第十七章 专题训练十三　利用勾股定理解决折叠问题 同步练 2025-2026学年 冀教版（2024）八年级数学上册

专题训练十三　利用勾股定理解决折叠问题 直角三角形中的折叠 1.如图,在Rt△ABC中,直角边AC=6,BC=8,将△ABC按如图方式折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则CD的长为 (　　) A. B. C. D. 2.如图,在Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使点A与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为 (　　) A.4 B.3 C.2 D.5 3.如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,将△ABC折叠,使点B恰好落在边AC上,与点B'重合,AE为折痕,求B'E的长. 长方形(正方形)中的折叠 4.如图所示,在长方形纸片ABCD中,AD=4 cm,把纸片沿直线AC折叠,点B落在E处,设AE交DC于点O,若OC=5 cm,则CD的长为 (　　) A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.10 cm 5. 如图，四边形0ABC是矩形，点A的坐标为(8，0)，点C的坐标为(04.4),把矩形0BC沿0B折叠,点C落在点D处,则点D的纵坐标为( ) A.-2 B.-2.4 C.-2 D.-2 6.如图,在长方形ABCD中,AB=5,BC=4,将长方形折叠,使得点B落在线段CD的点F处,则线段BE的长为　　　　.  7.如图所示,正方形纸片ABCD的边长为3,点E,F分别在边BC,CD上,将AB,AD分别沿AE,AF折叠,点B,D恰好都落在点G处,已知BE=1,求EF的长. 8.(新考法)如图所示,在长方形纸片ABCD中,AD>AB,AD=9 cm, AB=3 cm,将其折叠,使点D与点B重合. 求:(1)DE的长. (2)以折痕EF为边的正方形面积. 9. 已知，如图，点E是长方形ABCD的边CD上一点，将ADE沿着AE对折,点D恰好折叠到边BC上的F点,若AD=10,AB=8,那么AE=________ 【详解答案】 1.C　解析:根据折叠方法,得直线DE垂直平分AB,则AD=BD,设CD=x,则AD=BD=8-x,在Rt△ACD中,根据勾股定理得AD2=AC2+CD2,即(8-x)2=62+x2,解得x=.故选C. 2.A　解析:根据折叠方法,得AN=DN,BD=CD,设BN=x,则DN=9-x,BD=BC=3,在Rt△NBD中,根据勾股定理得DN2=BN2+BD2,即(9-x)2=x2+32,解得x=4.故选A. 3.解:根据折叠方法,得BE=B'E,AB'=AB=3,∠AB'E=∠B=90°. 设B'E=BE=x,则CE=BC-BE=4-x. ∵∠B=90°,AB=3,BC=4, ∴在Rt△ABC中,根据勾股定理得 AC==5. ∴B'C=AC-AB'=5-3=2. 在Rt△B'EC中,根据勾股定理,得 B'E2+B'C2=CE2,即x2+22=(4-x)2,解得x=1.5. ∴B'E=1.5. 4.C　解析:根据折叠方法,得∠BAC=∠EAC,又AB∥CD,所以∠OCA=∠BAC=∠OAC,所以△AOC是等腰三角形,且OA=OC,在Rt△AOD中,根据勾股定理,得AD2+OD2=AO2,即42+OD2=52,解得OD=3,则CD=OD+OC=8 cm.故选C. 5. 解∵点A的坐标为(8，0)，点C的坐标为(0，4) ∴0A=8，OC=4， 由折叠得: ∠CBO=∠DBO，OD=OC=4，BD=BC，∠ODB=∠OCB ∵四边形 ABCO 是矩形， ∴BC//OA，0C=AB=4，∠OCB=∠BAO=90°，BC=OA=8, ∴ ∠CBO=∠BOA，∠ODE=90° BD=OA, ∴∠DBO=∠BOA, ∴ BE=OE, ∴DE=AE, 设AE=，则BE=OE=8-, 在 Rt△ABE 中，根据勾股定理得: + = 解得:=3， 即 OE=5，DE=AE=3, 过D作DF⊥OA于F, ∵ ∴DF==2.4 ∴点D的纵坐标为-2.4. 6. 2.5　解析:∵四边形ABCD是长方形,∴∠B=∠D=90°,根据折叠方法,得AF=AB=5,AD=BC=4,EF=BE,在Rt△ADF中,根据勾股定理,得DF=3.在长方形ABCD中,∵CD=AB=5,∴CF=CD-DF=2.设CE=x,则EF=4-x.在Rt△CEF中,根据勾股定理,得CE2+CF2=EF2,即x2+22=(4-x)2.解得x=1.5.∴BE=BC-CE=4-1.5=2.5. 7.解:∵正方形纸片ABCD的边长为3, ∴∠C=90°,BC=CD=3. 根据折叠方法,得EG=BE=1,GF=DF. 设DF=x,则EF=EG+GF=1+x,CF=CD-DF=3-x,CE=BC-BE=3-1=2. 在Rt△ECF中,根据勾股定理,得EF2=EC2+FC2,即(x+1)2=22+(3-x)2,解得x=. ∴DF=. ∴EF=1+. 8.解:(1)根据折叠方法,得BE=DE. 设DE=BE=x cm,则AE=AD-DE=(9-x) cm. ∵四边形ABCD是长方形, ∴∠A=90°. 在Rt△ABE中,根据勾股定理,得AE2+AB2=BE2,即(9-x)2+32=x2,解得x=5, 即DE=5 cm. (2)设CF=C'F=y cm,同(1)可得CF=4 cm,BF=5 cm, 作EG⊥BC于点G,如图所示. ∴∠EGF=90°, ∴△EGF是直角三角形. ∴EG=AB=3 cm,BG=AE=4 cm. ∴GF=BF-BG=5-4=1(cm). 在Rt△EGF中,根据勾股定理,得 EF2=EG2+GF2=32+12=10. ∴以EF为边的正方形面积为EF2=10 cm2. 9.解：∵四边形 ABCD 是矩形, ∴BC=AD=10，CD=AB=8，∠B=∠C=∠D=90° ∵将△AADE 沿着AE对折，点D恰好折叠到边BC上的F点 ∴ AF=AD=10，∠AFE=∠D=90° ∴ BF== =6 ∴ CF=4 ∵EF=DE=8-CE, ∴ ∴ CE=3, ∴ EF=5 ∴ AE===5 学科网（北京）股份有限公司 $$