精品解析：辽宁省鞍山市第五十一中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

辽宁省鞍山市第五十一中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”，数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 100 200 300 500 1500 3000 落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 1503 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计随机投放一个点落在“心形线”内部的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，⊙中，点为弦中点，连接，，，点是上任意一点，则度数为（ ） A. B. C. D. 5. 摩拜共享单车计划2023年第三季度（8月，9月，10月）连续3个月对成都投放新型摩拜单车，计划8月投放3000台，第三季度共投放12000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形的顶点在轴上，点的坐标为．固定边，向左“推”矩形，使点落在轴的点的位置，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. “明天降雨的概率是”表示明天有的时间都在降雨 B. “打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件 C. “彩票中奖的概率为”情况下买了一张彩票就能中奖是不可能事件 D. “抛一枚正方体骰子，朝上点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为”这一事件发生的频率稳定在附近 8. 如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交于点A，B，且A，P，B三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数y1＝﹣x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能为（　　） A. B. C. D. 10. 用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，正确的作法有（　　） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x方程有两个相等实数根，则锐角度数为______． 12. 若一组勾股数其中两个为5和12，则第三个勾股数是______． 13. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为______． 14. 如图所示，中，，是斜边的中点，将绕点按顺时针方向旋转得到，点在的延长线上，若，，则与的面积比为______． 15. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，当时，点P的坐标为 ________________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：． （2）计算：． 17. 在“趣味化学实验室”课上，黄老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立马显现出红色的文字，这是酚酞溶液产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液： （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是 ； （2）张老师从四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 18. 如图，一次函数与反比例函数图像交于点、点，且点的纵坐标为3． （1）填空：一次函数解析式为______，反比例函数解析式为______； （2）结合图形，直接写出时的取值范围； （3）在梯形中，，且下底在轴上，轴于点，和反比例函数的图象交于点，当梯形的面积为12时，求此时点坐标． 19. “滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （参考数据：） 20. 如图，内接于，，连接，点C在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径的长． 21. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件元，在销售过程中发现，每天的销售量件与每件售价元之间存在一次函数关系其中，且为整数当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件；当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件． （1）求与之间的函数关系式； （2）设该商店销售这种消毒用品每天获利元，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 22 综合与实践 【操作与发现】 （1）如图1，矩形中，为边中点，将沿直线翻折得到，点的对应点为，延长，分别交于点，． ①线段和的数量关系为______； 写出图中与相似的三角形：______（写出一个即可）； ②若，，求的长； 【类比探究】 （2）如图2，在（1）中的矩形改为平行四边形，其他条件不变，线段和的数量关系是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，写出线段和的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，平行四边形中，，，为边的中点，将沿直线翻折得到，点的对应点为，延长，分别交于点，，若，直接写出线的长______． 23. 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）①点“纵横值”为_________； ②函数的“最优纵横值”为_________； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横值为7，求h的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省鞍山市第五十一中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考查了一元二次方程的概念．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】A、 ，不是x的一元二次方程，故A选项不正确； B、 ，时，不是x的一元二次方程，故B选项不正确； C、 ，不是x的一元二次方程，故C选项不正确； D、 ，化简得，是x的一元二次方程，故D选项正确． 故选：D． 2. 垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形的概念：如果一个图形绕着一点旋转后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 3. 如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”，数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 100 200 300 500 1500 3000 落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 1503 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计随机投放一个点落在“心形线”内部的概率为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率即可得到答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在附近， ∴估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为， 故选：B． 4. 如图，⊙中，点为弦中点，连接，，，点是上任意一点，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，添加辅助线，构造等腰三角形是解题的关键．在优弧上取点E，连接，可得，结合圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：在优弧上取点E，连接， ∵，点C为弦的中点， ∴， ∴， ， ∵四边形是内接四边形， ∴． 故选：B． 5. 摩拜共享单车计划2023年第三季度（8月，9月，10月）连续3个月对成都投放新型摩拜单车，计划8月投放3000台，第三季度共投放12000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程应用，关键是抓住增长率表示出12月投放台数．根据8月投放台数，列出用增长率表示9月和10月的投放台数，再根据题意列方程即可． 【详解】根据题意，计划9月投放台，计划10月投放台，所以可列方程． 故选：D． 6. 如图，矩形的顶点在轴上，点的坐标为．固定边，向左“推”矩形，使点落在轴的点的位置，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；由矩形的性质得，由题意得，四边形是平行四边形，得，由勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，点B的坐标为， ∴， 由题意得：，四边形是平行四边形， ∴，， ∴点C的对应点的坐标为． 故选：D． 7. 下列说法正确的是（ ） A. “明天降雨的概率是”表示明天有的时间都在降雨 B. “打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件 C. “彩票中奖的概率为”情况下买了一张彩票就能中奖是不可能事件 D. “抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为”这一事件发生的频率稳定在附近 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率的含义，事件的分类，频率估计概率．概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．据此解答即可． 【详解】解：A、“明天下雨的概率为”指的是明天下雨的可能性是，故原说法错误，不符合题意； B、“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是随机事件，故原说法错误，不符合题意； C、“彩票中奖的概率为”情况下买了一张彩票就能中奖是可能事件，故原说法错误，不符合题意； D、“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为”这一事件发生的频率稳定在附近，原说法正确，符合题意； 故选：D． 8. 如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交于点A，B，且A，P，B三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，，，并延长交于点C，由垂径定理得垂直平分，计算出，计算出的长度，根据勾股定理的逆定理求得，计算出的长度，即可求得阴影部分的周长． 【详解】解：如图所示，连接，，，，并延长交阴影部分的内弧于点D，交外弧于点C， 根据题意可得：，且三点在同一直线上， 垂直平分，， ， ∴， ∵的直径为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴阴影部分的周长为 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理的逆定理，弧长公式，熟练掌握垂径定理，添加适当的辅助线是解题的关键． 9. 如图，一次函数y1＝﹣x与二次函数y2＝ax2+bx+c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据题意分别得出a、b、c的正负性，然后进行判定． 详解：根据题意可得：a＞0，b＞0，c＞0， 两个函数有两个交点， ∴函数y=ax2+（b+1）x+c与x轴有两个交点， ∴函数图像的开口向上，对称轴在左侧，与y轴交于正半轴，与x轴有两个交点， ∴选B． 点睛：本题主要考查的是二次函数的图像与性质，属于基础题型．得出a、b、c的正负性是解题的关键． 10. 用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，正确的作法有（　　） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【分析】根据过直线外一点做已知直线的垂线作图即可求解； 【详解】（1）根据垂径定理作图的方法可知： CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，故作法正确； （2）根据直径所对圆周角是直角的方法可知： CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，故作法正确； （3）根据相交两圆的公共弦的性质可知： CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，故作法正确； （4）无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，故作法不正确； 综上所述：正确的作法有3种． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图的基本知识，准确掌握垂线的作图技巧是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x方程有两个相等实数根，则锐角度数为______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，从而可求出α的余弦值，然后根据特殊角的三角函数值确定α的度数． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的定义是解题的关键． 设第三个数为，分两种情况，分别根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设第三个数为， 分两种情况： ①为最大数时，， 解得：（不是整数，舍去）； ②为最大数时，， 解得：（负值已舍去）； 综上所述，第三个勾股数是． 故答案为： ． 13. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．由题意得，，然后由即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 14. 如图所示，中，，是斜边的中点，将绕点按顺时针方向旋转得到，点在的延长线上，若，，则与的面积比为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，利用面积法求的长是解决本题的关键． 过点作于点，根据勾股定理可得的长，根据直角三角形的性质可得的长，根据，可得的长，根据勾股定理可得的长，根据旋转的性质进一步可得的长，即可判断出面积比． 【详解】过点作于点，如图所示： ，，， ∴， ∵是斜边的中点， ∴，， ， 即 解得 在中 根据勾股定理，， 根据旋转的性质，可得， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵与的高为， ∴与的面积比为． 故答案为． 15. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，当时，点P的坐标为 ________________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】分别求出点A，B，C的坐标，进而求出直线的解析式，作轴于点E，交于点G，设，则，再表示，然后根据， 得出关于t的关系式求出解即可． 【详解】令，则， 解得，， ∴，． 令，则， ∴． 设直线的解析式为， 将和代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点P作轴于点E，交于点G， 设，则， ∴． ∵， ∴， 即， 解得：，， ∴点P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，解一元二次方程，求三角形的面积等，将三角形的面积适当的分割是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：． （2）计算：． 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程的求根公式，先确定系数，计算判别式判断根的情况，再代入公式求解； （2）分别根据特殊三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的化简规则，逐步计算． 【详解】解：（1）∵，，，， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． （2） 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式、特殊三角函数值、零指数幂（任何非零数的次幂为 ）、负整数指数幂（ ）以及二次根式的运算，熟练掌握这些知识的运算法则是解题的关键． 17. 在“趣味化学实验室”课上，黄老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立马显现出红色的文字，这是酚酞溶液产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液： （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是 ； （2）张老师从四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式求概率． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及混合后的溶液变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种， ∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是； 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下， 共有12种等可能结果，其中混合后的溶液变红色的结果有：，共2种， ∴混合后的溶液变红色的概率为． 18. 如图，一次函数与反比例函数图像交于点、点，且点的纵坐标为3． （1）填空：一次函数解析式为______，反比例函数解析式为______； （2）结合图形，直接写出时的取值范围； （3）在梯形中，，且下底在轴上，轴于点，和反比例函数的图象交于点，当梯形的面积为12时，求此时点坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）根据图象即可求得； （3）设点的坐标为，则，，即可得出，，，根据梯形面积即可求得m的值，从而求得M点的坐标． 【小问1详解】 将代入得， 解得 ∴反比例函数 将代入得， 解得 ∴ 将，代入 得， 解得 ∴一次函数； 【小问2详解】 由图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方 ∴时的取值范围是或； 【小问3详解】 设点坐标为． ∵轴于， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， 解得， ∴点的坐标为． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积等，表示出点的坐标是解题的关键． 19. “滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （参考数据：） 【答案】调整后的滑梯会多占的一段地面 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点E作于H，则四边形是矩形，可得，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：调整后的滑梯会多占的一段地面． 20. 如图，内接于，，连接，点C在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）过作于，根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角函数的定义得到，设，交于，求得，根据勾股定理得到，设，得到，从而可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：过作于， ， ， ， ， ， 设，交于， ， ， ， ， ， ，， ， 设， ， ， ， 半径的长为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 21. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件元，在销售过程中发现，每天的销售量件与每件售价元之间存在一次函数关系其中，且为整数当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件；当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件． （1）求与之间的函数关系式； （2）设该商店销售这种消毒用品每天获利元，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）每件消毒用品的售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】根据给定的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式； 利用销售该消毒用品每天的销售利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 设每天的销售量件与每件售价元函数关系式为：， 由题意可知：， 解得：， 与之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 ， ，且为整数， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为． 答：每件消毒用品的售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系列出函数关系式． 22. 综合与实践 【操作与发现】 （1）如图1，矩形中，为边中点，将沿直线翻折得到，点的对应点为，延长，分别交于点，． ①线段和的数量关系为______； 写出图中与相似的三角形：______（写出一个即可）； ②若，，求的长； 【类比探究】 （2）如图2，在（1）中的矩形改为平行四边形，其他条件不变，线段和的数量关系是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，写出线段和的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，平行四边形中，，，为边的中点，将沿直线翻折得到，点的对应点为，延长，分别交于点，，若，直接写出线的长______． 【答案】（1）①；或；②；（2）线段和的数量关系仍然成立，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）①连接，由矩形的性质可得，，由折叠的性质可得，，证明，即可得出；再由相似三角形的判定定理证明即可得解；②由矩形的性质可得，，，，由折叠的性质可得，，由勾股定理可得，再由相似三角形的性质计算即可得解； （2）延长、交于点，连接，由平行四边形的性质可得，从而可得，证明，得出，由折叠的性质可得，，进而推出，，由等角对等边可得，即可得解； （3）由平行四边形的性质可得，，，，由折叠的性质可得，，证明，设，则由（2）可得，求出，，，作于，则，求出，则，，表示出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）①如图，连接， ， ∵矩形中，为边中点， ∴，， ∵将沿直线翻折得到，点的对应点为， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴图中与相似的三角形有或； ②矩形中，为边中点，， ∴，，，， ∵将沿直线翻折得到，点的对应点为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由①可得：， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； （2）线段和的数量关系仍然成立，理由如下： 如图，延长、交于点，连接， ， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵为边中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折得到，点的对应点为， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）∵四边形为平行四边形，，，为边的中点， ∴，，，， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则由（2）可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，作于， ， 则， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）①点的“纵横值”为_________； ②函数的“最优纵横值”为_________； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横值为7，求h的值． 【答案】（1）①8；② （2）4 （3）当或时，二次函数的最优纵横值为7 【解析】 【分析】（1）①根据“纵横值”的概念解答即可； ②根据“纵横值”的概念表示出函数图象上所有点的“纵横值”，再结合反比例函数的性质即可求解； （2）根据二次函数的顶点在直线上，解出，再结合“纵横值”的概念表示出函数图象上所有点的“纵横值”，根据最优纵横值为5，即可解答； （3）根据的顶点在直线上，得出，表示出图象上所有点的“纵横值”，确定出对称轴为直线．分为当时，即时，此时当时，值为7；当时，即时，此时当时，值为7；当时，即，分别解答即可． 【小问1详解】 ①点的“纵横值”为； ②函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 当时，的最大值为， 所以函数的“最优纵横值”为． 【小问2详解】 ∵二次函数的顶点在直线上， ， ， ， ， ， ∵最优纵横值为5， ， ； 【小问3详解】 ∵的顶点为， ∵顶点在直线上， ∴， ， 令， 对称轴为直线． 当时，即时， 此时当时，值7， ， ∴(不合题意，舍去)． 当时，即时， 此时当时，值为7， ， ∴(不合题意，舍去)． 当时，即， ， 此时最优纵横值不等于7，不合题意． ∴当或时，二次函数的最优纵横值为7． 【点睛】该题是自定义类函数综合题，主要考查了反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，读懂题意． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $