第22章二次函数与几何图形 综合专项训练-2025-2026学年人教版数学九年级上册（章节基础过关卷+单元提优验收卷+重难点易错题突破卷+月考期中期末仿真卷）

第22章二次函数与几何图形综合专项训练 类型一 二次函数与直角三角形的综合 【典例1】（2024秋•无为市月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，6），B（4，0），C（﹣1，0）三点，与y轴交于点E． （1）求这个抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴上是否存在点P使△PCE的周长最小，如果存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）设点Q在抛物线的对称轴上，当△QCE是直角三角形时，请直接写出点Q的坐标． 【变式训练】 1．（2025•沛县模拟）如图（1），抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于C，顶点D（1，4）． （1）写出抛物线的解析式，点B，点C的坐标； （2）连接AD，在AD上方的抛物线上是否存在点P使△APD面积最大，若存在求△APD面积最大，若不存在请说明理由； （3）直线y＝t交抛物线于点E，F（点E在点F的右边），交直线BC于点G，若FG＝3GE，求t的值； （4）如图（2），点M是抛物线对称轴上一点，且点M的纵坐标为m，当△MBC是直角三角形时，m的值为 　 ． 类型二 二次函数与等腰三角形的综合 【典例2】（2023秋•韩城市月考）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点C，已知抛物线的对称轴为直线x＝1． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点D，使得△DBC为等腰三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 1．（2025•连云港模拟）如图，二次函数y＝mx2+nx﹣3的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点D是二次函数图象的顶点，连接BC、BD． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求∠CBD的正切值； （3）若点P在二次函数图象上，且横坐标为t（1＜t＜3），过点P的直线l平行于y轴，与BD、BC、x轴分别交于点E、F、G，试证明线段PE、EF、FG总能组成等腰三角形． 类型三 二次函数与等腰直角三角形的综合 【典例3】（2021•罗湖区模拟）如图一，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；在四边形AOPE面积最大时，在线段OE上取点M，在y轴上取点N，当PM+MNAN取最小值时，求出此时N点的坐标． （3）如图二，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 1．（2025•邗江区三模）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ． （2）如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，连接PO交BC于点D，求的最大值． （3）点N是抛物线上一动点，M是直线BC上一动点，当△AMN是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出N的坐标． 类型四 二次函数与平行四边形的综合 【典例4】（2024秋•汇川区期末）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A，B（0，4），C（4，0）三点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）E是直线BC上方抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标； （3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得四边形PQBC是平行四边形？若存在，求出满足条件的点P，Q的坐标；若不存在，说明理由． 【变式训练】 1．（2025•姑苏区二模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，连接BC，作直线AC，点A的坐标为（6，0），且S△ABC＝24． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P在抛物线第一象限图象上，线段EF（点F在点E的左侧）是直线AC上一段长度为的动线段，y轴上一点Q（0，2），连接QE，QF，PE，PF，若四边形QEPF为平行四边形，求点E的横坐标； （3）一次函数y＝kx﹣k+7的图象交二次函数于M，N两点，当抛物线的顶点D到一次函数y＝kx﹣k+7的图象的距离最大时，在这条直线上是否存在一点T，满足∠ATB＝90°，若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由． 类型五 二次函数与矩形综合 【典例5】（2023•东营）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？ （3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离． 【变式训练】 1．（2025•宿城区二模）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点E为线段BC上任意一点（不与端点重合），过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以EF、FG为邻边构造矩形EFGH．设点E的横坐标为m，矩形EFGH的周长为L． ①求L关于m的函数表达式； ②若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，请直接写出t的取值范围． 类型六 二次函数与菱形综合 【典例6】（2025•沛县开学）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，在x轴上有一动点D，平面内是否存在一点E，使以点A、D、C、E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． （3）如图2，点M为抛物线上的一动点，若点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值． 【变式训练】 1．（2025•沛县三模）如图，已知直线yx﹣3与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线yx2+bx+c的顶点是（2，﹣1），且与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，P是抛物线上一个动点，过点P作PG⊥AB于点G． （1）求二次函数的解析式； （2）当点P运动到何处时，线段PG的长取得最小值？最小值为多少？ （3）若点M是抛物线对称轴上任意点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请你说明理由． 2．（2025•滨湖区一模）已知，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣1，0），函数图象的对称轴经过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）连接AC，BC，若点P为直线BC下方的函数图象上一动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，PD交BC于点E． ①点F为线段DE上一动点，FG⊥y轴，垂足为点G，点H为线段AC上一动点，连接CP，BF，GH．当△BCP的面积最大时，求BF+FG+GH的最小值； ②在y轴上是否存在点T，使以P、E、C、T为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由． 类型七 二次函数与正方形综合 【典例7】（2022秋•慈溪市期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+6x+c的对称轴与x轴交于点A，在直线AB：y＝kx+3上取一点B，使点B在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形为正方形，则c的值为　 　 ． 【变式训练】 1．（2025•钟楼区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1，求t的值； （3）若点P、Q在直线AB上，问：在该二次函数图象上是否存在点M，N，使得四边形PQMN是正方形？若存在，请直接写出PQ的长；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22章二次函数与几何图形综合专项训练 类型一 二次函数与直角三角形的综合 【典例1】（2024秋•无为市月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，6），B（4，0），C（﹣1，0）三点，与y轴交于点E． （1）求这个抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴上是否存在点P使△PCE的周长最小，如果存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）设点Q在抛物线的对称轴上，当△QCE是直角三角形时，请直接写出点Q的坐标． 【思路引领】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由对称性可知当B，P，E三点共线时，PE+PC的值最小，此时得△PCE的周长最小，求出直线BE与对称轴的交点即为所求点P； （3）设，而E（0，4），C（﹣1，0），可得，再由直角三角形的边的关系分类讨论即可． 【完整解答】解：（1）将A（1，6），B（4，0），C（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0）， ∴， 解得， ∴y＝﹣x2+3x+4； （2）存在点P，使得△PCE的周长最小，理由如下： 如图，连接BE，交对称轴于P， 令x＝0，则y＝4， ∴E（0，4）， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵B，C关于对称轴对称， ∴PC+PE＝PB+PE≥BE， ∴当B，P，E三点共线时，PE+PC的值最小，CE长度固定不变，此时得△PCE的周长最小， 设直线BE的解析式为y＝kx+e， 则， 解得， ∴y＝﹣x+4， ∴当时，， ∴． （3）存在点Q，使得△QCE为直角三角形，理由如下： 设，而E（0，4），C（﹣1，0）， ∴， 当CE2＝QE2+QC2时，， 解得， ∴或； 当QE2＝CE2+QC2时，， 解得， ∴； 当QC2＝CE2+QE2时，， 解得， ∴； 综上所述：Q点坐标为，，，． 【总结提升】本题考查二次函数的图象及性质，求函数解析式，直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 【变式训练】 1．（2025•沛县模拟）如图（1），抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于C，顶点D（1，4）． （1）写出抛物线的解析式，点B，点C的坐标； （2）连接AD，在AD上方的抛物线上是否存在点P使△APD面积最大，若存在求△APD面积最大，若不存在请说明理由； （3）直线y＝t交抛物线于点E，F（点E在点F的右边），交直线BC于点G，若FG＝3GE，求t的值； （4）如图（2），点M是抛物线对称轴上一点，且点M的纵坐标为m，当△MBC是直角三角形时，m的值为 　﹣2或4或　 ． 【思路引领】（1）由顶点D（1，4）可知对称轴为直线x＝1，根据对称性知B（3，0），设抛物线为交点式，即y＝a（x+1）（x﹣3），再代入D（1，4），可得a＝﹣1，故抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，点B（3，0），点C（0，3）； （2）先求直线AD的表达式为y＝2x+2，作PQ⊥x轴交AD于点Q，设P（m，﹣m2+2m+3），Q（m，2m+2），故PQ＝﹣m2+2m+3﹣2m﹣2＝﹣m2+1，S△APDPQ（xD﹣xA）＝PQ＝﹣m2+1，即当m＝0时，S△APD最大为1，此时P（0，3）； （3）设对称轴直线x＝1交EF于点H，如图1所示，先求出直线BC的解析式为y＝﹣x+3，则G（3﹣t，t），分t＞0时和t＜0时分别表示出E点的坐标，代入二次函数解析式后，从而实现求解； （4）设M（1，m），B（3，0），C（0，3），则BM2＝4+m2，BC2＝18，CM2＝1+（m﹣3）2＝m2﹣6m+10，再根据每个顶点处都可能出现直角分3类讨论列方程求解即可． 【完整解答】解：（1）由顶点D（1，4）可知对称轴为直线x＝1， 又由抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）， 故根据对称性知B（3，0），设抛物线为交点式，即y＝a（x+1）（x﹣3），再代入D（1，4）， 可得4＝﹣4a，解得a＝﹣1， 故抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，点B（3，0），点C（0，3）； （2）存在点P（0，3）满足条件，理由如下： ∵A（﹣1，0），D（1，4）， ∴由待定系数法可知直线AD的表达式为y＝2x+2， 作PQ⊥x轴交AD于点Q， 设P（m，﹣m2+2m+3），Q（m，2m+2）， 故PQ＝﹣m2+2m+3﹣2m﹣2＝﹣m2+1， ∴S△APDPQ（xD﹣xA）＝PQ＝﹣m2+1， 当m＝0时，S△APD最大为1，此时P（0，3）． （3）设对称轴直线x＝1交EF于点H，如图1所示， 由待定系数法可知直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 则G（3﹣t，t）， 当t＞0时，由FG＝3GE，可知HG＝GE， ∵H（1，t）， ∴HG＝3﹣t﹣1＝2﹣t，则HE＝4﹣2t， 故E（5﹣2t，t），再将E点坐标代入y＝﹣x2+2x+3中， 得﹣（5﹣2t）2+2（5﹣2t）+3＝t，解得t或（舍去）； 当t＜0时，如图2所示， ∵FG＝3GE， ∴HE＝GE， ∵H（1，t），G（3﹣t，t）， ∴E（），把E点坐标代入y＝﹣x2+2x+3中， 得﹣（）2+2（）+3＝t，解得t或（舍去） 综上，t的值为或． （4）设M（1，m），B（3，0），C（0，3）， 则BM2＝4+m2，BC2＝18，CM2＝1+（m﹣3）2＝m2﹣6m+10， 当∠CMB＝90°时，CM2+BM2＝BC2， 即m2﹣6m+10+4+m2＝18，解得m； 当∠MCB＝90°时，CM2+CB2＝MB2， 即m2﹣6m+10+18＝4+m2，解得m＝4； 当∠CBM＝90°时，MB2+CB2＝MC2， 即4+m2+18＝m2﹣6m+10，解得m＝﹣2， 综上，m的值为﹣2或4或． 故答案为：﹣2或4或． 【总结提升】本题考查了二次函数、一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求解析式，二次函数的对称性，直角三角形的性质，勾股定理，二次函数与线段（转化），分类讨论是解题的关键． 类型二 二次函数与等腰三角形的综合 【典例2】（2023秋•韩城市月考）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点C，已知抛物线的对称轴为直线x＝1． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点D，使得△DBC为等腰三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路引领】（1）求出A（﹣2，0），B（t，0），根据抛物线的对称轴为直线x＝1，得1，故t＝4，即可得抛物线的解析式为yx2+x+4； （2）设D（1，m），求出C（0，4），B（4，0），可得CD2＝1+（m﹣4）2，BD2＝9+m2，BC2＝32，分三种情况列方程：①当CD＝BD时，1+（m﹣4）2＝9+m2，②当CD＝BC时，1+（m﹣4）2＝32，③当BD＝BC时，9+m2＝32，分别解方程求出m可得答案． 【完整解答】解：（1）在y（x+2）（x﹣t）中，令y＝0得x＝﹣2或x＝t， ∴A（﹣2，0），B（t，0）， ∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴1， 解得t＝4， ∴y（x+2）（x﹣4）x2+x+4， ∴抛物线的解析式为yx2+x+4； （2）在抛物线的对称轴上存在点D，使得△DBC为等腰三角形，理由如下： 设D（1，m）， 在yx2+x+4中，令x＝0得y＝4， ∴C（0，4）， 由（1）知B（4，0）， ∴CD2＝1+（m﹣4）2，BD2＝9+m2，BC2＝32， ①当CD＝BD时，1+（m﹣4）2＝9+m2， 解得m＝1， ∴D（1，1）， ②当CD＝BC时，1+（m﹣4）2＝32， 解得m＝4或m＝4， ∴D（1，4）或（1，4）； ③当BD＝BC时，9+m2＝32， 解得m或m， ∴D（1，）或（1，）； 综上所述，D的坐标为（1，1）或（1，4）或（1，4）或（1，）或（1，）． 【总结提升】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 【变式训练】 1．（2025•连云港模拟）如图，二次函数y＝mx2+nx﹣3的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点D是二次函数图象的顶点，连接BC、BD． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求∠CBD的正切值； （3）若点P在二次函数图象上，且横坐标为t（1＜t＜3），过点P的直线l平行于y轴，与BD、BC、x轴分别交于点E、F、G，试证明线段PE、EF、FG总能组成等腰三角形． 【思路引领】（1）设交点式，再代入C点坐标即可求解； （2）先由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4得D（1，﹣4），利用两点间的距离公式得BC2＝18，CD2＝2，BD2＝20，利用勾股定理逆运用得∠BCD＝90°，进而可得答案； （3）先求出直线BC的表达式为y＝x﹣3，直线BD的表达式为y＝2x﹣6，设P（t，t2﹣2t﹣3），则F（t，t﹣3），E（t，2t﹣6），再分别表示GF＝3﹣t，EF＝t﹣3﹣（2t﹣6）＝3﹣t，PE＝2t﹣6﹣t2+2t+3＝（3﹣t）（t﹣1），可得EF＝GF，再用三边关系验证通过，即可证明． 【完整解答】（1）解：二次函数y＝mx2+nx﹣3的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）解：连接CD， y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴D（1，﹣4）， 二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与y轴交于点C， 当x＝0时，t＝﹣4， ∴C（0，﹣3）， ∵B（3，0）， ∴BC2＝32+32＝18，CD2＝12+（﹣3+4）2＝2，BD2＝（3﹣1）2+42＝20， ∴BD2＝BC2+CD2＝20，， ∴∠BCD＝90°， ∴； （3）证明：设直线BC的表达式为y＝kx+b，将点B、点C的坐标分别代入得： ， 解得， ∴直线BC的表达式为y＝x﹣3， 设直线BD的表达式为y＝k1x+b1，将点B、点D的坐标分别代入得： ， 解得， ∴直线BD的表达式为y＝2x﹣6， 设P（t，t2﹣2t﹣3），则F（t，t﹣3），E（t，2t﹣6）， 故GF＝3﹣t，EF＝t﹣3﹣（2t﹣6）＝3﹣t，PE＝2t﹣6﹣t2+2t+3＝（3﹣t）（t﹣1）， ∴EF＝GF， ∵1＜t＜3，故t﹣1＜2， ∴2EF＝2（3﹣t）＞（3﹣t）（t﹣1），即EF+GF＞PE， ∴线段PE、EF、FG总能组成等腰三角形． 【总结提升】本题属于二次函数综合题，主要考查了利用交点式求二次函数的表达式，勾股定理，两点间距离公式，解直角三角形，三角形三边关系，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 类型三 二次函数与等腰直角三角形的综合 【典例3】（2021•罗湖区模拟）如图一，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；在四边形AOPE面积最大时，在线段OE上取点M，在y轴上取点N，当PM+MNAN取最小值时，求出此时N点的坐标． （3）如图二，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路引领】（1）设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）， 把A（0，3）代入得：3＝3a，a＝1，即可求解； （2）过点A作倾斜角为45°的直线AH，过点P作PH⊥AH于点H，交OE于点M、交y轴于点N，则点N为所求， 即可求解； （3）分P在对称轴的左边，且在x轴下方、P在对称轴的左边，且在x轴上方、P在对称轴的右边，且在x轴下方、P在对称轴的右边，且在x轴上方四种情况，分别求解即可． 【完整解答】解：（1）设抛物线与x轴的另一个交点为D， 由对称性得：D（3，0）， 设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）， 把A（0，3）代入得：3＝3a，a＝1， ∴抛物线的解析式；y＝x2﹣4x+3； （2）如图1，∵△AOE的面积是定值，所以当△OEP面积最大时，四边形AOPE面积最大， 设P（m，m2﹣4m+3）， ∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形， ∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），则OE的解析式为：y＝x， 过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m）， ∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3， ∴S四边形AOPE＝S△AOE+S△POE3×3PG•AE3×（﹣m2+5m﹣3）m2， ∵0， ∴当m时，S有最大值为，此时点P（，）； 过点A作倾斜角为45°的直线AH，过点P作PH⊥AH于点H，交OE于点M、交y轴于点N，则点N为所求， 则NHAN， 此时PM+MNAN＝PM+MN+HN＝PH为最小值， 设直线PH的表达式为：y＝﹣x+b，将点P的坐标代入上式并解得： 直线PH的表达式为：y＝﹣x， 故点N（0，）； （3）存在，理由： ①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图2，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N， ∵△OPF是等腰直角三角形，且OP＝PF， ∴△OMP≌△PNF（AAS）， ∴OM＝PN， ∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m， 解得：m（舍去）或 ∴P的坐标为（，）； ②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，如图3， 同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m或（舍去）， 故点P（，）； ③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时， 如图3，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M， 同理得△ONP≌△PMF， ∴PN＝FM， 则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2， 解得：m或（舍去）， P的坐标为（，）； ④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时， 同理得m2﹣4m+3＝m﹣2， 解得：m或（舍去）， 点P的坐标为：（，）； 综上，点P的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）． 【总结提升】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题． 【变式训练】 1．（2025•邗江区三模）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）b＝ 　﹣2　 ，c＝ 　﹣3　 ． （2）如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，连接PO交BC于点D，求的最大值． （3）点N是抛物线上一动点，M是直线BC上一动点，当△AMN是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出N的坐标． 【思路引领】（1）设顶点式，化简即可得解； （2）化斜为直，作PQ∥y轴交BC于点Q，则，据此求解即可； （3）由题可知∠ANM＝90°，AN＝MN，设N（n，n2﹣2n﹣3），画出符合题意的情况，然后利用三垂直全等，将点M坐标用n表示，进而代入直线BC解析式建立方程求解即可． 【完整解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A和点B， ∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3， ∴b＝﹣2，c＝﹣3， 故答案为：﹣2，﹣3； （2）过P作PQ∥y轴交BC于点Q， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴令x＝0，得y＝﹣3，即C（0，﹣3）， ∴OC＝3， 由B（3，0），C（0，﹣3）可得直线BC：y＝x﹣3， 设P（m，m2﹣2m﹣3），则Q（m，m﹣3）， ∴PQ＝m﹣3﹣m2+2m+3＝﹣m2+3m， ∵PQ∥OC， ∴（m）2， ∵， ∴当m时，（m）2是最大值， 即的最大值为； （3）由题可知∠ANM＝90°，AN＝MN， 设N（n，n2﹣2n﹣3）， Ⅰ，如图，过N作GH∥y轴交x轴于点G，过M作MH⊥GH于点H， 则AG＝n+1，NG＝﹣n2+2n+3， ∵∠MHN＝∠ANM＝∠AGN＝90°， ∴∠MNH＝∠GAN＝90°﹣∠ANG， ∵AN＝MN， ∴△MNH≌△NAG（AAS）， ∴MH＝NG＝﹣n2+2n+3，NH＝AG＝n+1， ∴M（n2﹣n﹣3，n2﹣3n﹣4）， ∵点M在直线BC：y＝x﹣3上， ∴n2﹣3n﹣4＝n2﹣n﹣3﹣3， 解得n＝1，此时n2﹣2n﹣3＝﹣4； ∴N（1，﹣4）； Ⅱ，如图，过N作KL∥x轴，过A作AK⊥KL于点K，过M作ML⊥KL于点L， 同理可得△NLM≌△AKN（AAS）， ∴NL＝AK＝﹣n2+2n+3，ML＝KN＝n+1， ∴M（﹣n2+3n+3，n2﹣n﹣2）， ∵点M在直线BC：y＝x﹣3上， ∴n2﹣n﹣2＝﹣n2+3n+3﹣3， 解得n＝1或n＝1（舍去），此时n2﹣2n﹣3＝﹣2； ∴N（1，﹣2）； Ⅲ，如图，过N作RS∥x轴，过A作AR⊥RS于点R，过M作MS⊥RS于点S， 同理可得△NSM≌△ARN（AAS）， ∴NS＝AR＝﹣n2+2n+3，MS＝KN＝n+1， ∴M（﹣n2+3n+3，n2﹣n﹣2）， ∵点M在直线BC：y＝x﹣3上， ∴n2﹣n﹣2＝﹣n2+3n+3﹣3， 解得n＝1（舍去）或n＝1，此时n2﹣2n﹣3＝﹣2； ∴N（1，﹣2）； 综上，点N的坐标为（1，﹣4）或（1，﹣2）． 【总结提升】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的点的坐标特征、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的存在性问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 类型四 二次函数与平行四边形的综合 【典例4】（2024秋•汇川区期末）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A，B（0，4），C（4，0）三点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）E是直线BC上方抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标； （3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得四边形PQBC是平行四边形？若存在，求出满足条件的点P，Q的坐标；若不存在，说明理由． 【思路引领】（1）求出B、C点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过E点作EG∥y轴交BC于点G，设，则G（t，﹣t+4），可得，当t＝2时，△BCE的面积有最大值4，此时E（2，4）； （3）根据题意，设，结合B（0，4），C（4，0），根据平行四边形的对角线交点坐标，利用中点坐标公式列方程组求解即可求P，Q点坐标． 【完整解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A，B（0，4），C（4，0）三点， ∴将B（0，4），C（4，0）代入y＝ax2+x+c得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：设直线BC的函数解析式为y＝kx+b， 将B（0，4），C（4，0）代入y＝kx+b得， 解得， ∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+4， 过点E作EG∥y轴交BC于点G，如图所示： 设，则G（t，﹣t+4）， ∴， ∴， ∴当t＝2时，△BCE的面积有最大值4，此时E（2，4）； （3）解：存在点P，使得四边形PQBC是平行四边形． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， 由题知，B（0，4），C（4，0）， 设， 当四边形PQBC是平行四边形时，PB，CQ为平行四边形的对角线， 则， 解得， ∴． 【总结提升】本题考查二次函数的图象及性质，涉及待定系数法确定函数、二次函数最值、平行四边形性质及中点坐标公式等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 【变式训练】 1．（2025•姑苏区二模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，连接BC，作直线AC，点A的坐标为（6，0），且S△ABC＝24． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P在抛物线第一象限图象上，线段EF（点F在点E的左侧）是直线AC上一段长度为的动线段，y轴上一点Q（0，2），连接QE，QF，PE，PF，若四边形QEPF为平行四边形，求点E的横坐标； （3）一次函数y＝kx﹣k+7的图象交二次函数于M，N两点，当抛物线的顶点D到一次函数y＝kx﹣k+7的图象的距离最大时，在这条直线上是否存在一点T，满足∠ATB＝90°，若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由． 【思路引领】（1）根据三角形面积公式得出AB的长，进而得出点B坐标，将点A和点B坐标代入抛物线的解析式得出方程组，进一步得出结果； （2）先直线AC的解析式，进而设E（m，﹣m+6），进而表示出F（m﹣1，﹣m+7），进而根据平行四边形的性质得出P（2m﹣1，﹣2m+11），将其代入抛物线的解析式，从而求得m的值，进一步得出结果； （3）作DH⊥x轴于H，交直线y＝kx﹣k+7于F，作EG⊥EF于G，可求得直线y＝kx﹣k+7过定点E（1，7），连接DE，当DE⊥直线y＝kx﹣k+7时，顶点D到一次函数y＝kx﹣k+7的图象的距离最大，根据D和E点坐标，得出直线EF的解析式，从而设出点T坐标，根据直角三角形的性质得出TH，进而得出一元二次方程，进一步得出结果． 【完整解答】解：（1）由题意得， C（0，6）， ∴OC＝6， 由S△ABC得， ， ∴AB＝8， ∵A（6，0）， ∴B（﹣2，0）， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：y； （2）∵A（6，0），C（0，6）， ∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+6， ∴设E（m，﹣m+6）， ∵EF， ∴F（m﹣1，﹣m+7）， ∵Q（0，2），四边形QEPF是平行四边形， ∴P（2m﹣1，﹣2m+11）， ∴2m+11， 整理得， 4m2﹣16m+15＝0， ∴， ∴E点的横坐标是或； （3）如图， 直线y＝kx﹣k+7上不存在点T，使∠ATB＝90°，理由如下： 作DH⊥x轴于H，交直线y＝kx﹣k+7于F，作EG⊥EF于G， ∵y＝kx﹣k+7＝k（x﹣1）+7， ∴直线y＝kx﹣k+7过点E（1，7）， 连接DE，当DE⊥直线y＝kx﹣k+7时，顶点D到一次函数y＝kx﹣k+7的图象的距离最大， ∵E（1，7），D（2，8）， ∴EG＝DG， ∴∠EDG＝∠DEG＝45°， ∴∠EFD＝90°﹣∠ADG＝45°， ∴F（2，6）， ∴直线EF的解析式为：y＝﹣x+8， 设T（m，﹣m+8）， ∵∠ATB＝90°， ∴TH， ∴（m﹣2）2+（m﹣8）2＝42， 整理得， m2﹣10m+26＝0， ∵Δ＝（﹣10）2﹣4×1×26＝﹣4＜0， ∴原方程无解， ∴直线EF上不存在点T使∠ATB＝90°． 【总结提升】本题考查了求二次函数和一次函数的解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，一元二次方程根的判别式等知识，解决问题的关键是掌握有关基础知识． 类型五 二次函数与矩形综合 【典例5】（2023•东营）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？ （3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离． 【思路引领】（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点C的坐标（2，﹣4）代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得AE＝OB＝t，据此知AB＝10﹣2t，再由x＝t时BCt2t，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得； （3）连接AC，BD相交于点P，连接OC，取OC的中点Q，连接PQ，根据直线GH平分矩形ABCD的面积，得到直线GH过点P，由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，根据平行四边形的性质得到PQ＝CH，根据矩形的性质得到点P是AC的中点，求得PQOA，于是得到结论． 【完整解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax（x﹣10）， ∵当t＝2时，BC＝4， ∴点C的坐标为（2，﹣4）， ∴将点C坐标代入解析式得2a（2﹣10）＝﹣4， 解得：a， ∴抛物线的函数表达式为yx2x； （2）由抛物线的对称性得AE＝OB＝t， ∴AB＝10﹣2t， 当x＝t时，点C的纵坐标为t2t， ∴矩形ABCD的周长＝2（AB+BC） ＝2[（10﹣2t）+（t2t）] t2+t+20 （t﹣1）2， ∵0， ∴当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为； （3）如图，连接AC，BD相交于点P，连接OC，取OC的中点Q，连接PQ， ∵t＝2， ∴B（2，0）， ∴A（8，0）， ∵BC＝4． ∴C（2，﹣4）， ∵直线GH平分矩形ABCD的面积， ∴直线GH过点P， 由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形， ∴PQ＝CH， ∵四边形ABCD是矩形， ∴点P是AC的中点， ∴P（5，﹣2）， ∴PQOA， ∵OA＝8，CH＝PQOA＝4， ∴抛物线向右平移的距离是4个单位 【总结提升】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点． 【变式训练】 1．（2025•宿城区二模）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点E为线段BC上任意一点（不与端点重合），过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以EF、FG为邻边构造矩形EFGH．设点E的横坐标为m，矩形EFGH的周长为L． ①求L关于m的函数表达式； ②若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，请直接写出t的取值范围． 【思路引领】（1）由待定系数法可求出答案； （2）①求出E（m，﹣m+4），F（m，﹣m2+3m+4），则，分两种情况由矩形的性质可得出答案； ②先根据①的结论画出L的图形，根据题意结合图形即可得出答案． 【完整解答】解：（1）由条件可得， 解得， ∴y＝﹣x2+3x+4； （2）①抛物线y＝﹣x2+3x+4对称轴为直线，与y轴交于点C（0，4）． ∴直线BC的表达式为y＝﹣x+4， ∴设E（m，﹣m+4）， ∵过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以EF、FG为邻边构造矩形EFGH， ∴F（m，﹣m2+3m+4），G（3﹣m，﹣m2+3m+4）， ∴， 分以下两种情况讨论： 当（点E在点H左侧，如图1所示），FG＝3﹣2m，L＝﹣2m2+4m+6， 当时，点E在H右侧，如图2所示，FG＝2m﹣3，L＝2（EF+FG）＝2（﹣m2+4m+2m﹣3）＝﹣2m2+12m﹣6， ∴； ②L关于m的函数图象如图所示， 当时，L＝﹣2m2+4m+6＝﹣2（m﹣1）2+8≤8， 当时，， 由图象可知，若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，则t的取值范围7.5＜t＜8． 【总结提升】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，矩形的性质，数形结合的运用．熟练掌握以上知识点是关键． 类型六 二次函数与菱形综合 【典例6】（2025•沛县开学）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，在x轴上有一动点D，平面内是否存在一点E，使以点A、D、C、E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． （3）如图2，点M为抛物线上的一动点，若点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值． 【思路引领】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为yx2x+2； （2）设D（t，0），E（m，n），求出C（0，2），分三种情况：①以AC，DE为对角线，可得，②以AD，CE为对角线，可得，③以AE，CD为对角线，可得，分别解方程组可得答案； （3）设M（x，x2x+2），求出直线AC解析式为yx+2，AC2，可得N（x，x+2），故MNx2x+2﹣（x+2）x2﹣2x，由MN∥y轴，MQ∥x轴，证明△MQN∽△OAC，知，故MQ＝2MN，NQMN，从而C△MNQ＝MN+MQ+NQ＝MN+2MNMN＝（3）MN＝（3）×（x2﹣2x）（x+2）2+6+2，由二次函数性质可得答案． 【完整解答】解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+2得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为yx2x+2； （2）平面内存在一点E，使以点A、D、C、E为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设D（t，0），E（m，n）， 在yx2x+2中，令x＝0得y＝2， ∴C（0，2）， 又A（﹣4，0）， ①以AC，DE为对角线，则AC，DE的中点重合，且AD＝CD， ∴， 解得， ∴E（，2）； ②以AD，CE为对角线，则AD，CE的中点重合，且AC＝CD， ∴， 解得或（此时A，D重合，舍去）； ∴E（0，﹣2）； ③以AE，CD为对角线，则AE，CD的中点重合，且AC＝AD， ∴， 解得或， ∴E（2，2）或（﹣2，2）； 综上所述，E的坐标为（，2）或（0，﹣2）或（2，2）或（﹣2，2）； （3）设M（x，x2x+2）， ∵A（﹣4，0），C（0，2）， ∴OA＝4，OC＝2，直线AC解析式为yx+2， ∴AC2，N（x，x+2）， ∴MNx2x+2﹣（x+2）x2﹣2x， ∵MN∥y轴，MQ∥x轴， ∴∠MNQ＝∠ACO，∠MQN＝∠CAO， ∴△MQN∽△OAC， ∴， ∴MQOA4＝2MN，NQAC2MN， ∴C△MNQ＝MN+MQ+NQ＝MN+2MNMN＝（3）MN， ∵MNx2﹣2x， ∴C△MNQ＝（3）×（x2﹣2x）（x+2）2+6+2， ∵0， ∴x＝﹣2时，C△MNQ取最大值6+2； ∴△MNQ周长的最大值为6+2． 【总结提升】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，菱形判定与性质，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用和用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 【变式训练】 1．（2025•沛县三模）如图，已知直线yx﹣3与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线yx2+bx+c的顶点是（2，﹣1），且与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，P是抛物线上一个动点，过点P作PG⊥AB于点G． （1）求二次函数的解析式； （2）当点P运动到何处时，线段PG的长取得最小值？最小值为多少？ （3）若点M是抛物线对称轴上任意点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请你说明理由． 【思路引领】（1）用待定系数法即可求解； （2）设点P的横坐标为m，得PH，则PH有最小值，进而求解； （3）分CD为菱形的边、CD为菱形的对角线两种情况，利用数形结合的方法分别求解即可． 【完整解答】解：（1）由题意得：抛物线为， 整理得， 故二次函数的解析式为； （2）把x＝0代入，得y＝﹣3， ∴点B的坐标为（0，﹣3）． 把y＝0代入， 得， ∴点A的坐标为． ∴， ∴， 如图1，过点P作PH⊥x轴交AB于点H， 则有PH∥OB， ∴∠PHC＝∠ABO， ∴， 设点P的横坐标为m，则，， ∴， ∵， ∴当时，PH有最小值，最小值为， 此时PG有最小值， 当时，， 此时点P的坐标为； （3）存在，理由： 由题意知，抛物线的对称轴为， 把y＝0代入， 得或， ∴， ∴． I．如图2，当以CD为菱形的边时，MN平行且等于CD． 若点N在对称轴右侧， ∵， ∴， 把代入，得y＝3， ∴点N的坐标为． ∵． ∴， ∴四边形MNDC为菱形． 即符合题意． 同理可知，当N的坐标为（0，3）时，四边形MNCD也为菱形． II．如图3，当CD为菱形的对角线时， 根据菱形的对角线互相垂直平分，可得对称轴垂直平分CD， 所以M，N在对称轴上． 又因为点N在抛物线上， 所以点N为抛物线的顶点， 所以点N的坐标为． 综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）． 【总结提升】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 2．（2025•滨湖区一模）已知，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣1，0），函数图象的对称轴经过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）连接AC，BC，若点P为直线BC下方的函数图象上一动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，PD交BC于点E． ①点F为线段DE上一动点，FG⊥y轴，垂足为点G，点H为线段AC上一动点，连接CP，BF，GH．当△BCP的面积最大时，求BF+FG+GH的最小值； ②在y轴上是否存在点T，使以P、E、C、T为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路引领】（1）由待定系数法即可求解； （2）①将点B的坐标向右平移1个单位（GF的长度为1）得到D，作DG⊥AC交BC于点H，交y轴于点G，则此时BF+FG+GH最小，即可求解； ②当PE为边时，由PE＝DE，即﹣m2+2mm，则m＝0（舍去）或22，即可求解；当CE为对角线时，同理可解． 【完整解答】解：（1）A（﹣1，0），函数图象的对称轴经过点，则点B（2，0）， 则抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣2）， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣2； ①△BCP的面积OB×PE＝PE， 则PE最大时，△BCP的面积最大， 设点E（m，m﹣2），则点P（m，m2﹣m﹣2），则PE＝﹣m2+2m＝﹣m2+2m﹣1+1＝﹣（m﹣1）2+1≤1， 故当m＝1时，PE最大时，即△BCP的面积最大，则点P（1，﹣2），则点D（1，0）， 将点B的坐标向右平移1个单位（GF的长度为1）得到D，作DG⊥AC交BC于点H，交y轴于点G，则此时BF+FG+GH最小， 理由：BD＝1＝GF且BD∥GF，则四边形GFBD为平行四边形，则BF＝DG， 则BF+FG+GH＝DG+GH+FG＝DH+1为最小， 由点A、C的坐标得，tan∠OAC＝2，则sin∠OAC， 则HD＝ADsin∠OAC， 则BF+FG+GH最小值为1； ②当PE为边时，如下图： 设点E（m，m﹣2），则点P（m，m2﹣m﹣2）， 由P、C、E的坐标得，PE＝﹣m2+2m，CEm，CP2＝m2+（m2﹣m）2， 则PE＝DE，即﹣m2+2mm，则m＝0（舍去）或2， 则CEm＝22＝TC， 则点T（0，﹣2）； 当CE为对角线时， 则CP＝PE，则（﹣m2+2m）2＝m2+（m2﹣m）2， 解得：m＝1（不合题意的值已舍去）， 则CT＝PE＝﹣m2+2m＝1， 则点T（0，﹣1）， 综上，T（0，﹣2）或（0，﹣1）． 【总结提升】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 类型七 二次函数与正方形综合 【典例7】（2022秋•慈溪市期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+6x+c的对称轴与x轴交于点A，在直线AB：y＝kx+3上取一点B，使点B在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形为正方形，则c的值为　﹣5或﹣7　 ． 【思路引领】根据抛物线的对称轴求得A的坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式，从而求得B的坐标，然后分AB是正方形的对角线和正方形的边两种情况调查Q的坐标，代入抛物线解析式即可求得c的值． 【完整解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+6x+c的对称轴与x轴交于点A， ∴A（3，0）， ∵点A在直线AB：y＝kx+3上， ∴0＝3k+3，解得k＝﹣1， ∴直线AB为y＝﹣x+3， ∵点B在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7， ∴x﹣3+x＝7，解得x＝5， ∴B（5，﹣2）， ∴B到对称轴的距离为5﹣3＝2，B到x轴的距离为2， 当AB是正方形对角线时，P（3，﹣2），则Q（5，0）， 当AB是正方形的边时，P（3，﹣4），则Q（1，﹣2） ∵点Q在抛物线上， ∴把Q（5，0）代入y＝﹣x2+6x+c得，0＝﹣25+30+c，解得c＝﹣5； 把Q（1，﹣2）代入y＝﹣x2+6x+c得，﹣2＝﹣1+6+c，解得c＝﹣7； ∴，c的值为﹣5或﹣7， 故答案为﹣5或﹣7． 【总结提升】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正方形的性质，求得B的坐标进而表示出Q的坐标是解题的关键． 【变式训练】 1．（2025•钟楼区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1，求t的值； （3）若点P、Q在直线AB上，问：在该二次函数图象上是否存在点M，N，使得四边形PQMN是正方形？若存在，请直接写出PQ的长；若不存在，请说明理由． 【思路引领】（1）由待定系数法即可求解； （2）当﹣1≤x≤t时，x＝﹣1时，y取得最小值，则x＝t时，y取得最大值，即可求解； （3）分两种情况讨论：MN在PQ上方时或MN在PQ下方时，利用直线AB和x轴的夹角为45°，建立方程求解即可． 【完整解答】解：（1）∵A（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， 则抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a＝ax2+bx+3， ∴﹣3a＝3， ∴a＝﹣1， 则抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3． （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小， ∵当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1， ∴﹣1＜t≤3． ①若﹣1＜t≤1， 当x＝t时，函数有最大值， 即2t﹣1＝﹣t2+2t+3， 解得t＝﹣2或t＝2，均不符合题意，舍去； ②若1＜t≤3， 当x＝1时，函数有最大值， 即2t﹣1＝﹣12+2+3＝4， 解得． 综上，． （3）∵PQMN是正方形，设正方形的边长为， 当MN在AB上方时，如图， 设直线MN交y轴于点T，作AG⊥MN于点G， 由点A、B的坐标知，直线AB和x轴的夹角为45°， 则BTBGm＝m， 故设直线MN的表达式为：y＝﹣x+3+m（m＞0）， 联立上式和抛物线的表达式得：﹣x2+2x+3＝﹣x+3+m， 整理得x2﹣3x+m＝0， 则x1+x2＝3，x1x2＝m， ∴， ∵直线MN和x轴的夹角为45°，则， 即， 解得：m＝﹣18（舍去）或2， ∴； 当MN在AB下方时， 同理可得：， 解得：m＝18或﹣2（舍去）， ∴； 故PQ的长度为：或． 【总结提升】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$