第23章 旋转 基础巩固测试卷-2025-2026学年人教版数学九年级上册（章节基础过关卷+单元提优验收卷+重难点易错题突破卷+月考期中期末仿真卷）

第23章旋转基础巩固测试卷 （时间：90分钟 满分：120分） 1． 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．以下生活现象中，属于旋转变换的是（　　） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．火车在笔直的轨道上行驶 D．地下水位线逐年下降 2．（2025•白云区二模）“杨辉三角”、“洛书”、“赵爽弦图”和“中国七巧板”均是中国古代数学的重要成就，至今仍在数学教育、智力训练和文化传承中发挥影响．观察以下代表四者的标志性图形，其中属于中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•泗阳县期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，6）与点B（3，﹣6）关于（　　） A．原点中心对称 B．y轴轴对称 C．x轴轴对称 D．以上都不对 4．（2024•沁县二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点（每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点）上，点A、B，C的坐标分别为A（﹣3，2），B（0，1），C（﹣2，0），将△ABC绕坐标平面内某点旋转一定的角度，得到△A'B'C'，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'，若点B'的坐标为（3，0），则旋转中心的坐标为（　　） A．（2，1） B．（2，2） C．（2，0） D．（﹣1，0） 5．（2025春•竞秀区期末）如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，点A、B、C的对称点分别为D、E、F．下列结论不一定正确的是（　　） A．AD⊥BE B．AO＝DO C．AB∥DE D．△ABC≌△DEF 6．（2024•岫岩县模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，当点C'落在边AB上时，线段CC'的长为（　　） A． B．1 C． D．2 7．（2023•淮阴区三模）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是（　　） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 8．（2024•湖北）如图，点A的坐标是（﹣4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是（　　） A．（4，6） B．（6，4） C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣6） 9．（2024春•锦州期末）如图，在△ABC中，AB＝4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为（　　） A．2 B．4 C． D．8 10．（2024春•海州区校级期中）如图，边长为20的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN，则在点M运动的过程中，线段HN长度的最小值是（　　） A．3 B．10 C．5 D．6 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（2024秋•吉林期中）如图所示的图案绕其中心至少旋转　 　 度后能与原图案完全重合． 12．（2020秋•云县期中）已知点A（a，3）与点B（4，b）关于原点对称，则a﹣b的值是　 ． 13．（2024春•沭阳县月考）在如图所示的4×4正方形方格中，选取一个白色的小正方形涂灰，使图中阴影部分成为一个中心对称图形，这样的涂法有 　 　 种． 14．（2024春•宜阳县期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E为边DC上一点，△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连结EF，则△AEF为 　 　 三角形． 15．（2024春•宜城市期末）如图，将矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG，点E在AD上，延长DA交GF于点H．若∠EBC＝36°，则∠ABH的度数为 　 ． 16．（2023•牡丹江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O旋转，若点B落在y轴上，则旋转后点A的对应点A′坐标 　 　 ． 三．解答题（本大题共6小题，共66分） 17．（8分）（2021春•商河县校级期末）如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE． （1）哪两个图形成中心对称？ （2）已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积； （3）已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 18．（10分）（2022春•砀山县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣4）、B（3，﹣3）、C（1，﹣1）（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）． （1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标； （2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2． 19．（10分）如图①，直线EF经过平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点O，点E，F分别在AD，BC上，则S四边形AEFB＝S四边形DEFC． （1）如图②，两个正方形一边重合，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线l，使l将整个图形分成面积相等的两部分； （2）8个大小相同的正方形如图③摆放，求作直线m，使m将8个正方形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）． 20．（12分）（2024秋•湖北月考）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D在边BC上，∠B＝75°． （1）求∠CDE的大小； （2）若∠C＝45°，AC与DE交于点F，试探究线段EF与CD的数量关系，并说明理由． 21．（12分）（2013秋•金平区期末）如图，P是正方形ABCD内一点，连接PA、PB、PC，将△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置． （1）旋转中心是点 　 　 ，点P旋转的度数是 　 　 度； （2）连接PP′，△BPP′的形状是 　 　 三角形； （3）若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°． ①求△BPP′的周长； ②求PC的长． 22．（14分）（2024•内江校级开学）如图1，在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠ACB＝∠BCD＝90°，∠A＝30°，∠D＝45°，把△ABC绕点C顺时针方向旋转α（0°＜α≤180°）得△A′CB′． （1）在旋转过程中，当B′C⊥BD时，求α的度数； （2）如图2，在旋转过程中，若边A′B′与边BC相交于点E，与边BD相交于点F，连接A′D，设∠DA′B′＝x，∠BCB′＝y，∠A′DB＝z，试探究x+y+z的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由； （3）在旋转过程中，当A′B′与△BCD的一边垂直时，直接写出α的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23章旋转基础巩固测试卷 （时间：90分钟 满分：120分） 1． 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．以下生活现象中，属于旋转变换的是（　　） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．火车在笔直的轨道上行驶 D．地下水位线逐年下降 【分析】结合生活实际，根据旋转变换的概念，对选项进行一一分析，即可得到答案． 【详解】解：A．钟表的指针和钟摆的运动属于旋转，故符合题意； B．站在电梯上的人的运动属于平移，故不符合题意； C．火车在笔直的轨道上行驶属于平移，故不符合题意； D．地下水位线逐年下降属于平移，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的定义是解题的关键． 2．（2025•白云区二模）“杨辉三角”、“洛书”、“赵爽弦图”和“中国七巧板”均是中国古代数学的重要成就，至今仍在数学教育、智力训练和文化传承中发挥影响．观察以下代表四者的标志性图形，其中属于中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据定义逐项判定，即将一个图形绕某点旋转180°后能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、图形绕某点旋转180°后不能与本身重合，不是中心对称图形，不符合题意； B、图形绕某点旋转180°后不能与本身重合，不是中心对称图形，不符合题意； C、图形绕某点旋转180°后能与本身重合，是中心对称图形，符合题意； D、图形绕某点旋转180°后不能与本身重合，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是关键． 3．（2023秋•泗阳县期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，6）与点B（3，﹣6）关于（　　） A．原点中心对称 B．y轴轴对称 C．x轴轴对称 D．以上都不对 【分析】根据横坐标和纵坐标都互为相反数即可做出判断． 【详解】解：∵点A（﹣3，6）与点B（3，﹣6）横坐标和纵坐标都互为相反数， ∴A（﹣3，6）与点B（3，﹣6）关于原点中心对称． 故选：A． 【点睛】此题考查关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点中心对称的点的特征是解题的关键． 4．（2024•沁县二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点（每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点）上，点A、B，C的坐标分别为A（﹣3，2），B（0，1），C（﹣2，0），将△ABC绕坐标平面内某点旋转一定的角度，得到△A'B'C'，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'，若点B'的坐标为（3，0），则旋转中心的坐标为（　　） A．（2，1） B．（2，2） C．（2，0） D．（﹣1，0） 【分析】根据旋转前后对应点连线的垂直平分线经过旋转中心即可解决问题． 【详解】解：如图所示， ∴旋转中心的坐标为（2，2）． 故选：B． 【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 5．（2025春•竞秀区期末）如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，点A、B、C的对称点分别为D、E、F．下列结论不一定正确的是（　　） A．AD⊥BE B．AO＝DO C．AB∥DE D．△ABC≌△DEF 【分析】结合中心对称的性质可得AO＝DO，BO＝EO，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，进而可证明△AOB≌△DOE，可得∠BAO＝∠EDO，则AB∥DE，进而可得答案． 【详解】解：∵△ABC与△DEF关于点O成中心对称， ∴AO＝DO，BO＝EO，△ABC与△DEF关于点O成中心对称． 故B，D选项正确，不符合题意； ∵∠AOB＝∠DOE， ∴△AOB≌△DOE（SAS）， ∴∠BAO＝∠EDO， ∴AB∥DE， 故C选项正确，不符合题意； 根据已知条件不能得出AD⊥BE， 故A选项不正确，符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查中心对称、全等三角形的判定，熟练掌握中心对称的性质是解答本题的关键． 6．（2024•岫岩县模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，当点C'落在边AB上时，线段CC'的长为（　　） A． B．1 C． D．2 【分析】由∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，得AC＝2，∠CAC'＝60°，再根据旋转的性质可推出△CAC'为等边三角形，从而得到CC'＝AC＝2． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4， ∴AC＝2，∠CAC'＝60°， ∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'， ∴AC'＝AC＝2， ∴△CAC'为等边三角形， ∴CC'＝AC＝2， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形性质，明确旋转前后对应边相等是解题的关键． 7．（2023•淮阴区三模）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是（　　） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 【分析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答． 【详解】解：图（2）将图形绕着中心点旋转90°的整数倍后均能与原图形重合，图案包含旋转变换和中心对称．图（3）中有4条对称轴，本题图案包含轴对称变换．不符合题意； 图（1）三角形沿某一直线方向移动不能与图（2）（3）中三角形重合，故没有用到平移． 故选：D． 【点睛】考查图形的对称、平移、旋转等变换．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况． 平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 8．（2024•湖北）如图，点A的坐标是（﹣4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是（　　） A．（4，6） B．（6，4） C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣6） 【分析】根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知， OA＝OB，∠AOB＝90°， ∴∠AOM+∠BON＝∠A+∠AOM＝90°， ∴∠A＝∠BON． 在△AOM和△OBN中， ， ∴△AOM≌△OBN（AAS）， ∴BN＝MO，ON＝AM． ∵点A的坐标为（﹣4，6）， ∴BN＝MO＝4，ON＝AM＝6， ∴点B的坐标为（6，4）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 9．（2024春•锦州期末）如图，在△ABC中，AB＝4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为（　　） A．2 B．4 C． D．8 【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A′BC′，A′B＝AB＝4，得到△A′BA是等腰三角形，∠A′BA＝30°，然后得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S阴影＝S△A′BA+S△A′BC′﹣S△ABC，S△A′BC′＝S△ABC，最终得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵在△ABC中，AB＝4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A′BC′， ∴△ABC≌△A′BC′， ∴A′B＝AB＝4， ∴△A′BA是等腰三角形，∠A′BA＝30°， 如图所示，过点A′作A′D⊥AB交AB与点D， ∴， ∴． 又∵S阴影＝S△A′BA+S△A′BC′﹣S△ABC，S△A′BC′＝S△ABC， ∴S阴影＝S△A′BA＝4． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了扇形面积的计算，运用面积的和差解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 10．（2024春•海州区校级期中）如图，边长为20的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN，则在点M运动的过程中，线段HN长度的最小值是（　　） A．3 B．10 C．5 D．6 【分析】取BC的中点G，连接MG，则BG＝CGBC，由等边三角形的性质得AB＝BC＝AC＝20，∠ABC＝∠ACB＝60°，由旋转得∠MBN＝60°，BM＝BN，则∠GBM＝∠HBN，而BHABBC，所以BG＝BH，即可证明△MBG≌△NBH，得GM＝HN，作GF⊥CH于点F，则GFCGBC＝5，由GM≥GF，得HN≥5，则线段HN长度的最小值是5，于是得到问题的答案． 【详解】解：取BC的中点G，连接MG，则BG＝CGBC， ∵△ABC是边长为20的等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝20，∠ABC＝∠ACB＝60°， 由旋转得∠MBN＝60°，BM＝BN， ∴∠GBM＝∠HBN＝60°﹣∠MBH， ∵M是高CH所在直线上的一个动点， ∴BHABBC， ∴BG＝BH， 在△MBG和△NBH中， ， ∴△MBG≌△NBH（SAS）， ∴GM＝HN， 作GF⊥CH于点F，则∠CFG＝90°， ∵∠FCG∠ACB＝30°， ∴GFCGBC20＝5， ∵GM≥GF， ∴HN≥5， ∴线段HN长度的最小值是5， 故选：C． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（2024秋•吉林期中）如图所示的图案绕其中心至少旋转　90　 度后能与原图案完全重合． 【分析】观察图形可得，图形有四个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【详解】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转90°，旋转4次所组成， 故最小旋转角为90°． 故答案为：90． 【点睛】本题考查了利用旋转设计图案，旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键． 12．（2020秋•云县期中）已知点A（a，3）与点B（4，b）关于原点对称，则a﹣b的值是　﹣1　 ． 【分析】两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点A（a，3）与点B（4，b）关于原点成中心对称， ∴a＝﹣4，b＝﹣3， ∴a﹣b＝﹣4+3＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解题时注意：点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． 13．（2024春•沭阳县月考）在如图所示的4×4正方形方格中，选取一个白色的小正方形涂灰，使图中阴影部分成为一个中心对称图形，这样的涂法有 　1　 种． 【分析】根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：根据中心对称图形的定义，可得如下涂法，且只有一种， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了中心对称图形即将图形绕某点旋转180°后与原图形完全重合，正确理解定义是解题的关键． 14．（2024春•宜阳县期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E为边DC上一点，△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连结EF，则△AEF为 　等腰直角　 三角形． 【分析】根据旋转的性质得到AE＝AF，∠EAF＝90°，从而可判断△AEF为等腰直角三角形． 【详解】解：∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF， ∴AE＝AF，∠EAF＝90°， ∴△AEF为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 15．（2024春•宜城市期末）如图，将矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG，点E在AD上，延长DA交GF于点H．若∠EBC＝36°，则∠ABH的度数为 　18°　 ． 【分析】由旋转的性质可得AB＝BG，∠EBC＝∠ABG＝36°，∠G＝∠BAD＝∠BAH＝90°，由HL可证Rt△ABH≌Rt△GBH，可得∠ABH＝∠GBH，即可求解． 【详解】解：∵将矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG， ∴AB＝BG，∠EBC＝∠ABG＝36°，∠G＝∠BAD＝∠BAH＝90°， 又∵BH＝BH， ∴Rt△ABH≌Rt△GBH（HL）， ∴∠ABH＝∠GBH， 又∵∠ABH+∠GBH＝∠ABG＝36°， ∴∠ABH＝18°， 故答案为：18°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 16．（2023•牡丹江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O旋转，若点B落在y轴上，则旋转后点A的对应点A′坐标 　（1，）或（﹣1，）　 ． 【分析】当点B落在y轴正半轴上时，过点A作AD⊥OB于点D，根据题意可得OD＝BD，解直角三角形求得AD，OD，进而可得点A的对应点A'的坐标．同理可得点B落在y轴负半轴上的答案 【详解】解：当点B落在y轴正半轴上时，如图，过点A作AD⊥OB于点D， ∵∠AOB＝∠B＝30°， ∴AB＝OA， ∴OD＝BD， ∵OA＝2， ∴AD，OD， 将△AOB绕点O旋转，若点B落在y轴上，在点D的对应点D′在y轴上， ∴A′D′⊥y轴， ∴A′坐标为：（1，）． 同理，当点B落在y轴负半轴时，A″的坐标为（﹣1，）， 故答案为：（1，）或（﹣1，）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 三．解答题（本大题共6小题，共66分） 17．（8分）（2021春•商河县校级期末）如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE． （1）哪两个图形成中心对称？ （2）已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积； （3）已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 【分析】（1）直接利用中心对称的定义写出答案即可； （2）根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形BDE的面积，根据等底同高确定ABD的面积，从而确定ABE的面积； （3）可证△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题． 【详解】解：（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称； （2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4， ∴△EDB的面积也为4， ∵D为BC的中点， ∴△ABD的面积也为4， 所以△ABE的面积为8； （3）∵在△ABD和△ECD中，， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB＝EC， ∵△ACE中，AB﹣AC＜AE＜AC+AB， ∴2＜AE＜8， ∴1＜AD＜4． 【点睛】本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度较小．（3）题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证△ABD≌△CDE是解题的关键． 18．（10分）（2022春•砀山县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣4）、B（3，﹣3）、C（1，﹣1）（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）． （1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标； （2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2． 【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1，B1，C1的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A2、C2即可． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1，B1，C1的坐标分别为（﹣1，4），（﹣3，3），（﹣1，1）； （2）如图，△A2B2C2为所作． 【点睛】本题考查了画图﹣性质变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 19．（10分）如图①，直线EF经过平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点O，点E，F分别在AD，BC上，则S四边形AEFB＝S四边形DEFC． （1）如图②，两个正方形一边重合，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线l，使l将整个图形分成面积相等的两部分； （2）8个大小相同的正方形如图③摆放，求作直线m，使m将8个正方形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）． 【分析】（1）作两个正方形的中线所在的直线即可； （2）根据中心对称图形的性质作图． 【详解】解：（1）如图②直线l即为所求； （2）直线a，直线b，直线c即为所求． 【点睛】本题考查了复杂作图，掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 20．（12分）（2024秋•湖北月考）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D在边BC上，∠B＝75°． （1）求∠CDE的大小； （2）若∠C＝45°，AC与DE交于点F，试探究线段EF与CD的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据旋转的性质及等腰三角形的性质求解； （2）根据全等三角形的判定和性质求解． 【详解】解：（1）由题意得：△ABC≌△ADE， ∴∠B＝∠ADE＝75°，AB＝AD，∠E＝∠C，AE＝AC， ∴∠ADB＝∠B＝75°， ∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝30°； （2）EF＝CD； 理由：∵∠B＝75°，∠C＝45°， ∴∠BAC＝60°， ∵∠ADB＝∠B＝75°， ∴∠BAC＝30°， ∵∠E＝∠C， ∴∠CAE＝∠EDC＝30°， ∵∠E＝∠C，AE＝AC， ∴△ADC≌△AFE（AAS）， ∴EF＝CD． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握三角形的内角和定理及三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． 21．（12分）（2013秋•金平区期末）如图，P是正方形ABCD内一点，连接PA、PB、PC，将△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置． （1）旋转中心是点 　B　 ，点P旋转的度数是 　90　 度； （2）连接PP′，△BPP′的形状是 　等腰直角　 三角形； （3）若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°． ①求△BPP′的周长； ②求PC的长． 【分析】（1）根据旋转的定义解答； （2）根据旋转的性质可得BP＝BP′，又旋转角为90°，然后根据等腰直角三角形的定义判定； （3）①根据勾股定理列式求出PP′，然后根据三角形的周长公式列式进行计算即可得解； ②先根据旋转的性质求出∠BP′C＝135°，再求出∠PP′C＝90°，然后根据勾股定理列式进行计算即可得解． 【详解】解：（1）∵P是正方形ABCD内一点，△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置， ∴旋转中心是点B，点P旋转的度数是90度； （2）根据旋转的性质BP＝BP′， ∵旋转角为90°， ∴△BPP′是等腰直角三角形； （3）①∵PB＝4， ∴PP′4， ∴△BPP′的周长＝PB+P′B+PP′＝4+4+48+4； ②∵∠BP′C＝∠BPA＝135°， ∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣45°＝90°， 在Rt△PP′C中，PC6． 故答案为：（1）B；90；（2）等腰直角． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定，正方形的性质，勾股定理的应用，难度不大，熟练掌握旋转的定义与性质是解题的关键． 22．（14分）（2024•内江校级开学）如图1，在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠ACB＝∠BCD＝90°，∠A＝30°，∠D＝45°，把△ABC绕点C顺时针方向旋转α（0°＜α≤180°）得△A′CB′． （1）在旋转过程中，当B′C⊥BD时，求α的度数； （2）如图2，在旋转过程中，若边A′B′与边BC相交于点E，与边BD相交于点F，连接A′D，设∠DA′B′＝x，∠BCB′＝y，∠A′DB＝z，试探究x+y+z的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由； （3）在旋转过程中，当A′B′与△BCD的一边垂直时，直接写出α的度数． 【分析】（1）根据题意得∠CBD＝45°，求出旋转角∠BCB′即可； （2）利用三角形内角和定理以及三角形的外角的性质列式解决问题即可； （3）分三种情形分别画出图形求解即可． 【详解】解：（1）∵∠ACB＝∠BCD＝90°，∠D＝45°， ∴∠CBD＝45°， 当B′C⊥BD时，∠BCB′＝90°﹣∠CBD＝45°， 即α＝45°， （2）x+y+z的值不变，理由如下： ∵∠EFB是△A′DF的外角， ∴∠EFB＝∠A′DF+∠DA′E＝x+z， 又∵∠BEF是△ECB′的外角， ∴∠BEF＝∠BCB′+∠A′B′C＝y+60°， 在△BEF中，∠B+∠BEF+∠EFB＝180°， 即45°+y+60°+x+z＝180°， ∴x+y+z＝180°﹣45°﹣60°＝75°； （3）①当A′B′⊥BC时，如图， ∵∠B′EC＝90°，∠B′＝60°， ∴∠BCB′＝90°﹣60°＝30°， 即α＝30°； ②当A′B′⊥CD时，如图， ∵∠CEB′＝90°，∠B′＝60°， ∴∠ECB′＝30°， ∴∠BCB′＝90°+30°＝120°，即α＝120°； ③当A′B′⊥BD时，如图， ∵∠A′EF＝90°，∠A′＝30°， ∴∠A′FE＝90°﹣30°＝60°， ∴∠CFB＝∠A′FE＝60°， ∴∠BCF＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∴∠BCB′＝90°+75°＝165°，即α＝165°． 综上所述，满足条件的α＝30°或120°或165°． 【点睛】本题考查了旋转变换，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$