精品解析：广东省湛江市雷州市第八中学2024-2025学年九年级下学期开学数学试题

24-25学年雷州市第八中学九年级第二学期开学考试 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 3.14 D. 2. 某公司运用技术，下载一个的文件大约需要秒，将数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. 正三角形 B. 平行四边形 C. 等腰直角三角形 D. 矩形 4. 由下表估算一元二次方程的一个近似解的范围为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，是的高，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则n的取值可以是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 0 9. 把抛物线先向左平移1个单位，再向上平移个单位后，得抛物线，则的值是（ ） A. -2 B. 2 C. 8 D. 14 10. 如图，矩形的对角线与交于点O，过点O作的垂线交，于E、F两点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 代数式有意义，则实数x的取值范围是_________________． 12. 分解因式：___________． 13. 如图，过反比例函数（）的图象上一点作轴于点，连接，若，则反比例函数的表达式为_________． 14. 如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为__________． 15. 如图，是以原点为圆心，为半径的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则的最小值为______． 三、解答题（7+7+7+9+9+9+13+14） 16. 计算：． 17. 先化简，再代入求值：，其中． 18. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 19. 我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： （1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； （2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数； （3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率． 20. 超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件． （1）请写出与之间的函数表达式； （2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？ 21. 如图，平分，D为的中点，． （1）求证：． （2）若，求的长． 22. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连结AC． （1）求证：AB＝AP； （2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24-25学年雷州市第八中学九年级第二学期开学考试 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 3.14 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数称为无理数，对选项一一进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、是无理数，故符合题意； B、是有理数，故不符合题意； C、3.14是有理数，故不符合题意； D、是有理数，故不符合题意． 故选：A 【点睛】本题考查了无理数的定义，解本题的关键在熟练掌握无理数的定义． 2. 某公司运用技术，下载一个的文件大约需要秒，将数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. 正三角形 B. 平行四边形 C. 等腰直角三角形 D. 矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、正三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选D． 4. 由下表估算一元二次方程的一个近似解的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格中的数据可得出“当时，；当时，．”由此即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴的一个近似解的范围为． 故选：C． 【点睛】本题考查了求一元二次方程的近似根，熟练掌握求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键． 5. 如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的两锐角互余可得答案．掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：A． 6. 在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，分别求出每个方程的解，进行判断即可． 【详解】解：A、， ∴；不符合题意； B、， ∴；符合题意； C、，此方程无解；不符合题意； D、， ∴， ∴；不符合题意； 故选B． 7. 如图，在中，，是的高，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的高，由，得到，由高得到，再根据直角三角形两个锐角互余即可求出，掌握直角三角形两个锐角互余是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则n的取值可以是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的图象位于第一、三象限，可得，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴， ∴n的取值可以是， 故选：C． 9. 把抛物线先向左平移1个单位，再向上平移个单位后，得抛物线，则的值是（ ） A. -2 B. 2 C. 8 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】将改写成顶点式，然后按照题意将进行平移，写出其平移后的解析式，从而求解． 【详解】解： 由题意可知抛物线先向左平移1个单位，再向上平移个单位 ∴ ∴n=2 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的变化确定函数图象的变化可以使求解更加简便． 10. 如图，矩形的对角线与交于点O，过点O作的垂线交，于E、F两点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．先根据矩形的性质，推理得到，再根据求得的长，即可得到的长． 【详解】解：，， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， 又中，， ， ， 故选：D 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 代数式有意义，则实数x的取值范围是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】解：代数式有意义， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 12. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．直接提取公因式分解因式得出答案． 【详解】解： 故答案为：． 13. 如图，过反比例函数（）的图象上一点作轴于点，连接，若，则反比例函数的表达式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据可得出：，因此便可求出的值，得到反比例函数的表达式． 【详解】设，则 ∴ 又∵函数图像在第二象限 ∴ ∴ 故答案为 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形面积为，根据三角形面积的值求出值是解题的关键． 14. 如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为__________． 【答案】9 【解析】 【详解】解：∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4）， ∴D（﹣3，2）， ∵双曲线y=经过点D， ∴k=﹣3×2=﹣6， ∴的面积=|k|=3． 又∵的面积=×6×4=12， ∴的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9． 故答案为：9． 15. 如图，是以原点为圆心，为半径的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作于，连接，先求出点的坐标，在计算出，则，再利用切线的性质可得，由勾股定理可得，于是可得当时，即点运动到点时，最小，最小，然后求出此时的的长度，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作于，连接， ， 在中，当，，则， 当时，，解得：，则， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， 为切线， ， ， ， ， 当最小时，最小， 最小时，最小， 当时，即点运动到点时，最小，最小，此时， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、一次函数的应用、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 三、解答题（7+7+7+9+9+9+13+14） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查乘方，算术平方根，零次幂的运算，掌握实数的混合运算法则是解题的关键． 先算乘方，算术平方根，零次幂的结果，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】解： ． 17. 先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】，在数轴上表示见详解 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集再表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴不等式组的解集为：， 将不等式解集表示在数轴上如图： 19. 我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： （1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； （2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数； （3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率． 【答案】（1）400， 补全条形统计图如下所示： （2）800名 （3） 【解析】 【分析】（1）利用C等级的人数除以其所占的百分比求得样本总数，再利用样本总人数减去其他等级的人数求得D等级的人数，再补全条形统计图即可； （2）利用B等级的人数除以样本总数求得其所占的百分比，再乘除全校人数即可求解； （3）画树状图可得共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由图可得，（名）， ∴D等级的人数为：（名）， 故答案为：400； 【小问2详解】 解：（名）， 答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为800名； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果， ∴甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为． 【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体、用树状图或列表法求概率、概率公式，根据统计图中的信息求得样本总数是解题的关键． 20. 超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件． （1）请写出与之间的函数表达式； （2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？ 【答案】（1）（2）当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元（3）当为20时最大，最大值是2400元 【解析】 【分析】（1）根据题意列函数关系式即可； （2）根据题意列方程即可得到结论； （3）根据题意得到，根据二次函数的性质得到当时，随的增大而增大，于是得到结论． 【详解】（1）根据题意得，； （2）根据题意得，， 解得：，， ∵每件利润不能超过60元， ∴， 答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元； （3）根据题意得，， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，， 答：当为20时最大，最大值是2400元． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键． 21. 如图，平分，D为的中点，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似，进行证明即可； （2）根据相似三角形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连结AC． （1）求证：AB＝AP； （2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长． 【答案】（1）详见解析；（2）PC＝． 【解析】 【分析】(1)利用等角对等边证明即可． (2)利用勾股定理分别求出BD，PB，再利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：(1)证明：∵C为的中点， ∴∠BAC＝∠CAP， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠ACP＝90°， ∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°， ∴∠ABC＝∠P， ∴AB＝AP． (2)解：如图，连接BD． ∵AB是直径， ∴∠ADB＝∠BDP＝90°， ∵AB＝AP＝10，DP＝2， ∴AD＝10﹣2＝8， ∴BD＝， ∴PB＝， ∵AB＝AP，AC⊥BP， ∴BC＝PC＝PB＝， ∴PC＝． 【点睛】主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）最大值为；； （3）或 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）如图，延长交轴于，过作轴于，求解，可得，证明，设，，，再建立二次函数求解即可； （3）由抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可得新的抛物线为：，，如图，当在轴的左侧时，过作轴于，证明，可得，证明，如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，同理可得：，再进一步结合三角函数建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长交轴于，过作轴于， ∵当时， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 设为， ∴，解得：， ∴直线为：， 设， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴ ， 当时，取得最大值，最大值为； 此时； 【小问3详解】 解：∵抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位， ∴新的抛物线为：，， 如图，当在轴的左侧时，过作轴于， ∵， 同理可得：直线为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或（舍去） ∴； 如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于， 同理可得：， 设，则， 同理可得：， ∴或（舍去）， ∴． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $