第14章 全等三角形 单元过关检测卷 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第14章 全等三角形 单元过关检测卷 （考试时间为100分钟，满分为150分） 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各选项中的两个图形属于全等形的是(    ) A. B. C. D. 2.如图所示，将沿对折，点与点重合，则全等的三角形有  (    ) A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 3.如图，已知，延长交于点，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.如图，，给出下列条件：，，，，从中添加一个条件后，能证明≌的是(    ) A. B. C. D. 5.小丽与爸妈在公园里荡秋千如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她已知妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是(    ) A. B. C. D. 第2题 第3题 第4题 第5题 6.如图，在中，，，平分交于点，于点若，则的周长为  (    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是  (    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，点，，分别在，，上，且，若，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 9.如图，点，分别是，平分线上的点，于点，于点，于点，则以下结论错误的是(    ) A. B. C. 与互余的角有个 D. 点是的中点 第6题 第7题 第8题 第9题 10.如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点，连接，，则下列结论： ；；；；． 其中正确的个数是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共30分。 11.已知图中的两个三角形全等，则的度数是          ． 12.如图，，若，，则的长为          ． 第11题 第12题 13.已知有两个三角形全等，若其中一个三角形的三边长分别为，，，另一个三角形的三边长分别为，，，则          ． 14.如图，，，则只要添加条件：          ，就能直接利用“”判定． 15.如图，，点，在直线上，点，在直线上，，点在上，连接，，，，，则的长为          ． 16.如图，在中，是的平分线，于点，于点，，，则的长为          ． 17.如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接，，若，则的长为          ． 第14题 第15题 第16题 第17题 18.如图，在中，平分，且，若为延长线上的一点，并且，过作，垂足为下列结论：；；；，其中正确的是          只填序号 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图是一款特色三角形置物架，图是其设计图，点，，，在同一条直线上，已知，，，求证：． 20.本小题分如图，在中，是的中点，，，垂足分别为，，求证：是的角平分线． 21.本小题分如图，在四边形中，点，分别在，上，连接，，已知，． 判断和的位置关系，并说明理由； 若，求的度数． 22.本小题分如图，，连接，点，分别在，上，连接，，已知，，点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点移动，同时点从点出发，沿线段向点移动，设运动时间为秒，当和全等时，求点的速度和运动时间． 23.本小题分倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． 如图，在中，，中线，求的取值范围方法一：延长到使，连接；方法二：过点作的平行线交的延长线于请你从以上两种方法中选一种方法证明≌，并直接写出的取值范围； 如图，在四边形中，，、分别在、上，且，，为的中点，求证：． 24.本小题分【问题引出】如图，在的两边分别截取，再分别过点，作，的垂线，交于点，作射线，则平分． 【问题探究】小颖得到启示，如图，将两块相同的三角尺较短的直角边分别与的两边重合，且两个三角尺的斜边也重合，两个三角尺较长的直角边相交于点，则射线即为的平分线． 请你根据小颖的作法，说明射线即为的平分线的理由； 【问题拓展】小宇用直尺按下面的方法作角平分线．如图，在两边上，分别截取，点，不重合，连接，交于点，作射线，则平分． 请你判断小宇的结论是否正确，并说明理由． 25.本小题分 如图，在四边形中，，分别在，上，连接，，已知，． 如图，当和都是直角时，延长至点，连接，使得，试判断线段，和之间的数量关系，并证明； 如图，若将中条件改为和均不为直角，且时，中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 26.本小题分 问题探索 如图，在中，，点在线段上运动，以为一边，在的右侧作，使，，过，两点作直线． 直接写出           ，的最小值为          ； 请说明； 直接写出的度数，并求出的值． 拓展延伸如图，改变“问题探索”中“”这一条件，其它条件不变．设，，则，之间有怎样的数量关系？直接写出结论． 在的条件下，继续改变“问题探索”中“点在线段上运动”这一条件为“点在直线上运动”，则与有何数量关系？请直接写出所有可能的结论． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14章 全等三角形 单元过关检测卷 （考试时间为100分钟，满分为150分） 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各选项中的两个图形属于全等形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】只有选项中的两个图形的形状、大小都相同，是全等形． 2.如图所示，将沿对折，点与点重合，则全等的三角形有  (    ) A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 【答案】C  【解析】解：将沿对折，点与点重合，则全等的三角形有≌，≌，≌， 故选：． 根据全等三角形的判定解答即可． 此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定方法：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 3.如图，已知，延长交于点，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】因为≌，所以，因为，所以，所以． 4.如图，，给出下列条件：，，，，从中添加一个条件后，能证明≌的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由判定≌，故符合题意； 由得到，由判定≌，故符合题意； 由判≌，故符合题意； 由判定≌，故符合题意． 能证明≌的是． 故选：． 由全等三角形的判定方法，即可判断． 本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、． 5.小丽与爸妈在公园里荡秋千如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她已知妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：， ， 由题意可知，，，，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 即小丽距离地面的高度是， 故选：． 证明≌，得，，即可解决问题． 本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 6.如图，在中，，，平分交于点，于点若，则的周长为  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 7.如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】如图，过点作于点，  根据题意得，是的平分线，，，，，，故选 B． 8.如图，在中，，点，，分别在，，上，且，若，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 9.如图，点，分别是，平分线上的点，于点，于点，于点，则以下结论错误的是(    ) A. B. C. 与互余的角有个 D. 点是的中点 【答案】C  【解析】解：点，分别是，平分线上的点，于点，于点，于点， ，， ， ，故A选项结论正确； 在和中， ， ， ，， 同理可得，， ，故B选项结论正确； 与互余的角有，，，共个，故C选项结论错误； ， 点是的中点，故D选项结论正确． 故选：． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，同理可得，，然后求出，然后对各选项分析判断即可得解． 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 10.如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点，连接，，则下列结论： ；；；；． 其中正确的个数是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】先证明，进而依据“”判定和全等得，，由此可对结论进行判断； 设与交于点，与交于点，根据三角形内角和定理得，由此可对结论进行判断； 根据，得，由此可对结论进行判断； 过点作交的延长线于点，证明和全等得，进而再证明和全等得；由此可对结论进行判断； 由和全等得，进而得，再由和全等得，由此可对结论进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ，， 故结论正确； 设与交于点，与交于点，如图所示： 在中，， 在中，， ，，， ， ， 故结论正确； ， ， 在中，是边上的高， ， ， 故结论正确； 过点作交的延长线于点，如图所示： ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ； 故结论正确； ， ， ， ， ， ， ， 故结论正确， 综上所述：正确的结论是，共个， 故选：． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.已知图中的两个三角形全等，则的度数是          ． 【答案】  【解析】略 12.如图，，若，，则的长为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可． 【解答】 解：≌， ， ． 故答案为． 13.已知有两个三角形全等，若其中一个三角形的三边长分别为，，，另一个三角形的三边长分别为，，，则          ． 【答案】或  【解析】略 14.如图，，，则只要添加条件：          ，就能直接利用“”判定． 【答案】  【解析】略 15.如图，，点，在直线上，点，在直线上，，点在上，连接，，，，，则的长为          ． 【答案】  【解析】略 16.如图，在中，是的平分线，于点，于点，，，则的长为          ． 【答案】  【解析】略 17.如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接，，若，则的长为          ． 【答案】  【解析】略 18.如图，在中，平分，且，若为延长线上的一点，并且，过作，垂足为下列结论：；；；，其中正确的是          只填序号 【答案】  【解析】根据题意得到，，进而证明即可判断；根据题意得到和不全等，得到，即可判断；根据等边对等角和三角形内角和定理即可判断；如图所示，过点作交延长线于点，证明出，得到，然后证明出，得到，进而即可判断． 【详解】平分， ， ， ， ， ，故正确； ，，，， 和不全等， ，故错误； ， ， ， ， ，故正确； 如图所示，过点作交延长线于点，    平分，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，故正确． 综上所述，其中正确的是． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图是一款特色三角形置物架，图是其设计图，点，，，在同一条直线上，已知，，，求证：． 【答案】证明：，， ，，即， 在和中， ，，．   【解析】略 20.本小题分 如图，在中，是的中点，，，垂足分别为，，求证：是的角平分线． 【答案】证明：，， ． 是的中点， ． 在和中， ≌． ． 是的角平分线．   【解析】见答案 21.本小题分 如图，在四边形中，点，分别在，上，连接，，已知，． 判断和的位置关系，并说明理由； 若，求的度数． 【答案】(1)解：FE// CD．理由如下： ∵△ABE△FBE，∠A=90°，∴∠BFE=∠A=90°， 又∵∠C=90°，∴∠C=∠BFE，∴FE// CD；   (2)由（1）可知FE// CD，∴∠AEF=∠D=140°， ∵△ABE△FBE， ∴．   【解析】 略  略 22.本小题分 如图，，连接，点，分别在，上，连接，，已知，，点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点移动，同时点从点出发，沿线段向点移动，设运动时间为秒，当和全等时，求点的速度和运动时间． 【答案】解：根据题意，得，， 设点的速度为每秒个单位长度，则， ，， 分情况讨论： 如解图，当时，，， ，，解得，； 如解图，当时，，， ，，解得，． 综上所述，当和全等时，点以每秒个单位长度的速度运动秒，或以每秒个单位长度的速度运动秒．   【解析】略 23.本小题分 倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． 如图，在中，，中线，求的取值范围方法一：延长到使，连接；方法二：过点作的平行线交的延长线于请你从以上两种方法中选一种方法证明≌，并直接写出的取值范围； 如图，在四边形中，，、分别在、上，且，，为的中点，求证：． 【答案】证明见解答过程．  【解析】方法一：延长到使，连接，如图所示： 是的中线， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ， 在中，由三角形三边之间的关系得：， ， 即， ， 的取值范围是：； 方法二：过点作的平行线交的延长线于，如图所示： ，， 是的中线， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ， 在中，由三角形三边之间的关系得：， ， 即， ， 的取值范围是：； 证明：延长到，使，连接，，，如图所示： 点为的中点， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 在四边形中，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ， ． 方法一：延长到使，连接，根据三角形中线的定义得，进而依据“”判定和全等得，根据得，然后根据三角形三边之间的关系得，则，由此可得的取值范围； 方法二：过点作的平行线交的延长线于，则，，进而依据“”判定和全等得，同方法一可得的取值范围； 延长到，使，连接，，，先依据“”判定和全等得，，进而得，则，根据四边形内角和定理得，及得，由此依据“”判定和全等得，然后根据等腰三角形的性质即可得出结论． 此题主要考查了三角形的中线，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，理解三角形的中线，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 24.本小题分 【问题引出】如图，在的两边分别截取，再分别过点，作，的垂线，交于点，作射线，则平分． 【问题探究】小颖得到启示，如图，将两块相同的三角尺较短的直角边分别与的两边重合，且两个三角尺的斜边也重合，两个三角尺较长的直角边相交于点，则射线即为的平分线． 请你根据小颖的作法，说明射线即为的平分线的理由； 【问题拓展】小宇用直尺按下面的方法作角平分线．如图，在两边上，分别截取，点，不重合，连接，交于点，作射线，则平分． 请你判断小宇的结论是否正确，并说明理由． 【答案】(1)解：由题意可知∠GEO=∠FDO=90°， 在△EGO和△DFO中， ∴△EGO△DFO（AAS），∴OE=OD， ∴射线AO即为∠CAB的平分线；   (2)小宇的结论正确．理由如下： 在△ADG和△AEF中， ∴△ADG△AEF（SAS）， ∴∠EGO=∠DFO， ∵AE=AD，AG=AF，∴EG=DF， 在△EGO和△DFO中， ∴△EGO△DFO（AAS），∴GO=FO， 在△GAO和△FAO中， ∴△GAO△FAO（SAS）， ∴∠GAO=∠FAO，∴AO平分∠CAB．   【解析】 略  略 25.本小题分 如图，在四边形中，，分别在，上，连接，，已知，． 如图，当和都是直角时，延长至点，连接，使得，试判断线段，和之间的数量关系，并证明； 如图，若将中条件改为和均不为直角，且时，中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)解：EF=DF+BE． 证明如下：∵∠B和∠ADC都是直角，点G在CD延长线上，∴∠B=∠ADG=90°， 在Rt△ABE和Rt△ADG中，∴ Rt△ABE Rt△ADG（HL）， ∴BE=DG，∠BAE=∠DAG，又∵∠BAE+∠DAF=∠EAF，∴∠DAG+∠DAF=∠GAF=∠EAF， 在△EAF和△GAF中，∴△EAF△GAF（SAS）， ∴EF=GF=DF+DG=DF+BE，故线段DF，BE和EF之间的数量关系为EF=DF+BE；   (2)成立． 证明如下：如解图，延长CD至点G，使DG=BE，连接AG，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中， ∴△ABE△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，与（1）同理得∠EAF=∠GAF， 在△EAF和△GAF中，∴△EAF△GAF（SAS），∴EF=GF， ∵BE=DG，∴EF=GF=DF+DG=DF+BE，故（1）的结论成立仍然成立．   【解析】 略  略 26.本小题分 问题探索 如图，在中，，点在线段上运动，以为一边，在的右侧作，使，，过，两点作直线． 直接写出           ，的最小值为          ； 请说明； 直接写出的度数，并求出的值． 拓展延伸如图，改变“问题探索”中“”这一条件，其它条件不变．设，，则，之间有怎样的数量关系？直接写出结论． 在的条件下，继续改变“问题探索”中“点在线段上运动”这一条件为“点在直线上运动”，则与有何数量关系？请直接写出所有可能的结论． 【答案】(1)  ;​​​​​​​  (2)证明，， ， 即， ；   (3)解：， ， ， ， ， ；   (4)解：，， ， 即， ； ， ， ，即， ，， ；   (5)解：当点在线段上时，由（4）知，， ， ； 当点在线段延长线上时， ，， ， 即， ； ， ； 当点在线段延长线上时， ​​​​​​​，， ， 即， ； ， ； 综上所述，或或．   【解析】  本题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理， 根据等腰三角形性质及三角形内角和定理求出，当点在线段中点处时，则，此时值最小求出即可； 【详解】解：在中，， ， 点在线段上运动， 当点在线段中点处时，则，此时值最小， 在中，， 当点在线段中点处时，最小值为； 故答案为：，；   证明即可证明结论；   根据全等三角形性质得出，即可得出结论；   证明，得出，根据求出结论；   分三种情况：当点在线段上时或当点在线段延长线上时或当点在线段延长线上时，分别根据全等三角形判定与性质求出结论． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 7页 第 14 章 全等三角形 单元过关检测卷 （考试时间为 100 分钟，满分为 150 分） 一、选择题：本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各选项中的两个图形属于全等形的是( ) A. B. C. D. 2.如图所示，将△ ���沿��对折，点�与点�重合，则全等的三角形有 ( ) A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 3.如图，已知△ ��� ≌△ ���，延长��交��于点�，若∠��� = 70°，则∠���的度数为( ) A. 110° B. 125° C. 130° D. 145° 4.如图，∠��� = ∠���，给出下列条件：①�� = ��，②�� = ��，③∠� = ∠�，④∠��� = ∠���，从中 添加一个条件后，能证明△ ���≌△ ���的是( ) A.①②③④ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 5.小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置�处，��与地面垂直，两脚在地面上用力一 蹬，妈妈在距地面 1�高的�处接住她后用力一推，爸爸在�处接住她.已知妈妈与爸爸到��的水平距离��， ��分别为 1.3�和 1.8�，∠��� = 90°，爸爸在�处接住小丽时，小丽距离地面的高度是( ) A. 1� B. 1.3� C. 1.5� D. 1.8� 第 2 题 第 3 题 第 4 题 第 5 题 6.如图，在△ ���中，∠� = 90°，�� = ��，��平分∠���交��于点�，�� ⊥ ��于点�.若�� = 12，则△ ��� 的周长为 ( ) A. 10 B. 12 C. 14 D. 24 7.如图，在�� △ ���中，∠� = 90°，以点�为圆心，适当长为半径作弧，分别交��，��于点�，�，再分别 以点�，�为圆心，以大于12��的长为半径作弧，两弧交于点�，作射线��交��于点�，若�� = 12，�� = 3， 第 2页，共 7页 则△ ���的面积是 ( ) A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 8.如图，在△ ���中，∠� = ∠�，点�，�，�分别在��，��，��上，且�� = ��，�� = ��.若∠��� = 40°， 则∠�的度数为 ( ) A. 140° B. 90° C. 100° D. 110° 9.如图，点�，�分别是∠���，∠���平分线上的点，�� ⊥ ��于点�，�� ⊥ ��于点�，�� ⊥ ��于点�， 则以下结论错误的是( ) A. �� + �� = �� B. ∠��� = 90° C. 与∠���互余的角有 2个 D. 点�是��的中点 第 6 题 第 7 题 第 8 题 第 9 题 10.如图，在▵���中，��是��边上的高，∠��� = ∠��� = 90 ∘，�� = ��，�� = ��，连接��，交�� 的延长线于点�，连接��，��，则下列结论： ①�� = ��；②�� ⊥ ��；③∠��� = ∠���；④�� = ��；⑤�▵��� = �▵���． 其中正确的个数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 30 分。 11.已知图中的两个三角形全等，则∠�的度数是 ． 12.如图，△ ��� ≌△ ���，若�� = 7，�� = 5，则��的长为 ． 第 11 题 第 12 题 13.已知有两个三角形全等，若其中一个三角形的三边长分别为 3，5，7，另一个三角形的三边长分别为 3， 3� − 2�，� + 2�，则� + � = ． 第 3页，共 7页 14.如图，�� = ��，∠� = ∠�，则只要添加条件： ，就能直接利用“���”判定△ ��� ≌△ ���． 15.如图，�//�，点�，�在直线�上，点�，�在直线�上，�� ⊥ �，点�在��上，连接��，��，�� + �� = 9， �� = ��，�� = ��，则��的长为 ． 16.如图，在△ ���中，��是∠���的平分线，�� ⊥ ��于点�，�� ⊥ ��于点�，� △ ��� = 45，�� = 6， 则��的长为 ． 17.如图，在�� △ ���中，∠� = 90°，��平分∠���交��于点�，�� ⊥ ��于点�，�是线段��上一点，连接 ��，�� = ��，若�� + �� = 12，则��的长为 ． 第 14 题 第 15 题 第 16 题 第 17 题 18.如图，在▵���中，��平分∠���，且∠��� = ∠���，若�为��延长线上的 一点，并且�� = ��，过�作�� ⊥ ��，垂足为�.下列结论：①▵��� ≌ ▵���； ②�� = ��；③∠��� = ∠���；④�� + 2�� = ��，其中正确的是 . (只填 序号) 三、解答题：本题共 8 小题，共 90 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题 8分) 如图①是一款特色三角形置物架，图②是其设计图，点�，�，�，�在同一条直线上，已知��//��，∠� = ∠�， �� = ��，求证：��//��． 第 4页，共 7页 20.(本小题 8分)如图，在△ ���中，�是��的中点，�� ⊥ ��，�� ⊥ ��，垂足分别为�，�，�� = ��.求 证：��是△ ���的角平分线． 21.(本小题 8分)如图，在四边形����中，点�，�分别在��，��上，连接��，��，已知△ ��� ≌△ ���， ∠� = ∠� = 90°． (1)判断��和��的位置关系，并说明理由； (2)若∠� = 140°，求∠���的度数． 22.(本小题 8分)如图，��//��，连接��，点�，�分别在��，��上，连接��，��，已知�� = �� = 12， �� = 16，点�从点�出发，沿线段��以每秒 4个单位长度的速度向点�移动，同时点�从点�出发，沿线段�� 向点�移动，设运动时间为�秒(0 < � ≤ 4)，当△ ���和△ ���全等时，求点�的速度和运动时间． 第 5页，共 7页 23.(本小题 8分)倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． 如图 1，在△ ���中，�� = 5，中线�� = 7，求��的取值范围.方法一：延长��到�使�� = ��，连接��； 方法二：过点�作��的平行线交��的延长线于�.请你从以上两种方法中选一种方法证明△ ���≌△ ���，并 直接写出��的取值范围； (2)如图 2，在四边形����中，∠��� + ∠��� = 180°，�、�分别在��、��上，且�� = ��，�� = ��，� 为��的中点，求证：�� ⊥ ��． 24.(本小题 8分)【问题引出】如图①，在∠���的两边分别截取�� = ��，再分别过点�，�作��，��的 垂线��，��交于点�，作射线��，则��平分∠���． (1)【问题探究】小颖得到启示，如图②，将两块相同的三角尺较短的直角边分别与∠���的两边重合，且 两个三角尺的斜边也重合，两个三角尺较长的直角边相交于点�，则射线��即为∠���的平分线． 请你根据小颖的作法，说明射线��即为∠���的平分线的理由； 第 6页，共 7页 (2)【问题拓展】小宇用直尺按下面的方法作角平分线．如图③，在∠���两边上，分别截取�� = ��， �� = ��(点�，�不重合)，连接��，��交于点�，作射线��，则��平分∠���． 请你判断小宇的结论是否正确，并说明理由． 25.(本小题 8分) 如图，在四边形����中，�，�分别在��，��上，连接��，��，��.已知�� = ��，∠��� + ∠��� = ∠���． (1)如图①，当∠�和∠���都是直角时，延长��至点�，连接��，使得�� = ��，试判断线段��，��和�� 之间的数量关系，并证明； (2)如图②，若将(1)中条件改为∠�和∠�均不为直角，且∠� + ∠� = 180°时，(1)中的结论是否仍然成立？ 若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 第 7页，共 7页 26.(本小题 8分) 问题探索 如图 1，在▵���中，�� = ��, ∠��� = 90 ∘, �� = 6��，点�在线段��上运动，以��为一边，在��的右侧 作▵���，使�� = ��，∠��� = ∠���，过�，�两点作直线��． (1)直接写出∠��� = °，��的最小值为 ��； (2)请说明▵��� ≌ ▵���； (3)直接写出∠���的度数，并求出�� + ��的值． (4)拓展延伸如图 2，改变“问题探索”中“∠��� = 90 ∘”这一条件，其它条件不变．设∠��� = � 0 ∘ < � < 180 ∘ ，∠��� = �，则�，�之间有怎样的数量关系？直接写出结论． (5)在(4)的条件下，继续改变“问题探索”中“点�在线段��上运动”这一条件为“点�在直线��上运动”， 则��与��有何数量关系？请直接写出所有可能的结论．