第14章 全等三角形单元检测B--2025-2026学年沪科版数学八年级上册

第14章 全等三角形单元检测B 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.根据下列条件能画出唯一确定的△ABC的是（　　） A．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° B．AB＝3，BC＝4，AC＝8 C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70° 【解答】解：A、满足SSA，不能唯一确定三角形，本选项不符合题意； B、3+4＜8，不满足三边关系，不能唯一确定三角形，本选项不符合题意； C、满足角边角，能唯一确定三角形．本选项符合题意， D、角角角，不能确定唯一三角形．本选项不符合题意． 故选：C． 2.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD， 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法． 故选：C． 3.如图，若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（　　） A．10cm B．8cm C．7cm D．5cm 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴EF＝BC＝8cm，即x＝8cm； 故选：B． 4.如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．30° 【解答】解：在△BDE与△CFD中， ， ∴△BDE≌△CFD（SAS）； ∴∠BDE＝∠CFD， ∴∠EDF＝180°﹣（∠BDE+∠CDF）＝180°﹣（∠CFD+∠CDF）＝180°﹣（180°﹣∠C）＝50°； 故选：B． 5.如图，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝62°，∠BDE＝75°，则∠AFD的度数等于（　　） A．30° B．32° C．33° D．35° 【解答】解：在△BDE和△BCA中， ， ∴△BDE≌△BCA（SAS）， ∴∠BDE＝∠CBA＝75°， ∴∠C＝62°， ∴∠A＝180°﹣75°﹣62°＝43°， ∴∠AFD＝∠BDE﹣∠A＝75°﹣43°＝32°． 故选：B． 6.王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离DE是（　　） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； ∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm， ∴DE＝DC+CE＝20（cm）， 故选：C． 7.如图，点E、F在直线AC上，AE＝CF，AD＝BC，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件，给出下列条件：①∠A＝∠C；②BE＝DF；③BE∥DF；④AD∥BC，其中符合要求的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【解答】解：∵AE＝CF， ∴AF＝CE， ∵AD＝BC， ∴添加条件∠A＝∠C，由SAS判定△ADF≌△CBE， 故①符合题意； 添加条件BE＝DF，由SSS判定△ADF≌△CBE， 故②符合题意； ∵BE∥DF， ∴CEB＝∠AFD， ∵∠CEB，∠AFD分别是BC，AD的对角， ∴不能判定△ADF≌△CBE， 故③不符合题意； ∵AD∥BC， ∴∠A＝∠C， ∴由SAS判定△ADF≌△CBE， 故④符合题意． ∴其中符合要求的是①②④． 故选：D． 8.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E在边AB上，DE＝CD，DF⊥AC于点F，BE＝CF．若AB＝12，BD＝4，△ABC的面积是54，则线段AC的长为（　　） A．13 B．15 C．16 D．18 【解答】解：∵DF⊥AC，∠B＝90°， ∴∠CFD＝∠B＝90°， 在Rt△BDE≌Rt△FDC中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL）， ∴BD＝DF， ∵BD＝4， ∴DF＝BD＝4， ∵， ∴， 解得：AC＝15， 故选：B． 9.如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，AC，BD交于点M，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：AC＝BD；结论Ⅱ：∠CMD＞∠COD A．Ⅰ对，Ⅱ错 B．Ⅰ错，Ⅱ对 C．1，Ⅱ都对 D．Ⅰ，Ⅱ都错 【解答】解：∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD， ∴∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC＝BD，故结论Ⅰ正确； ∵△AOC≌△BOD， ∴∠OCA＝∠MDO， ∴∠MDC＝∠MDO+∠ODC， ∴∠OCD＝∠OCA+∠MCD， ∵∠COD＝180°﹣（∠OCD+∠ODC），∠CMD＝180°﹣（∠MDC+∠MCD）， ∴∠CMD＝180°﹣（∠MDO+∠ODC+∠MCD），∠COD＝180°﹣（∠OCE+∠MCD+∠ODC）， ∴∠CMD＝∠COD，故结论Ⅱ错误． 故选：A． 10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE＝∠CAD，连接DE，下列结论中正确的有（　　） ①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE． A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④ 【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M， ∵∠ABC＝90°， ∴AB⊥GE， ∴AB垂直平分GE， ∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE∠DAC， ∵∠BAE∠GAE， ∴∠GAE＝∠CAD， ∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC， ∴∠GAC＝∠EAD， 在△GAC与△EAD中， ， ∴△GAC≌△EAD（SAS）， ∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE， ∴②是正确的； ∵AG＝AE， ∴∠G＝∠AEG＝∠AED， ∴AE平分∠BED， 当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE， 当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE， ∴①是不正确的； 设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x， ∴∠ACD＝∠ADC90°﹣x， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x， ∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°， ∴AE⊥AD， ∴③是正确的； ∵△GAC≌△EAD， ∴CG＝DE， ∵CG＝CE+GE＝CE+2BE， ∴DE＝CE+2BE， ∴④是正确的， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、4，若这两个三角形全等，则x+y＝　　 ． 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴x＝4，y＝5， ∴x+y＝4+5＝9． 故答案为：9． 12.如图所示，在边长为1的正方形网格图中，点A、B、C、D均在正方形网格格点上．图中∠B+∠D＝ 　　 °． 【解答】解：如图，在△ABC和△DAE中， ， ∴△ABC≌△DAE（SAS）， ∴∠B＝∠DAE， ∵∠DCE＝∠DAE+∠ADC＝45°， ∴∠B+∠ADC＝45°， 故答案为：45． 13.如图，CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝16，CF＝8，连接DF，则图中阴影部分面积为 　　 ． 【解答】解：∵CB⊥AD，AE⊥CD， ∴∠ABF＝∠CBD＝90°，∠FEC＝90°， ∵∠AFB＝∠EFC， ∴∠A＝∠C， 在△ABF和△CBD中， ， ∴△ABF≌△CBD（ASA）， ∴BF＝BD， ∵BF＝BC﹣CF＝16﹣8＝8， ∴BD＝8， ∴图中阴影部分面积•FC•BD8×8＝32． 故答案为：32． 14.如图，动点C与线段AB构成△ABC，其边长满足AB＝9，CA＝2a+2，CB＝2a﹣3．点D在∠ACB的平分线上，且∠ADC＝90°，则a的取值范围是 　 　 ，△ABD的面积的最大值为 　 　 ． 【解答】解：△ABC的三边：AB＝9，CA＝2a+2，CB＝2a﹣3，满足三角形三边关系定理， ∴， 不等式①②显然成立， 由③得：a＞2.5； 延长AD交CB延长线于M，过M作MH⊥AB交AB延长线于H， ∵CD平分∠ACB， ∴∠MCD＝∠ACD， ∵∠ADC＝90°， ∴∠CDM＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ADC＝∠MDC， ∵CD＝CD，∠MCD＝∠ACD， ∴△ACD≌△MCD（ASA）， ∴AD＝MD，CM＝AC＝2a+2， ∴BM＝CM﹣BC＝5， ∵S△ABDS△ABM， ∴当△ABM的面积最大时，△ABD的面积最大， ∵△ABM的面积AB•MH，AB＝9，MH≤MB＝5， ∴△ABD面积的最大值9×5． 故答案为：a＞2.5，． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，∠D＝30°，∠C＝65°． （1）∠EBD的度数为 　 　 ； （2）求∠DBC的度数． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB， ∴∠EBD＝∠C＝65°， 故答案为：65°． （2）∵△ABC≌△DEB， ∴∠A＝∠D＝30°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣30°﹣65°＝85°， ∵∠EBD＝65°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠EBD＝85°﹣65°＝20°． 16.在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AD上一点，连接CE，CE＝AB，ED＝BD． （1）求证：△ABD≌△CED； （2）若∠ACE＝22°，则∠B的度数为 　 　 ． 【解答】证明：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠CDE＝90°， 在Rt△ADB与Rt△CDE中， ， ∴Rt△ADB≌Rt△CDE（HL）； （2）∵Rt△ADB≌Rt△CDE， ∴AD＝CD， ∴△ADC是等腰直角三角形， ∴∠ACD＝45°， ∴∠ECD＝∠ACD﹣∠ACE＝45°﹣22°＝23°， ∴∠CED＝90°﹣23°＝67°， ∴∠B＝∠CED＝67°， 故答案为：67°． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE，AD＝DE，∠1＝∠2． （1）求证：△ABD≌△DCE； （2）若AE＝2，BD＝3，求CD的长． 【解答】（1）证明：AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 又∵∠1＝∠2，AD＝DE， ∴△ABD≌△DCE（AAS）； （2）解：∵△ABD≌△DCE， ∴CE＝BD＝3，AB＝DC， ∵AE＝2， ∴AC＝CE+AE＝3+2＝5， ∵AB＝AC， ∴AB＝5， ∴CD＝5． 18.如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF． （1）求证：AC∥DF； （2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数． 【解答】证明：（1）∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ACB＝∠F， ∴AC∥DF； （2）解：由（1）得∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F， ∴∠DEF＝∠B＝65°，∠ACB＝∠F＝35°， 在△EOC中，∠DEF+∠ACB+∠EOC＝180°， ∴∠EOC＝180°﹣∠DEF﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣35°＝80°． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC． （1）求证：AE＝AD； （2）若BD＝8，DC＝5，求ED的长． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD， ∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC， 即：∠BAE＝∠CAD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（ASA）， ∴AE＝AD； （2）解：∵△ABE≌△ACD， ∴BE＝CD， ∵BD＝8，DC＝5， ∴ED＝BD﹣BE＝BD﹣CD＝8﹣5＝3． 20.如图，点B，C分别在射线AM，AN上，点E，F都在∠MAN内部的射线AD上，已知AB＝AC，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC． （1）求证：△ABE≌△CAF； （2）试判断EF，BE，CF之间的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF， ∴∠ABE＝∠CAF， 同理：∠BAE＝∠ACF， 在△ABE和△CAF中， ， ∴△ABE≌△CAF（ASA）； （2）EF+CF＝BE，理由如下： ∵△ABE≌△CAF， ∴AE＝CF，BE＝AF， ∵AE+EF＝AF， ∴CF+EF＝BE． 六、（本题满分12分） 21.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△DAE≌△CFE； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 【解答】证明：（1）△DAE≌△CFE理由如下： ∵AD∥BC（已知）， ∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等）， ∵E是CD的中点（已知）， ∴DE＝EC（中点的定义）． ∵在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）； （2）由（1）知△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF，AD＝CF， ∵AB＝BC+AD， ∴AB＝BC+CF， 即AB＝BF，在△ABE与△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（SSS）， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， ∴BE⊥AE； 七、（本题满分12分） 22.如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P； （1）求证：AD＝BE； （2）试说明AD平分∠BAE； （3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由． 【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°， ∴∠CBA＝∠CAB， ∴BC＝CA， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴AD＝BE． （2）∵△BCE≌△ACD， ∴∠EBC＝∠DAC， ∵∠BDP＝∠ADC， ∴∠BPD＝∠DCA＝90°， ∵AB＝AE， ∴AD平分∠BAE． （3）AD⊥BE不发生变化． 如图2， ∵△BCE≌△ACD， ∴∠EBC＝∠DAC， ∵∠BFP＝∠AFC， ∴∠BPF＝∠ACF＝90°， ∴AD⊥BE． 八、（本题满分14分） 23.问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　 　 ； 探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 【解答】解：问题背景：由题意：△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF， ∴BE＝DG，EF＝GF， ∴EF＝FG＝DF+DG＝BE+FD． 故答案为：EF＝BE+FD． 探索延伸：EF＝BE+FD仍然成立． 理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADG， 又∵AB＝AD， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， 又∵∠EAF∠BAD， ∴∠FAG＝∠FAD+∠DAG＝∠FAD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF， ＝∠BAD∠BAD∠BAD， ∴∠EAF＝∠GAF． 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， 又∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+FD． 实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C， 在四边形AOBC中， ∵∠AOB＝30°+90°+20°＝140°，∠FOE＝70°∠AOB， 又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝60°+120°＝180°，符合探索延伸中的条件， ∴结论EF＝AE+FB成立． 即，EF＝AE+FB＝2×（70+90）＝320（海里） 答：此时两舰艇之间的距离为320海里． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14章 全等三角形单元检测B 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.根据下列条件能画出唯一确定的△ABC的是（　　） A．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° B．AB＝3，BC＝4，AC＝8 C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70° 2.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 3.如图，若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（　　） A．10cm B．8cm C．7cm D．5cm 4.如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．30° 5.如图，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝62°，∠BDE＝75°，则∠AFD的度数等于（　　） A．30° B．32° C．33° D．35° 6.王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离DE是（　　） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 7.如图，点E、F在直线AC上，AE＝CF，AD＝BC，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件，给出下列条件：①∠A＝∠C；②BE＝DF；③BE∥DF；④AD∥BC，其中符合要求的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 8.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E在边AB上，DE＝CD，DF⊥AC于点F，BE＝CF．若AB＝12，BD＝4，△ABC的面积是54，则线段AC的长为（　　） A．13 B．15 C．16 D．18 9.如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，AC，BD交于点M，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：AC＝BD；结论Ⅱ：∠CMD＞∠COD A．Ⅰ对，Ⅱ错 B．Ⅰ错，Ⅱ对 C．1，Ⅱ都对 D．Ⅰ，Ⅱ都错 10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE＝∠CAD，连接DE，下列结论中正确的有（　　） ①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE． A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、4，若这两个三角形全等，则x+y＝　　 ． 12.如图所示，在边长为1的正方形网格图中，点A、B、C、D均在正方形网格格点上．图中∠B+∠D＝ 　　 °． 13.如图，CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝16，CF＝8，连接DF，则图中阴影部分面积为 　　 ． 14.如图，动点C与线段AB构成△ABC，其边长满足AB＝9，CA＝2a+2，CB＝2a﹣3．点D在∠ACB的平分线上，且∠ADC＝90°，则a的取值范围是 　 　 ，△ABD的面积的最大值为 　 　 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，∠D＝30°，∠C＝65°． （1）∠EBD的度数为 　 　 ； （2）求∠DBC的度数． 16.在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AD上一点，连接CE，CE＝AB，ED＝BD． （1）求证：△ABD≌△CED； （2）若∠ACE＝22°，则∠B的度数为 　 　 ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE，AD＝DE，∠1＝∠2． （1）求证：△ABD≌△DCE； （2）若AE＝2，BD＝3，求CD的长． 18.如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF． （1）求证：AC∥DF； （2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC． （1）求证：AE＝AD； （2）若BD＝8，DC＝5，求ED的长． 20.如图，点B，C分别在射线AM，AN上，点E，F都在∠MAN内部的射线AD上，已知AB＝AC，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC． （1）求证：△ABE≌△CAF； （2）试判断EF，BE，CF之间的数量关系，并说明理由． 六、（本题满分12分） 21.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△DAE≌△CFE； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 七、（本题满分12分） 22.如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P； （1）求证：AD＝BE； （2）试说明AD平分∠BAE； （3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由． 八、（本题满分14分） 23.问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　 　 ； 探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$