第23章 旋转 提优检测试卷-2025-2026学年人教版数学九年级上册（章节基础过关卷+单元提优验收卷+重难点易错题突破卷+月考期中期末仿真卷）

第23章旋转提优检测试卷 （时间：90分钟 满分：120分） 1． 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．（2025•龙江县三模）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•三门峡模拟）如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'．当AB′落在AC上时，∠BAC′的度数为（　　） A．35° B．65° C．80° D．70° 3．已知点P（a，b），ab＜0，则点P关于原点对称的点在（　　） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 4．（2024春•晋中期末）电风扇是一种常见的家用电器，可以为人们带来凉爽的风和舒适的感觉．如图是一款五叶电风扇，在其持续运转的过程中，叶片A旋转到叶片B的位置时，旋转的角度可以是（　　） A．60° B．72° C．75° D．108° 5．（2025春•句容市期中）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C'，此时点B'恰在边AC上，若AB＝3，AC′＝7，则B'C的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2020秋•江岸区校级期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是（　　） A． B． C． D． 7．（2023秋•玉州区期中）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，如P（3，30°）或P（3，﹣330°）或 P（3，390°），则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（　　） A．Q（3，210°） B．Q（3，﹣450°） C．Q（3，570°） D．Q（3，﹣150°） 8．（2024春•景德镇期中）如图，左边的阴影三角形以A、B、C、D、E中任一点为旋转中心，在旋转角为90°的情况下，正好通过n次旋转得到右边的阴影三角形，则n的值可以是（　　） A．n＝1、2可以，n＝3不行 B．n＝1、3可以，n＝2不行 C．n＝1、2、3都可以 D．n＝2、3可以，n＝1不行 9．（2024•东方一模）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为（　　） A．2 B． C．1 D． 10．（2023•工业园区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．将△ABC绕点B旋转得△A′BC′，分别取AA′、BC′的中点E、F，则EF的取值范围是（　　） A．1＜EF＜4 B．1≤EF≤4 C． D． 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（2024春•内乡县期末）如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG为△ABC的高，若CE＝5，AG＝2，则S△DEC＝ 　 　 ． 12．（2023秋•中山市期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝64°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为 　 　 ． 13．（2023秋•凉州区月考）若点P（﹣m，3﹣m）关于原点的对称点在第四象限，则m满足　0＜m＜3　 ． 14．（2024春•吉州区期末）如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是 　 ． 15．（2024•上海模拟）如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD＝45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为　 ． 16．（2025•聊城三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，点P为AB上一点，点Q为BC上一点，且BP＝PQ，分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN．若MN恰好经过AB的中点，则PB的长为 　 　 ． 三．解答题（本大题共6小题，共66分） 17．（8分）（2024秋•西湖区校级月考）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数． 18．（10分）（2023秋•日喀则市期末）将两个大小相等的圆部分重合，其中重叠的部分（如图中的阴影部分）我们称之为一个“花瓣”，由一个“花瓣”及圆组成的图形称之为花瓣图形，下面是一些由“花黑”和圆组成的图形． （1）在A、B、C、D、E这5个图形中，是轴对称图形的有 　 　 ，是中心对成图形有 　 　 ． （2）设“花瓣”在圆中是均匀分布的，当花瓣数大于1时，若花瓣的个数是 　 　 ，则花瓣图形既是轴对称图形又是中心对称图形；若花瓣的个数是 　 　 ，则花瓣图形仅是轴对称图形． （3）根据上面的结论，试判断下列花瓣图形是什么对称图形： ①九瓣图形是 　 　 ； ②十二瓣图形是 　 　 ． 19．（12分）（2024秋•思明区校级期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处． （1）请补全图形，并证明：PD＝PB； （2）当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由； （3）探究AQ与OP的数量关系，并说明理由． 20．（12分）（2022秋•柯桥区期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点B（0，4），点A在x轴负半轴上，且∠BAO＝30°，将△AOB绕着O顺时针旋转，得△COD，点A、B旋转后的对应点分别为C，D，记旋转角为α． （1）如图1，CD恰好经过点B时， ①求此时旋转角α的度数； ②求出此时点C的坐标； （2）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AC和直线DB交于点P，猜测AC与DB的位置关系，并说明理由． 21．（12分）（2024春•西安期中）【问题背景】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度α得到△DBE，点A，C的对应点分别是点D，E． 【问题发现】（1）根据题意可知∠DBE＝　 　 °； 【深入探究】（2）如图1，连接AD，当点E恰好在AB上时，求∠ADE的大小； 【拓展延伸】（3）如图2，若α＝60°，点F是AB的中点，连接CE、DF，判断DF和CE是否相等，并证明你的结论． 22．（14分）（2024秋•天山区校级月考）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　 　 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知，如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，直接写出OA+OB+OC的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23章旋转提优检测试卷 （时间：90分钟 满分：120分） 1． 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．（2025•龙江县三模）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 2．（2025•三门峡模拟）如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'．当AB′落在AC上时，∠BAC′的度数为（　　） A．35° B．65° C．80° D．70° 【分析】由∠B＝80°，∠C＝65°，求得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝35°，由旋转得∠B′AC′＝∠BAC＝35°，因为AB′落在AC上，所以∠BAC′＝∠B′AC′+∠BAC＝70°，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵∠B＝80°，∠C＝65°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣80°﹣65°＝35°， 由旋转得∠B′AC′＝∠BAC＝35°， ∵AB′落在AC上， ∴∠BAC′＝∠B′AC′+∠BAC＝35°+35°＝70°， 故选：D． 【点睛】此题重点考查三角形内角和定理、旋转的性质等知识，求得∠B′AC′＝∠BAC＝35°是解题的关键． 3．已知点P（a，b），ab＜0，则点P关于原点对称的点在（　　） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 【分析】首先根据条件ab＜0，可得a、b为异号，即a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，再由a、b的取值情况即可得到点P关于原点对称的点所在的位置． 【详解】解：因为ab＜0，所以a、b为异号，即a＞0，b＜0或a＜0，b＞0． 当a＞0，b＜0时，点P在第四象限，所以点P关于原点对称的点在第二象限； 当a＜0，b＞0时，点P在第二象限，所以点P关于原点对称的点在第四象限． 综上所述，点P关于原点对称的点在第二象限或第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查的是点的坐标，熟知各象限内点的坐标特点是解题的关键． 4．（2024春•晋中期末）电风扇是一种常见的家用电器，可以为人们带来凉爽的风和舒适的感觉．如图是一款五叶电风扇，在其持续运转的过程中，叶片A旋转到叶片B的位置时，旋转的角度可以是（　　） A．60° B．72° C．75° D．108° 【分析】根据周角是360°进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：360°÷5＝72°， ∴叶片A旋转到叶片B的位置时，旋转的角度可以是72°， 故选：B． 【点睛】本题考查了生活中的旋转现象，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．（2025春•句容市期中）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C'，此时点B'恰在边AC上，若AB＝3，AC′＝7，则B'C的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】由旋转的性质得出AB＝AB′＝3，AC＝AC′＝7，再结合B′C＝AC﹣AB′计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：AB＝AB′＝3，AC＝AC′＝7， ∴B′C＝AC﹣AB′＝7﹣3＝4， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 6．（2020秋•江岸区校级期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是（　　） A． B． C． D． 【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质得出CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC∠BAD＝30°，由直角三角形的性质求出OBAB＝1，由直角三角形的性质得出AC＝2，由旋转的性质得出AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，求出CE＝AC﹣AE＝22，证出∠CPE＝90°，由直角三角形的性质得出PE1，PCPE＝3，即可得出结果． 【详解】解：连接BD交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD， ∴OBAB＝1， ∴OAOB， ∴AC＝2， 由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°， ∴CE＝AC﹣AE＝22， ∵四边形AEFG是菱形， ∴EF∥AG， ∴∠CEP＝∠EAG＝60°， ∴∠CEP+∠ACD＝90°， ∴∠CPE＝90°， ∴PECE1，PCPE＝3， ∴DP＝CD﹣PC＝2﹣（3）1． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键． 7．（2023秋•玉州区期中）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，如P（3，30°）或P（3，﹣330°）或 P（3，390°），则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（　　） A．Q（3，210°） B．Q（3，﹣450°） C．Q（3，570°） D．Q（3，﹣150°） 【分析】根据极坐标的定义以及中心对称的性质判断出点Q的坐标，可得结论． 【详解】解：点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标Q（3，210°）或（3，570°）或（3，﹣150°）． 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称，勾股定理，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是理解极坐标的定义，属于中考常考题型． 8．（2024春•景德镇期中）如图，左边的阴影三角形以A、B、C、D、E中任一点为旋转中心，在旋转角为90°的情况下，正好通过n次旋转得到右边的阴影三角形，则n的值可以是（　　） A．n＝1、2可以，n＝3不行 B．n＝1、3可以，n＝2不行 C．n＝1、2、3都可以 D．n＝2、3可以，n＝1不行 【分析】利用旋转变换的性质一一判断即可， 【详解】解：①将左边的阴影三角形绕点E顺时针旋转90°右边的阴影三角形，此时n＝1． ②左边的阴影三角形绕点B顺时针旋转90°，再将得到的三角形绕点E顺时针旋转90°，将得到的三角形绕点C逆时针旋转90°可得右边的阴影三角形，此时n＝3． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 9．（2024•东方一模）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为（　　） A．2 B． C．1 D． 【分析】利用全等三角形的性质得到DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，然后根据题目中的条件，可以得到△EAG≌△EAF，再根据DF＝3，AB＝6和勾股定理，可以求出BE的长，本题得以解决． 【详解】解；∵把△ADF绕A顺时针旋转90°得到△ABG， ∴△ADF≌△ABG， ∴∠ADF＝∠ABG＝∠ABE＝90°， ∴∠ABG+∠ABE＝180°， ∴G、B、E三点共线， ∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG， ∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠DAF+∠EAB＝45°， ∴∠BAG+∠EAB＝45°， ∴∠EAF＝∠EAG， 在△EAG和△EAF中， ， ∴△EAG≌△EAF（SAS）， ∴GE＝FE， 设BE＝x， ∵CD＝6，DF＝3， ∴CF＝3， 则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x， ∴EF＝3+x， ∵∠C＝90°， ∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2， 解得，x＝2， ∴BE的长为2． 故选：A． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 10．（2023•工业园区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．将△ABC绕点B旋转得△A′BC′，分别取AA′、BC′的中点E、F，则EF的取值范围是（　　） A．1＜EF＜4 B．1≤EF≤4 C． D． 【分析】利用勾股定理求出AB的长，在根据旋转的性质可得A'C＝AC＝4，A'B＝AB＝5，BC'＝BC＝3，利用中位线的性质可求，FG＝2，再根据三角形的三边关系即可求出结果． 【详解】解：取A'B的中点G，连接EG、FG， ∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴， 由旋转的性质可知：A'C＝AC＝4，A'B＝AB＝5，BC'＝BC＝3， ∵点E、F、G分别是AA'、BC'、A'B的中点， ∴EG是△A'AB的中位线，FG是Rt△BCA′的中位线， ∴，， 当点E、F、G不共线时，EG﹣FG＜EF＜EG+FG，即， 当点G在线段EF上时，， 当点F在线段EG上时，， 综上所述，， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形中线的性质、三角形三边关系及勾股定理，熟练掌握旋转的性质和三角形中线的性质求出EG、FG的值是解题的关键． 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（2024春•内乡县期末）如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG为△ABC的高，若CE＝5，AG＝2，则S△DEC＝ 　5　 ． 【分析】根据题意，CE＝BC，S△DEC＝S△ABC，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG＝2， ∴CE＝BC，S△DEC＝S△ABC， ∴， ∴S△DEC＝5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了中心对称的性质，三角形面积公式，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 12．（2023秋•中山市期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝64°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为 　52°　 ． 【分析】先根据平行线的性质得∠ACC′＝∠CAB＝64°，再根据旋转的性质得∠CAC′等于旋转角，AC＝AC′，则利用等腰三角形的性质得∠ACC′＝∠AC′C＝64°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠CAC′的度数，从而得到旋转角的度数． 【详解】解：∵CC′∥AB， ∴∠ACC′＝∠CAB＝64° ∵△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置， ∴∠CAC′等于旋转角，AC＝AC′， ∴∠ACC′＝∠AC′C＝64°， ∴∠CAC′＝180°﹣∠ACC′﹣∠AC′C＝180°﹣2×64°＝52°， ∴旋转角为52°． 故答案为：52°． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 13．（2023秋•凉州区月考）若点P（﹣m，3﹣m）关于原点的对称点在第四象限，则m满足　0＜m＜3　 ． 【分析】根据题意判断出点P在第二象限，再根据第二象限内点的坐标特点可得关于m的不等式组，再解不等式组即可． 【详解】解：∵点P（﹣m，3﹣m）关于原点的对称点在第四象限， ∴点P在第二象限， ∴， 解得：0＜m＜3， 故答案为：0＜m＜3． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，以及平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号，关键是掌握四个象限内点的坐标符号． 14．（2024春•吉州区期末）如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是 　　 ． 【分析】利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题． 【详解】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称， ∴△ABC≌△DEC， ∴AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，∠D＝∠BAC＝90°， ∴AD＝2， ∵∠D＝90°， ∴AE2， 故答案为2． 【点睛】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键． 15．（2024•上海模拟）如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD＝45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为　　 ． 【分析】根据旋转得出∠NCE＝75°，求出∠NCO，设OC＝a，则CN＝2a，根据△CMN也是等腰直角三角形设CM＝MN＝x，由勾股定理得出x2+x2＝（2a）2，求出xa，得出CDa，代入求出即可． 【详解】解：∵将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上， ∴∠ECN＝75°， ∵∠ECD＝45°， ∴∠NCO＝180°﹣75°﹣45°＝60°， ∵AO⊥OB， ∴∠AOB＝90°， ∴∠ONC＝30°， 设OC＝a，则CN＝2a， ∵等腰直角三角形DCE旋转到△CMN， ∴△CMN也是等腰直角三角形， 设CM＝MN＝x，则由勾股定理得：x2+x2＝（2a）2， xa， 即CD＝CMa， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，旋转性质，三角形的内角和定理等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但有一定的难度． 16．（2025•聊城三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，点P为AB上一点，点Q为BC上一点，且BP＝PQ，分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN．若MN恰好经过AB的中点，则PB的长为 　2　 ． 【分析】如图，连接MQ．设直线MN交AB于点O．证明△OPQ是等边三角形可得结论． 【详解】解：如图，连接MQ．设直线MN交AB于点O． ∵∠C＝90°，AC＝4，∠B＝30°， ∴AB＝2AC＝8， 由题意OA＝OB＝4， ∵PQ＝PB， ∴∠PQB＝∠B＝30°， ∴∠OPQ＝∠PQB+∠B＝60°， ∵MN垂直平分线段PQ， ∴OQ＝OP， ∴△OPQ是等边三角形， ∴PQ＝OP＝PBOB＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 三．解答题（本大题共6小题，共66分） 17．（8分）（2024秋•西湖区校级月考）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数． 【分析】先根据全等三角形的性质得∠BAC＝∠DAE，由于∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，则可计算出∠BAC＝55°，所以∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，根据三角形外角性质可得∠DFB＝∠BAF+∠B＝90°，∠DGB＝65°． 【详解】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠EAB＝120°， ∴∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°， ∵∠CAD＝10°， ∴∠BAC（120°﹣10°）＝55°， ∴∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°， ∴∠DFB＝∠BAF+∠B＝65°+25°＝90°； ∵∠DFB＝∠D+∠DGB， ∴∠DGB＝90°﹣25°＝65°． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． 18．（10分）（2023秋•日喀则市期末）将两个大小相等的圆部分重合，其中重叠的部分（如图中的阴影部分）我们称之为一个“花瓣”，由一个“花瓣”及圆组成的图形称之为花瓣图形，下面是一些由“花黑”和圆组成的图形． （1）在A、B、C、D、E这5个图形中，是轴对称图形的有 　ABCDE　 ，是中心对成图形有 　ACE　 ． （2）设“花瓣”在圆中是均匀分布的，当花瓣数大于1时，若花瓣的个数是 　偶数　 ，则花瓣图形既是轴对称图形又是中心对称图形；若花瓣的个数是 　奇数　 ，则花瓣图形仅是轴对称图形． （3）根据上面的结论，试判断下列花瓣图形是什么对称图形： ①九瓣图形是 　轴对称图形　 ； ②十二瓣图形是 　中心对称　 ． 【分析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此可回答第一问；对于第二问，通过第一问所填的轴对称图形和中心对称图形，便可发现“花瓣”的个数与其是什么图形的关系，进而根据发现的规律回答第三问． 【详解】解：（1）在A、B、C、D、E这5个图形中，是轴对称图形的有ABCDE，是中心对成图形有ACE； 故答案为：ABCDE ACE； （2）若花瓣的个数是偶数，则花瓣图形既是轴对称图形又是中心对称图形；若花瓣的个数是奇数，则花瓣图形是轴对称图形，不是中心对称图形； 故答案为：偶数，奇数； （3）①九瓣图形是轴对称图形； ②十二瓣图形是中心对称． 故答案为：①轴对称图形； ②中心对称． 【点睛】本题主要属于轴对称图形与中心对称的图形的问题，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键． 19．（12分）（2024秋•思明区校级期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处． （1）请补全图形，并证明：PD＝PB； （2）当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由； （3）探究AQ与OP的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由题意画出图形，根据正方形的性质可得CD＝CB，∠DCA＝∠BCA＝45°，利用SAS证明△DCP≌△BCP即可证得结论； （2）过点P作PM⊥AB于M，作PN⊥AD于N，可证得四边形AMPN是正方形，再利用HL证明Rt△DPN≌Rt△QPM，可得∠DPN＝∠QPM，再利用角的关系即可证得结论； （3）先得出△BEF是等腰直角三角形，BEEF，再证得四边形EFOP是矩形，得出EF＝OP，即可求得答案 【详解】解：（1）图形如下， 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA＝45°， ∵CP＝CP， ∴△DCP≌△BCP（SAS）， ∴PD＝PB； （2）∠DPQ的大小不发生变化，∠DPQ＝90°； 理由如下： 过点P作PM⊥AB于M，作PN⊥AD于N，如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAC＝∠BAC＝45°， 又∵PM⊥AB，PN⊥AD， ∴PM＝PN， ∴四边形AMPN是正方形， ∴∠MPN＝90°， ∵PD＝PQ，PM＝PN， ∴Rt△DPN≌Rt△QPM（HL）， ∴∠DPN＝∠QPM， ∵∠QPN+∠QPM＝90°， ∴∠QPN+∠DPN＝90°， 即∠DPQ＝90°； （3）AQOP，理由如下：如图2， 由①②知：PB＝PD＝PQ，AM＝PM， ∵PM⊥AB， ∴BM＝QM， ∵∠BAC＝45°， ∴∠PEA＝45°＝∠PAE， ∵PM⊥AE， ∴AM＝EM＝PM， ∴BM﹣EM＝QM﹣AM， 即BE＝AQ， ∵∠BFE＝90°，∠ABD＝45°， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴BEEF， ∵∠POF＝∠OPE＝∠OFE＝90°， ∴四边形EFOP是矩形， ∴EF＝OP， ∴AQOP； 【点睛】本题是正几何变换综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 20．（12分）（2022秋•柯桥区期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点B（0，4），点A在x轴负半轴上，且∠BAO＝30°，将△AOB绕着O顺时针旋转，得△COD，点A、B旋转后的对应点分别为C，D，记旋转角为α． （1）如图1，CD恰好经过点B时， ①求此时旋转角α的度数； ②求出此时点C的坐标； （2）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AC和直线DB交于点P，猜测AC与DB的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）①根据旋转的性质得到OB＝OD，求得∠ABO＝60°＝∠D，得到△BOD是等边三角形根据等边三角形的性质得到∠BOD＝60°，于是得到结论； ②过点C作CE⊥x轴于E，根据等腰三角形的性质得到CO＝AO＝4，求得∠AOC＝60°，求得OE＝2，CE＝6，于是得到C（﹣2，6）； （2）根据等腰三角形的性质得到∠OBD＝90°，求得∠ABP＝180°﹣60°﹣（90°）＝30°，根据垂直的定义即可得到结论． 【详解】解：（1）①由旋转可知，OB＝OD， ∵∠BAO＝30°， ∴∠ABO＝60°＝∠D， ∴△BOD是等边三角形， ∴∠BOD＝60°， ∴旋转角α的度数为60°； ②过点C作CE⊥x轴于E， ∵∠AOB＝90°，B（0，4）， ∴CO＝AO＝4， ∵α＝60°， ∴∠AOC＝60°， ∴OE＝2，CE＝6， ∴C（﹣2，6）； （2）AC⊥BD， 理由：∵∠AOC＝α，OB＝OD， ∴∠OBD＝90°， ∴∠ABP＝180°﹣60°﹣（90°）＝30°， ∴∠PBA+∠PAB＝60°30°90°， ∴∠APB＝90°， ∴AC⊥BD． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质﹣旋转，等边三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 21．（12分）（2024春•西安期中）【问题背景】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度α得到△DBE，点A，C的对应点分别是点D，E． 【问题发现】（1）根据题意可知∠DBE＝　30　 °； 【深入探究】（2）如图1，连接AD，当点E恰好在AB上时，求∠ADE的大小； 【拓展延伸】（3）如图2，若α＝60°，点F是AB的中点，连接CE、DF，判断DF和CE是否相等，并证明你的结论． 【分析】（1）根据旋转的性质求解即可； （2）由旋转的性质可得AB＝BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，∠ACB＝∠BED＝90°，由等腰三角形的性质可求∠BAD＝∠BDA＝75°，即可求解； （3）由旋转的性质可得∠CBE＝∠ABD＝60°，BC＝BE，DE＝AC，AB＝DB，由“SAS”可证△ABC≌△BDF，可得DF＝BC，进而可得DF＝CE． 【详解】解：（1）由旋转的性质可得∠DBE＝∠ABC＝30°， 故答案为：30； （2）∵△DEB是由△ABC旋转得到， ∴AB＝BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，∠ACB＝∠BED＝90°， ∴∠BAD＝∠BDA75°， ∴∠ADE＝∠BED﹣∠BAD＝15°； （3）DF＝CE，证明如下： ∵F是AB的中点，∠ACB＝90°，CFAB＝AF＝BF， ∵∠ABC＝30°， ∴ACAB，CF＝AF＝AC＝BF，∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∵△DEB是由△ABC旋转60°得到， ∴∠CBE＝∠ABD＝60°，BC＝BE，DE＝AC，AB＝DB， ∴DE＝CF，△CBE为等边三角形， ∴CE＝BC＝BE， 在△ABC和△BDF 中， ， ∴△ABC≌△BDF（SAS）， ∴DF＝BC， ∴DF＝CE． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角，三角形外角的性质，等边三角形的性 质与判定，全等三角形的性质与判定等等 22．（14分）（2024秋•天山区校级月考）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　150°　 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知，如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，直接写出OA+OB+OC的值． 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，从而得到∠EAF＝∠E′AF，然后利用“边角边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列式即可得证． （3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB＝2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO＝OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′＝∠BO′O＝60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC＝A′C． 【详解】解：（1）∵△ACP′≌△ABP， ∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB， 由题意知旋转角∠PA P′＝60°， ∴△AP P′为等边三角形， P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°， 易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°； 故答案为：150°； （2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′， 由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAF＝∠E′AF， 在△EAF和△E′AF中， ， ∴△EAF≌△E′AF（SAS）， ∴E′F＝EF， ∵∠CAB＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠E′CF＝45°+45°＝90°， 由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2， 即EF2＝BE2+FC2． （3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°， ∴AB＝4， ∴BC2， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°， ∴△A′O′B如图所示； ∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B， ∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO， ∴△BOO′是等边三角形， ∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°， ∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°， ∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°， ∴C、O、A′、O′四点共线， 在Rt△A′BC中，A′C2， ∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝2． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$