精品解析：甘肃省武威市凉州区武威第八中学2024-2025学年八年级下学期开学考试数学试题

武威八中2025年春学期八年级开校考试试卷 数学 满分120分，考试时间120分钟 一、单选题 1. 2024年2月17日晚，第十四届全国冬季运动会开幕式在呼伦贝尔冰上运动训练中心的速滑馆举行．下列与冬季运动会相关的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 2. 要使的结果不含x的一次项，则m的值等于（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用多项式乘积中的不含问题求字母的值．首先将展开，然后根据题意得到求解即可． 【详解】解： ， ∵计算结果不含x的一次项， ∴， 解得． 故选：A． 3. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由作图可得，，，，从而利用即可证明，从而得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得，，，， ∴， ∴判定的依据是， 故选：A． 4. 生活中的椅子一般依据人体工学原理设计，如图为生活中一把椅子的侧面图，从人体脊柱的形势而言，当靠背角度时，能产生较为接近自然腰部的形状，此时最舒适．已知与地面平行，支撑杆与地面夹角，则制作时用螺丝固定时支撑杆和需构成夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，先由平角求出的度数，再由平行线的性质求出的度数，最后根据三角形的内角和定理求出的度数．解题的关键是熟练运用平行线的性质及三角形的内角和定理． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：B． 5. 化简的结果为（ ） A. B. C. 9 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故选：A． 6. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A. 十边形 B. 九边形 C. 八边形 D. 七边形 【答案】B 【解析】 【分析】设这个多边形是n边形，就可以列出方程，即可解得n的值． 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意得：， 解得， 则这个多边形是九边形． 故选：B 【点睛】本题考查了多边形内角和定理，熟练掌握n边形的内角和可以表示成是解答本题的关键． 7. 要使分式的值扩大4倍，、的取值可以如何变化（ ） A. 的值不变，的值扩大4倍 B. 的值不变，的值扩大4倍 C. 、的值都扩大4倍 D. 、的值都扩大2倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，根据分式的基本性质逐项判断即可，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 8. 如图所示，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是(　　) A. (2，－3) B. (2，3) C. (3，2) D. (3，－2) 【答案】C 【解析】 【详解】∵点A坐标为（0，a）， ∴点A在该平面直角坐标系的y轴上， ∵点C、D的坐标为（b，m），（c，m）， ∴点C、D关于y轴对称， ∵正五边形ABCDE是轴对称图形， ∴该平面直角坐标系经过点A的y轴是正五边形ABCDE的一条对称轴， ∴点B、E也关于y轴对称， ∵点B的坐标为（﹣3，2）， ∴点E的坐标为（3，2）， 故选C.. 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的点坐标特征及正五边形的轴对称性质，解题的关键是通过顶点坐标确认正五边形的一条对称轴即为平面直角坐标系的y轴． 9. 如图，在等边中，D，E分别是，的中点，且点P是线段上的一个动点，当的周长最小时，P点的位置在（ ） A. A点处 B. D点处 C. 的中点处 D. 三条高的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、最短路径问题，解答关键找到当的周长最小时，P点的位置．连接，根据等边三角形的性质得到垂直平分，进而得到当点B、P、E共线时的周长最小，即可得到P点的位置为等边三角形高线的交点． 【详解】解：连接， ∵在等边中，D是的中点， ∴，，即垂直平分， ∴， ∴的周长为， ∵E是的中点， ∴当点B、P、E共线时，的周长最小，此时， ∵三角形的三条高线交于一点，且点P在线段上， ∴P点的位置在在三条高的交点处， 故选：D 10. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，属于“和谐分式”的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意中“和谐分式”的定义判断即可． 【详解】解：A、，故A为“和谐分式”； B、，原式的分子与分母都不能因式分解，故B不是“和谐分式”； C、，故C不是“和谐分式”； D、，故D不是“和谐分式”； 故选：A． 【点睛】本题主要考查约分，根据题意正确理解“和谐分式”的定义是解题的关键． 二、填空题 11. 当________时， 分式 的值为0． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式值为零的条件，掌握分式值为零（即分子为零且分母不为零）的条件是解题关键． 直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：由题意，得：，且， 解得， 故答案为：． 12. 每立方厘米的空气质量约为g，用小数把它表示为________g． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法，可得原数． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学计数法，小数表示的科学计数法的指数是负几，小数点向左移动几个单位． 13. 如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，则AB﹣AC___PB﹣PC（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】在AB上取AE＝AC，然后证明△AEP和△ACP全等，根据全等三角形对应边相等得到PC＝PE，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可． 【详解】证明：如图，在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE， 在△AEP和△ACP中， ， ∴△AEP≌△ACP（SAS）， ∴PE＝PC，, 在△PBE中，BE＞PB−PE，即AB−AC＞PB−PC, 故答案为：＞． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，涉及到全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质以及三角形的三边关系，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 14. 有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边C处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的▇填上适当的数字为：____． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出斜边AC的长，比较即可得到结果． 【详解】， 米， 答：标牌的▇处应填6． 考点：本题考查的是勾股定理的应用 【点睛】此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力，同时也增强了学生们要爱护草地的意识． 15. 如图，中，，平分，交于点，，，则的长为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积．过点D作，交于点E，再根据角平分线的性质定理得出，然后根据求出，即可得出答案． 【详解】解：过点D作，交于点E， 平分，， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3． 16. 观察等式：；；，……，若，则用含a的式子表示的和是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，积的乘方等知识，由等式：；；，……，得出规律：，那么，将规律代入计算即可． 【详解】∵； ； ， ……， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴原式=． 故答案为：． 三、解答题 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算；关键是准确掌握各基本概念的运算规则是解题的关键． （）根据实数的混合运算，负整数指数幂，绝对值的化简(正数、负数绝对值的性质)，去绝对值化简得；负整数指数幂转化为正指数幂倒数得；因为，立方根结果为；非零数的零次幂为1；再进行加减计算即可． （）先进行平方差公式和多项式除以单项式的运算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 18. 按要求作答． （1）分解因式：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）； （2）分式方程无解． 【解析】 【分析】此题考查因式分解，解分式方程，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）首先提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）去分母转化成整式方程求解，最后要检验． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：，即， 方程两边都乘以，得， ， ， 检验：当时，， 所以是增根， 即分式方程无解． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入计算即可． 【详解】 ． 当时，原式 20. 如图，在中，． （1）利用尺规作图作的垂直平分线，垂足为，交于点，延长至点，使； （2）若，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）依据线段垂直平分线的作法和作一条线段等于已知线段的作法画出图形即可； （2）连接，根据线段垂直平分线的性质求解即可． 【小问1详解】 ①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点， ②作直线，垂足为，交于点， ③以点为圆心，的长为半径作弧，交的延长线于点． 如图即为所作． 【小问2详解】 由（1）得的垂直平分线交于点， 连接， ∴， ∴的周长为： ， ∵，， ∴， ∴的周长为． 21. 如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据线段的和差求出，根据平行线的性质求出，利用即可证明． 【详解】略 22. 如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发． (1)经过多少秒，△BMN为等边三角形； (2)经过多少秒，△BMN为直角三角形． 【答案】(1) 出发10s后，△BMN为等边三角形；(2)出发6s或15s后，△BMN为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）设时间为x，表示出AM=x、BN=2x、BM=30－x，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得； （2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=BM列方程求解可得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=BN列方程求解可得． 【详解】解　(1)设经过x秒，△BMN为等边三角形， 则AM＝x，BN＝2x， ∴BM＝AB－AM＝30－x， 根据题意得30－x＝2x， 解得x＝10， 答：经过10秒，△BMN为等边三角形； (2)经过x秒，△BMN是直角三角形， ①当∠BNM＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BMN＝30°， ∴BN＝BM，即2x＝(30－x)， 解得x＝6； ②当∠BMN＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BNM＝30°， ∴BM＝BN，即30－x＝×2x， 解得x＝15， 答：经过6秒或15秒，△BMN是直角三角形． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定、直角三角形的性质及一元一次方程的应用，根据题意分类讨论且掌握直角三角形的性质是解题的关键． 23. 如图，一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D=90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的点处，AE是折痕． （1）猜想与DC的位置关系，并说明理由； （2）如果∠C=140°，求∠AEB的度数． 【答案】（1）B′E∥DC，理由见解析 （2）70° 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得∠AB′E =∠B=90°，再由∠D=90°，可得∠AB′E =∠D ，即可求解；∠BE B′=∠C=140°， （2）由（1）得，B′E∥DC，可得∠BEB′=∠C=140°，再由折叠的性质可得∠AEB=∠AE B′，即可求解． 【小问1详解】 解：B′E∥DC，理由如下： 由题意得：∠AB′E =∠B=90°， 又∵∠D=90°， ∴∠AB′E =∠D ， ∴B′E∥DC； 【小问2详解】 解：由（1）得，B′E∥DC， ∴∠BEB′=∠C=140°， 又由题意得，∠AEB=∠AEB′， ∴∠AEB=∠BE=×140°=70°． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质和判定，熟练掌握折叠的性质，平行线的性质和判定是解题的关键． 24. 2023年全国教育工作会议的一大亮点，就是“要把开展读书活动作为一件大事来抓，引导学生爱读书、读好书、善读书”．为了更好的落实会议精神，某学校购进A、B两种图书，花费分别是1100元和500元．已知A图书的订购单价是B图书订购单价的2倍，并且订购A图书的数量比B图书的数量多5本．求A、B两种图书的单价分别是多少元？ 【答案】A、B两种图书的单价分别是20元、10元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程；设B图书的订购单价为x元/本，则A图书的订购单价为2x元/本，根据购进A、B两种图书，花费分别是1100元和500元，订购A图书的数量比B图书的数量多5本，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设B图书的订购单价为x元/本，则A图书的订购单价为2x元/本， 依题意，得： ， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 当时，（元）． 答：A、B两种图书的单价分别是20元、10元． 25. 两个边长分别为a和b的正方形如图1放置，其未叠合部分（阴影）面积为，若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．    （1）用含a，b的代数式分别表示； （2）若，求的值； （3）当时，求出图3中阴影部分的面积． 【答案】（1）， ； （2）210； （3）32． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示、； （2）根据，将代入进行计算即可； （3）根据，，即可得到阴影部分的面积． 【小问1详解】 解：由图可得，， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：由图可得，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，根据图形之间的面积关系进行推导计算是解决问题的关键． 26. 【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图1，请写出的取值范围是 ； （2）如图2，已知中，平分，且，求证：． 【答案】（1）； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形三边关系，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由三角形三边关系可得出答案； （2）延长到点E，使，连接，证明，得出，，证出，则可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：如图，延长到点E，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武威八中2025年春学期八年级开校考试试卷 数学 满分120分，考试时间120分钟 一、单选题 1. 2024年2月17日晚，第十四届全国冬季运动会开幕式在呼伦贝尔冰上运动训练中心的速滑馆举行．下列与冬季运动会相关的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使的结果不含x的一次项，则m的值等于（ ） A. 1 B. 0 C. D. 3. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 生活中的椅子一般依据人体工学原理设计，如图为生活中一把椅子的侧面图，从人体脊柱的形势而言，当靠背角度时，能产生较为接近自然腰部的形状，此时最舒适．已知与地面平行，支撑杆与地面夹角，则制作时用螺丝固定时支撑杆和需构成夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 化简的结果为（ ） A. B. C. 9 D. 6 6. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A. 十边形 B. 九边形 C. 八边形 D. 七边形 7. 要使分式的值扩大4倍，、的取值可以如何变化（ ） A. 的值不变，的值扩大4倍 B. 的值不变，的值扩大4倍 C. 、的值都扩大4倍 D. 、的值都扩大2倍 8. 如图所示，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是(　　) A. (2，－3) B. (2，3) C. (3，2) D. (3，－2) 9. 如图，在等边中，D，E分别是，的中点，且点P是线段上的一个动点，当的周长最小时，P点的位置在（ ） A. A点处 B. D点处 C. 的中点处 D. 三条高的交点处 10. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，属于“和谐分式”的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题 11. 当________时， 分式 的值为0． 12. 每立方厘米的空气质量约为g，用小数把它表示为________g． 13. 如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，则AB﹣AC___PB﹣PC（填“＞”“＜”或“＝”） 14. 有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边C处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的▇填上适当的数字为：____． 15. 如图，中，，平分，交于点，，，则的长为_________． 16. 观察等式：；；，……，若，则用含a的式子表示的和是________． 三、解答题 17. 计算 （1）； （2）． 18. 按要求作答． （1）分解因式：； （2）解分式方程：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在中，． （1）利用尺规作图作的垂直平分线，垂足为，交于点，延长至点，使； （2）若，求的周长． 21. 如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：． 22. 如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发． (1)经过多少秒，△BMN为等边三角形； (2)经过多少秒，△BMN为直角三角形． 23. 如图，一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D=90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的点处，AE是折痕． （1）猜想与DC的位置关系，并说明理由； （2）如果∠C=140°，求∠AEB的度数． 24. 2023年全国教育工作会议的一大亮点，就是“要把开展读书活动作为一件大事来抓，引导学生爱读书、读好书、善读书”．为了更好的落实会议精神，某学校购进A、B两种图书，花费分别是1100元和500元．已知A图书的订购单价是B图书订购单价的2倍，并且订购A图书的数量比B图书的数量多5本．求A、B两种图书的单价分别是多少元？ 25. 两个边长分别为a和b的正方形如图1放置，其未叠合部分（阴影）面积为，若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．    （1）用含a，b的代数式分别表示； （2）若，求的值； （3）当时，求出图3中阴影部分的面积． 26. 【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图1，请写出的取值范围是 ； （2）如图2，已知中，平分，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $