精品解析：山东省东营市利津县东津实验中学（五四制）2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题

九年级第二学期第一次阶段性测试 数学试题 一．选择题（分） 1. 的相反数的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 3. 若把分式中x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩为原来的大3倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 4. 下列说法正确的是（ ） A. 单项式系数是 B. 多项式是三次三项式 C. 多项式的次数是2 D. 单项式的次数是1 5. 下列式子为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知＝，＝，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 7. 若等腰三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 9或12 D. 不能确定 8. 如图，学校课外生物小组的试验田的形状是长为、宽为的矩形，为了方便管理，要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小路，小路与试验田的各边垂直或平行，要使种植面积为，则小路的宽为多少米?若设小路的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 现用190张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身，或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个盒子．设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底正好配套，则可列方程组( ) A. B. C. D. 二、填空题（11-14题每题3分，15-18题每题4分共28分） 10. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为________． 11. 若m、n满足，则______．分式有意义，则x的取值范围为______． 12. 若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为________． 13. 实数a，b在数轴上位置如图所示，化简______． 14. 若关于的分式方程有增根，则的值为__________． 15. 若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则m的取值范围是______． 16. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是____________． 17. 关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是________． 18. 将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列： ，2，，； ，，，4； … 若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为________． 三．解答题（62分） 19. （1）计算 ①． ②． （2）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 20. 解方程： （1）． （2） （3） 21. 分解因式： （1） （2） （3） 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根． （2）若此方程恰有一个根为1，求方程的另一个根． 23. 某经销商计划购进，两种农产品．已知购进种农产品2件，种农产品3件，共需690元；购进种农产品1件，种农产品4件，共需720元． （1），两种农产品每件的价格分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过5400元购进，两种农产品共40件，且种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照种每件160元，种每件200元的价格全部售出，那么购进，两种农产品各多少件时获利最多？ 24. 某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个元的价格售出，求商城每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 25. 如图，在中，∠，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动，点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．运动多少时间时，能使的面积为？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第二学期第一次阶段性测试 数学试题 一．选择题（分） 1. 的相反数的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数定义，倒数的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据相反数的定义，倒数的定义作答即可． 【详解】解：的相反数是，的倒数是， ∴的相反数的倒数是， 故选：D 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘、除法则以及完全平方公式和合并同类项等知识，分别计算即可得出答案． 【详解】解：①，错误. ②，正确. ③+2xy,错误. ④，错误. 故选B. 【点睛】此题主要考查了同底数幂乘、除法则以及完全平方公式和合并同类项等，熟练掌握运算法则是解题关键． 3. 若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩为原来的大3倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据和都扩大为原来的3倍再代入化简即可得到答案． 【详解】解：∵和都扩大为原来的3倍， ∴， 故选：C． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 单项式的系数是 B. 多项式是三次三项式 C. 多项式的次数是2 D. 单项式的次数是1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和；多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数．据此求解即可． 【详解】解：A．单项式的系数是，故不正确，不符合题意； B．多项式是三次三项式，正确，符合题意； C．多项式的次数是4，故不正确，不符合题意； D．单项式的次数是0，故不正确，不符合题意； 故选B． 5. 下列式子为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的定义判断即可． 【详解】A．，所以不是最简二次根式，故A错误； B．，所以不是最简二次根式，故B错误； C．，所以不是最简二次根式，故C错误 故选：D． 【点睛】本题主要考查最简二次根式的定义，熟知这个概念是解题的关键． 6. 已知＝，＝，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】逆用同底数幂的除法法则以及幂的乘方法则进行计算，即可解答． 【详解】∵＝，＝， ∴=(3a)2÷3b=36÷4=9， 故选D. 【点睛】本题考查同底数幂的除法法则以及幂的乘方法则，解题的关键是掌握相关法则的逆用. 7. 若等腰三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 9或12 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系． 先求出这个方程的解，再根据等腰三角形及三角形的三边关系即可求出周长． 【详解】解：解方程得， ∵三角形为等腰三角形， ∴三边长为5，5，2或2，2，5（舍去） ∴周长为， 故选B． 8. 如图，学校课外生物小组的试验田的形状是长为、宽为的矩形，为了方便管理，要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小路，小路与试验田的各边垂直或平行，要使种植面积为，则小路的宽为多少米?若设小路的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，根据题意，将图中小路平移，如图所示，得到种植面积为的地方即是图中空白部分，有题中条件得到空白矩形的长与宽，利用矩形面积公式代值即可得到方程，掌握平移方法处理此类问题是解决问题的关键． 【详解】解：将小路平移到边上，如图所示： 图中空白部分即是种植面积为地方，则， 故选：B． 9. 现用190张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身，或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个盒子．设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底正好配套，则可列方程组为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据铁皮数和是190，制作盒身数为8x，盒底数为22y，根据盒身：盒底=1:2，得到8x：22y=1：2即2×8x=22y，列出方程组即可． 【详解】∵ 铁皮数的和是190，制作盒身数为8x，盒底数为22y，根据盒身：盒底=1:2，得到8x：22y=1：2即2×8x=22y， ∴列方程组，得， 故选A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，特别是一个盒身与两个盒底配成一个盒子的意义是解题的关键． 二、填空题（11-14题每题3分，15-18题每题4分共28分） 10. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：3600亿，用科学记数法表示为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 11. 若m、n满足，则______．分式有意义，则x的取值范围为______． 【答案】 ①. 16 ②. 且 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的除法运算，分式和二次根式有意义的条件，直接利用同底数幂的除法运算法则将原式变形，进而计算得出答案．令该分式的分母不为零，二次根式的被开方数非负数，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵分式有意义， ∴，， 解得且． 故答案为：16；且． 12. 若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意得出，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵的整数部分为，小数部分为，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，求得是解题的关键． 13. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案． 【详解】解：由数轴可得：， 则 ∴ = = = =2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键． 14. 若关于的分式方程有增根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x-1）（x+2）=0，得到x=1或-2，然后代入化为整式方程的方程，满足即可． 【详解】方程两边都乘（x-5）， 得2-a=x-5， ∴x=7-a ∵原方程有增根， ∴最简公分母x-5=0， 解得x=5， ∴7-a=5； ∴a=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，难度适中．确定增根可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定可能的增根； ②化分式方程为整式方程； ③把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的值即为分式方程的增根． 15. 若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则m的取值范围是______． 【答案】1≤m＜4 【解析】 【分析】解不等式组得出其解集为﹣2＜x≤，根据不等式组有且只有三个整数解得出1≤＜2，解之可得答案． 【详解】解不等式，得：x＞﹣2， 解不等式2x﹣m≤2﹣x，得：x≤， 则不等式组的解集为﹣2＜x≤， ∵不等式组有且只有三个整数解， ∴1≤＜2， 解得：1≤m＜4， 故答案为：1≤m＜4． 【点睛】本题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法． 16. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是____________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程（是常数且）根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据题意得出，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 解得：且， 故答案为：且 ． 17. 关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，根据方程的解的情况求出参数，先解方程求出方程的解，根据方程的解是正数列不等式求出参数即可得到答案 【详解】解：∵方程的解为，且方程的解是正数， ∴，且， ∴且； 故答案为且． 18. 将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列： ，2，，； ，，，4； … 若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为________． 【答案】 【解析】 【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可． 【详解】数字可以化成： ，，，； ，，，； ∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数， ∵，28是第14个偶数，而 ∴的位置记为 故答案为： 【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键． 三．解答题（62分） 19. （1）计算 ①． ②． （2）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 【答案】（1）①；②2；（2），当时，原式= 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，实数的运算，负整数指数幂的运算，特殊角的三角函数值． （1）①先根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可； ②先根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可； （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再解不等式求出x的值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）① ； ② ； （2） ， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解为， ∴不等式组的整数解为、0、1、2， ∵， ∴， ∴原式． 20. 解方程： （1）． （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】题目主要考查解分式方程、二元一次方程组、一元二次方程，熟练掌握求解方法是解题关键． （1）根据解分式方程的方法步骤求解即可； （2）利用加减消元法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： 去分母得： 移项、合并同类项得： 检验：当时，， ∴分式方程的解为： 【小问2详解】 ， 得：， 解得：， 将代入②得：， ∴方程组的解为：； 【小问3详解】 ， ∴，即， 解得：． 21. 分解因式： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用公式法分解因式，熟练掌握公式是关键 （1）运用平方差公式和完全平方公式分解即可； （2）先用多项式的乘法将式子进行化简后，用完全平方公式分解； （3）先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根． （2）若此方程恰有一个根为1，求方程的另一个根． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查根的判别式和根与系数关系．掌握的正负与一元二次方程之间的关系是解题关键；熟记根与系数关系是解题关键． （1）判断即可证明； （2）设方程的另一个根为x，根据根与系数关系即可得出，解方程组求出另一根． 【小问1详解】 解：∵， ∴方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 设方程的另一个根为x，则 ， 解得， 故该方程的另一个根为3． 23. 某经销商计划购进，两种农产品．已知购进种农产品2件，种农产品3件，共需690元；购进种农产品1件，种农产品4件，共需720元． （1），两种农产品每件的价格分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过5400元购进，两种农产品共40件，且种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照种每件160元，种每件200元的价格全部售出，那么购进，两种农产品各多少件时获利最多？ 【答案】（1）A每件进价120元，B每件进价150元； （2）A农产品进20件，B农产品进20件，最大利润是1800元． 【解析】 【分析】（1）根据“购进种农产品2件，种农产品3件，共需690元；购进种农产品1件，种农产品4件，共需720元”可以列出相应的方程组，从而可以求得A、B两种农产品每件的价格分别是多少元； （2）根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题． 【小问1详解】 设A每件进价x元，B每件进价y元， 由题意得， 解得：， 答：A每件进价120元，B每件进价150元； 【小问2详解】 设A农产品进a件，B农产品（40-a）件，由题意得， 解得， 设利润为y元，则， ∵y随a的增大而减小， ∴当a=20时，y最大， 最大值y=2000-10×20=1800， 答：A农产品进20件，B农产品进20件，最大利润是1800元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 24. 某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个元的价格售出，求商城每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）19元；250元 【解析】 【分析】（1）设商城每次降价百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润=每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据二次函数的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用之平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． 【小问1详解】 解：设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为为． 【小问2详解】 解：设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250（元），此时定价为元． 答：定价为19元，最大利润为250元． 25. 如图，在中，∠，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动，点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．运动多少时间时，能使的面积为？ 【答案】运动秒时，能使的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为t秒，则，由三角形的面积公式结合的面积为，即可得出关于t的一元二次方程，解之取合适的值即可． 【详解】解：设运动时间为t秒，则， 依题意，得：， 解得：， ∵， ∴， ∴． 答：运动秒时，能使的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $