精品解析：江西省南昌市南昌县莲塘第六学校2024-2025学年上学期九年级期末数学试题二（下学期开学考试）

2024—2025学年期末卷（二） 说明： 1．考试范围：第二十一章~第二十七章． 2．考试时间120分钟，满分120分． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. “清明时节雨纷纷”这个事件是（　　） A. 必然事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：“清明时节雨纷纷”这个事件是随机事件， 故选：D． 2. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得出，解关于m的方程，即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时方程有两个相等的实数解，时，无实数解，时，有两个不相等的实数解． 3. 如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．连接，并延长与的延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接，并延长与的延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：D． 4. 如图，在平面直角坐标系中有，，，四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，在第一象限内随的增大而减小，用平滑的曲线连接发现点不在函数的图象上 【详解】解：在第一象限内随的增大而减小，用平滑的曲线连接发现点不在函数的图象上 故选C 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例数图象的性质是解题的关键． 5. 如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，且点在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 是等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角的运用是解题的关键．根据旋转的性质和三角形外角的定义和性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，，． ∵， ∴， ∴，故选项A正确，符合题意； 无法证明，故选项B不正确，不符合题意； ∵， 又∵， ∴，故选项C不正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴是等腰三角形，但无法证明是等边三角形， 故选项D不正确，不符合题意． 故选：A 6. 如图，在中，，点在上，连接，，过点作的延长线于点，当点从点运动到点的过程中，的度数（ ） A. 先增大后减小 B. 先减小后增大 C. 保持不变 D. 一直减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及三角形内角和定理．根据圆内接四边形的性质以及圆周角定理，三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，在优弧上任取一点，连接，， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， 因此的大小不变， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在一个不透明袋子中，装有2个红球和一些白球，这些球除颜色外其他都一样，如果从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，那么白球的个数是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了概率的定义．解题的关键与难点在于理解概率的定义，求出球的总数．随机摸出一个球是红球的概率是，可以得到球的总个数，进而得出白球的个数． 【详解】解：设红、白球总共n个，记摸出一个球是红球为事件A， ， 白球有个 故答案为：． 8. 若两个相似多边形的对应边长分别为和，则它们的面积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的面积的比等于相似比平方是解题的关键． 根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答即可求出结果． 【详解】解：∵两个相似多边形的对应边长分别为和， ∴两个相似多边形的相似比为， ∴它们的面积比为． 故答案为： 9. 小明同学利用如图所示的电路探究电流I与电阻R的关系．已知电源电压保持不变，实验用到的电阻阻值和测得的电流如下表所示： 电阻R（单位：Ω） 5 10 15 20 25 电流I（单位：A） 实验结束后，小明同学发现电流I和电阻R之间是一种数学函数模型，请写出I和R之间函数关系式：______． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题主要考查了实际问题与反比例函数，根据电阻R和电流I的值的乘积为6恒定不变，且当电阻R不断增大时，电流I不断减小，则可以判断R和I符合反比例函数． 【详解】解：根据表格可知：， 即电阻R和电流I的值的乘积为6恒定不变， 且当电阻R不断增大时，电流I不断减小 故电阻R和电流I符合反比例函数． ∴或或 故答案为：或或 10. 如图，是的两条弦，若的半径是6，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 先根据圆周角定理得到，再由弧长公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵ ∴ ∴的长是， 故答案为：． 11. 若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质．由题意可知，根据m的范围即可确定n的范围． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象开口向上，顶点为，对称轴是直线， ∵到y轴的距离小于2， ∴， 而， 当， 当时，， ∴n的取值范围是， 故答案为：． 12. 在中，已知，，，是的中点，是的直角边上的点，若线段把分割为两部分，所得的三角形与相似，则的长是______． 【答案】3或4或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理，分，，，分别利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：∵在中，已知，，， ∴， ∵是的中点， ∴， 当时，如图①，则， ∴，即， ∴，则； 当时，如图②，则， ∴，即， ∴，则； 当，时，如图③则， ∴，即， ∴，则； ∵过点P有且只有一条直线与垂直， ∴当时，点Q不可能在边上， 综上，满足条件的值为3或4或． 故答案为：3或4或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）已知反比例函数的图象经过点，若，是反比例函数图象上的两点，试比较，的大小． 【答案】 ，； 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质． 利用公式法解一元二次方程即可； 利用待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质可知：反比例函数的图象经过二、四象限，且在每个象限内随着的增大而增大，从而可得：． 【详解】解：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，； 解：反比例函数的图象经过点， ， 解得：， 反比例函数的解析式为， 反比例函数的图象经过二、四象限，且在每个象限内随着的增大而增大， ， ． 14. 如图，在中，点D，E，G分别在边上，，线段相交于点F，且．求证：平分． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，角平分线的判定等知识．先利用两角分别对应相等即可证明，得出，再根据两边对应成比例及夹角相等证明，即可求证． 【详解】略 15. 《义务教育劳动课程标准（年版）》要求中学生学会做家务，劳动教育中包含在学校劳动，也包含家庭中的家务劳动，小林家的厨房有三个调料罐，标签已经模糊不清了，分别装有白糖、盐、生粉，由于三种调料都为白色，外观非常接近，小林误认为三罐调料都是食盐，一天，小林独自下厨炒菜． （1）小林在煎鸡蛋的时候，想要放一些盐，从中随机取一个调料罐，加入调料少许，放入调料正确的概率是________； （2）若小林一共烧制煎鸡蛋，炒青菜两道菜，两道菜分别随机取用一次其中的一瓶调料，请用画树状图求两道菜都放入了食盐的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有种等可能的结果，其中两次都用的食盐只有种结果，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 ∵调料罐分别装有白糖、盐、生粉， ∴要放一些盐的概率为：， 故答案为：． 【小问2详解】 画树状图如下： 一共有种等可能结果，其中两次都用的食盐只有种结果， ∴两道菜都放入了食盐的概率为． 【点睛】此题考查了用画树状图法求概率，解题的关键理解树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件． 16. 阅读与思考：小刚在学习了圆这章知识后，在某本课外书上看到还有一个相交弦定理（圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等）．下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等． 已知：如图1， 的两条弦相交于点P． 求证：． 证明：如图1，连接． ，， ∴① ， ② ， ， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等． 任务： （1）请将上述证明过程补充完整． ① ； ② ． （2）小刚又看到一道课后习题：如图2，是的弦，P是上一点，，求的半径． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（）证明即可求证； （）延长交于点，延长交于点，设的半径为，则，，由（）可得，，据此解答即可求解； 本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵，， ∴， ， ∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：延长交于点，延长交于点， 设的半径为，则，， 由（）可得，， ∴， 解得（舍负）， ∴的半径为． 17. 校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是，求该同学此次投掷实心球的成绩？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题． 根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可． 【详解】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离， ∴令，则， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴该同学此次投掷实心球的成绩为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知四边形ABCD内接于⊙O，且已知∠ADC=120°；请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法，写明答案）． （1）在图1中，已知AD=CD，在⊙O上求作一个度数为30°的圆周角； （2）在图2中，已知AD≠CD，在⊙O上求作一个度数为30°的圆周角． 【答案】（1）如图1所示：∠ABD=30°或∠CBD=30°； （2）如图2所示：∠CAE=30°． 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理结合圆内接四边形的性质得出答案； （2）利用圆周角定理得出直径所对圆周角进而得出答案． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了复杂作图以及圆周角定理，正确应用圆周角定理是解题关键． 19. 如如图，在中，，轴，垂足为．反比例函数的图象经过点，交于点．已知，． （1）若，求的值： （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）20 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，得出点坐标即可得出答案； （2）首先表示出，点坐标，进而利用反比例函数图象的性质求出点坐标，然后利用勾股定理即可求得的长． 【小问1详解】 解：作，垂足为， ，， ． 在中，，， ， ， 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， 【小问2详解】 解：如图， 设点的坐标为， ，， ， 由（1）知，， ，两点的坐标分别为：，． 点，都在反比例函数的图象上， ， ， 点的坐标为：， ． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，反比例函数图象的性质，坐标与图形的性质，数形结合是解答本题的关键． 20. 在正方形网格中，每个小正方形的边长为，在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）以点为位似中心，作出的位似图形，使与的位似比为且位于点C两侧，并写出点的坐标； （2）作出绕点逆时针旋转后的图形； （3）在（2）的条件下，求出线段所扫过的面积． 【答案】（1） 解：如图，即为所作，点的坐标为； （2） 如图，为所作； （3） 【解析】 【分析】（1）延长到，使，延长到，使，则可得到，然后写出点的坐标； （2）利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、，然后连接、、，可得； （3）先利用勾股定理计算出，然后根据扇形面积公式计算线段所经过的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，， ∴线段所扫过的面积：． 【点睛】本题考查作图—位似变换，旋转变换，坐标与图形，勾股定理，扇形的面积等知识点．解题的关键是掌握画位似图形的一般步骤：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，以为直径作半圆O，交于点D，E为的中点，连接． （1）求证：是半圆O的切线． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）如图，连接；根据题意结合图形，证明，即可解决问题； （2）首先求出，进而求出的值；运用勾股定理求出的值，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：连接， ∵为的直径， ∴； 又∵点E为的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵点D在半圆O上， ∴是半圆O的切线． 【小问2详解】 解：由（1）知， 又∵ ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，角直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 22. 如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E，若，，． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先证出，再证出，根据相似三角形的性质可得，由此即可得； （2）过点作，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，即点共线，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，最后根据代入计算即可得． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点作，交于点， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， 由（1）已得：，， ∴， ∴点共线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 已知二次函数经过两定点（点在点的左侧），顶点为． （1）求定点的坐标； （2）把二次函数的图象在直线下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原二次函数位于直线上方的部分的组合图象记作图象，求向上翻折部分的函数解析式； （3）在（2）中，已知的面积为8． ①当时，求图象中的取值范围； ②若直线与图象从左到右依次交于四点，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查二次函数与x轴交点坐标，二次函数的图像和性质，翻折的性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）将原函数可化为，令，即可得到定点坐标； （2）根据翻折的性质即可得到解析式； （3）①根据自变量的取值范围，结合图象求出最值即可； ②根据题意确定图象与直线交于点，与直线交于点，然后表示出，，根据题意列方程解题即可． 【小问1详解】 原函数可化为， 可得该函数图象恒过两点，， 故定点为． 【小问2详解】 解：∵直线就是x轴， ∴折叠即为沿x轴向上折叠， ∴解析式为； 【小问3详解】 ①∵ ∴对称轴，代入得 的面积为8， ． ∴图象向上翻折部分的函数解析式为． ，顶点在之间的图象上，该段抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，；当时，的最小值为0． 在图象中，的取值范围为． ②若直线与图象从左到右依次交于四点， ∴图象与直线交于点，可得， ∴ ∵与直线交于点， ∴，则． ， ，即， 两边平方解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年期末卷（二） 说明： 1．考试范围：第二十一章~第二十七章． 2．考试时间120分钟，满分120分． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. “清明时节雨纷纷”这个事件是（　　） A. 必然事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 2. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ） A. 2 B. C. D. 3. 如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中有，，，四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，且点在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 是等边三角形 6. 如图，在中，，点在上，连接，，过点作的延长线于点，当点从点运动到点的过程中，的度数（ ） A. 先增大后减小 B. 先减小后增大 C. 保持不变 D. 一直减小 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在一个不透明袋子中，装有2个红球和一些白球，这些球除颜色外其他都一样，如果从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，那么白球的个数是________． 8. 若两个相似多边形的对应边长分别为和，则它们的面积比为______． 9. 小明同学利用如图所示的电路探究电流I与电阻R的关系．已知电源电压保持不变，实验用到的电阻阻值和测得的电流如下表所示： 电阻R（单位：Ω） 5 10 15 20 25 电流I（单位：A） 实验结束后，小明同学发现电流I和电阻R之间是一种数学函数模型，请写出I和R之间函数关系式：______． 10. 如图，是的两条弦，若的半径是6，，则的长是______． 11. 若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是______． 12. 在中，已知，，，是的中点，是的直角边上的点，若线段把分割为两部分，所得的三角形与相似，则的长是______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）已知反比例函数的图象经过点，若，是反比例函数图象上的两点，试比较，的大小． 14. 如图，在中，点D，E，G分别在边上，，线段相交于点F，且．求证：平分． 15. 《义务教育劳动课程标准（年版）》要求中学生学会做家务，劳动教育中包含在学校劳动，也包含家庭中的家务劳动，小林家的厨房有三个调料罐，标签已经模糊不清了，分别装有白糖、盐、生粉，由于三种调料都为白色，外观非常接近，小林误认为三罐调料都是食盐，一天，小林独自下厨炒菜． （1）小林在煎鸡蛋的时候，想要放一些盐，从中随机取一个调料罐，加入调料少许，放入调料正确的概率是________； （2）若小林一共烧制煎鸡蛋，炒青菜两道菜，两道菜分别随机取用一次其中的一瓶调料，请用画树状图求两道菜都放入了食盐的概率． 16. 阅读与思考：小刚在学习了圆这章知识后，在某本课外书上看到还有一个相交弦定理（圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等）．下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等． 已知：如图1， 的两条弦相交于点P． 求证：． 证明：如图1，连接． ，， ∴① ， ② ， ， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等． 任务： （1）请将上述证明过程补充完整． ① ； ② ． （2）小刚又看到一道课后习题：如图2，是的弦，P是上一点，，求的半径． 17. 校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是，求该同学此次投掷实心球的成绩？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知四边形ABCD内接于⊙O，且已知∠ADC=120°；请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法，写明答案）． （1）在图1中，已知AD=CD，在⊙O上求作一个度数为30°的圆周角； （2）在图2中，已知AD≠CD，在⊙O上求作一个度数为30°的圆周角． 19. 如如图，在中，，轴，垂足为．反比例函数的图象经过点，交于点．已知，． （1）若，求的值： （2）连接，若，求的长． 20. 在正方形网格中，每个小正方形的边长为，在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）以点为位似中心，作出的位似图形，使与的位似比为且位于点C两侧，并写出点的坐标； （2）作出绕点逆时针旋转后的图形； （3）在（2）的条件下，求出线段所扫过的面积． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，以为直径作半圆O，交于点D，E为的中点，连接． （1）求证：是半圆O的切线． （2）若，，求的长． 22. 如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E，若，，． （1）求的长； （2）求的长． 六、解答题（本大题共12分） 23. 已知二次函数经过两定点（点在点的左侧），顶点为． （1）求定点的坐标； （2）把二次函数的图象在直线下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原二次函数位于直线上方的部分的组合图象记作图象，求向上翻折部分的函数解析式； （3）在（2）中，已知的面积为8． ①当时，求图象中的取值范围； ②若直线与图象从左到右依次交于四点，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $