心，��为半径作弧，两弧交 于点�，作出射线��，则∠���的度数为( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 7.如图，�为三角形纸片���的边��上一点，作点�关于��和��的对称点分别为�′，�″，连接�′�″分 别交��，��于点�，�，连接��，��，若△ ���的周长为 12，则�′�″的长为( ) A. 6 B. 10 C. 12 D. 24 8.如图，在平面直角坐标系中，已知�(2,4)，�(4,0)，若在坐标轴上取点�，使△ ���为等腰三角形，则满 足条件的点�的个数是 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9.如图，在等腰直角△ ���中，�� = ��，∠��� = 90°，�为��边上一动点(不与点�，�重合)，连接��， 作∠��� = ∠�，交��于点�，有以下结论：①∠��� = ∠���；②当�� = ��时，∠��� = 65°；③当�为�� 的中点时，��垂直平分��；④当∠��� = 22.5°时，�� = ��，其中正确的结论为( ) A.①③ B.①④ C.①③④ D.②③④ 第 3页，共 8页 10.如图，在▵���中，�� = ��，�� = 4，面积是 12，��的垂直平分线��分别交��，��边于点�，�.若 点�为��边的中点，点�为线段��上一动点，则▵���周长的最小值为( ) A. 8 B. 3 C. 6 D. 4 二、填空题：本题共 8 小题，共 30 分。 11.如图，已知正方形的边长为 4 ��，则图中阴影部分的面积为 ��2． 12.如图，一辆汽车在笔直的公路��上由�处向�处行驶，�，�分别是位于公路��两侧的村庄，当汽车行 驶到某一位置时，汽车到村庄�，�的距离相等，则此时汽车应位于 ． 13.如图，在平面直角坐标系中，从点�(3,4)处射出一束光线，沿如图所示方向，每当光线碰到长方形���� 的边时反射，已知反射的反射角等于入射角，光线第 1 次反射时的坐标为点�1(0,1)，第 2 次反射时的坐标 为点�2(1,0)，…，则第 10 次反射时点�10的坐标为 ． 第 4页，共 8页 14.如图，在△ ���中，点�在边��上，连接��，过点�作��平分∠���交��于点�，且�� ⊥ ��.若∠� = ∠���， �� = 3，�� = 4，�� = 5，则△ ���的面积为 ． 15.如图，在等边三角形���中，点�在边��上，点�在边��上，将△ ���折叠，使点�落在��边上的点� 处，则∠��� + ∠��� = °. 16.如图①是一个折叠熨衣架，图②是其侧面示意图，支架��与��交于点�，�� = ��，熨烫板水平线�� 与地面水平线�平行，∠��� = 60°，�� = 25��，�� = 40��，那么熨衣架的支架��长为 ��． 17.如图，在�� △ ���中，∠� = 90°，∠� = 30°，�是��的中点，�是边��上一动点，连接��，将△ ��� 沿��所在直线折叠，点�的对应点为点�，��与��相交于点�(点�不与点�重合).若△ ���是以��为腰的等 腰三角形，则∠���的度数为 ． 第 5页，共 8页 18.如图，点�在等边▵���的边��上，�� = 6，射线�� ⊥ ��，垂足为点�，点�是射线��上一动点，点� 是线段��上一动点，当�� + ��取最小值时，若�� = 7，则此时��的长为 ． 三、解答题：本题共 8 小题，共 90 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题 8 分) △ ���在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出△ ���关于�轴对称的△ �1�1�1； (2)将△ ���向右平移 6 个单位长度，作出平移后的△ �2�2�2，并写出△ �2�2�2各顶点的坐标； (3)观察△ �1�1�1和△ �2�2�2，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴． 20.(本小题 8 分)如图，在△ ���中，点�和点�分别在��，��上，连接��，过点�作��//��交��于点�， 已知�� = ��，�� = ��． 求证： (1)��垂直平分��； (2) ∠��� = ∠�． 第 6页，共 8页 21.(本小题 8 分)如图，△ ���中��边的垂直平分线��与∠���的平分线交于点�，�� ⊥ ��交��的延长线 于点�，�� ⊥ ��交��于点�． 求证： (1)�� = ��； (2)�� + �� = 2��． 22.(本小题 8 分) 小马和小虎在解这样一道题：“如图，在△ ���中，∠��� = 90°，点�，�均在边��上，�� = ��，�� = ��， 求∠���的度数．”他们经过商量后，结论不一致，小马说：“∠���的度数与∠�的度数有关，只有知道∠� 的度数才能求出∠���的度数．”小虎说：“∠���的度数是一个定值，与∠�的度数无关．”他们谁说得正 确？请说明理由． 第 7页，共 8页 23.(本小题 8 分) 如图，在△ ���中，�� = ��，�为��上一点，点�在��的延长线上，�� ⊥ ��，连接��，从下面①②③中 选取两个作为条件，另外一个作为结论，并证明结论是否成立． ①�� = ��；②�� = ��；③∠� = 60°． 选择的条件：________； 证明的结论：________. (填序号) 证明如下： 24.(本小题 8 分) 定义：在等边△ ���中，�，�，�分别是边��，��，��上的动点，若△ ���与△ ���形状相同，即△ ��� 也是等边三角形，则称△ ���是△ ���的子三角形． 已知：如图，△ ���是等边三角形，�，�，�分别是边��，��，��上的动点，且�� = �� = ��． 求证：△ ���是△ ���的子三角形． 证明：∵△ ���是等边三角形， ∴ �� = �� = ��，∠� = ∠� = ∠� = 60°， ∵ �� = �� = ��， ∴ �� = �� = ��， … (1)请根据上述证明思路，补全剩余证明过程； (2)若�� ⊥ ��，�� = 12，求��的长． 第 8页，共 8页 25.(本小题 8 分)如图 1，▵���是等腰直角三角形，∠��� = 90∘, �� = ��，先将边��沿过点�的直线�对折 得到��，连接��，然后以��为边在左侧作▵���，其中∠��� = 90∘，�� = ��，��与��交于点�，连接��， ��． (1)求证：△ ��� ≌△ ���； (2)如图 2，当点�在△ ���的 斜边��上时，请直接写出用��, ��表示��的关系式； (3)如图 3，当点�在△ ���的内部时，若点�为��的中点，且△ ���的面积为 10，求△ ���的面积． 26.(本小题 8 分)已知，▵���为等腰三角形，�� = ��，点�是边��上一点(不与端点重合)，作直线��， 点�关于直线��的对称点为点�，连接��，直线��与��交于点�． (1)如图 1，求证：∠��� = ∠���； (2)如图 2，若▵���为等边三角形，点�在��边上，且�� = ��，连接��交��于点�，求证：�� = ��； (3)如图 3，若∠� = 90 ∘，点�是射线��上一点(不与点�，�重合)，其余条件不变，过点�作�� ⊥ ��于点�， 连接��，猜想线段��，��，��之间的数量关系，并说明理由．(注：有一个角为 45 ∘的直角三角形是等腰 直角三角形)