1.5.2点到直线的距离同步练习-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

1.5.2　点到直线的距离 基础过关练 题组一　点到直线的距离 1.已知点M(0,2),点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,则MP的最小值是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 2.若点P(1,n)(n∈N*)到直线4x-3y+1=0的距离不超过,则n=(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 3.(多选题)已知直线l经过点(2,3),且点A(-3,2),B(5,-4)到直线l的距离相等,则直线l的方程可能为(　　) A.4x-y-5=0　　　　B.4x+y-11=0 C.3x+4y-18=0　　　　D.3x-4y+6=0 4.已知l:3x+4y+6=0,P(m,n)为l上一动点,则(m+1)2+n2的最小值为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 5.(多选题)已知点A,B分别在直线l1:3x-4y+6=0与l2:3x-4y+10=0上移动,则线段AB的中点P到坐标原点O的距离可能为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 题组二　两条平行线间的距离 6.已知直线l1:3x-4y+7=0与直线l2:(m-1)x-8y+1-m=0(m∈R)平行,则l1与l2之间的距离为(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 7.若两平行直线l1:x+2y+m=0(m>0)与l2:2x-ny-6=0之间的距离是,则m+n=(　　) A.-12　　　　B.2　　　　C.0　　　　D.-2 8.若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上的任意一点,则PQ的最小值为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 9.已知直线l与直线l1:3x+5y-4=0和l2:3x+5y+6=0之间的距离相等,则l的方程是　　　　　　.  10.已知直线l过直线x+y-1=0和2x-3y+8=0的交点P,且与直线m:4x+y-3=0平行. (1)求直线l的方程; (2)求直线l与直线m之间的距离. 能力提升练 题组　距离公式的综合应用 1.(多选题)已知直线l1:(a+2)x+y+a+1=0与l2:3x+ay-2a=0,则下列说法正确的是(　　) A.直线l1恒过第二象限 B.坐标原点O到直线l1的最大距离为 C.若l1⊥l2,则a= D.若l1∥l2,则l1与l2之间的距离为 2.已知点P(m,1)(m>0),直线y=-x+2与x轴,y轴分别交于点A,B.若以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC,使得△ABP和△ABC的面积相等,则m=(　　) A.5　　　　B.3 C.　　　　D.2 3.∀x,y∈R,函数f(x,y)=+|3x+4y-5|的最小值为(　　) A.2　　　　B.　　　　C.　　　　D. 4.过点P(2,0)有一条直线l,它夹在两条直线l1:2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段恰好被点P平分,则三条直线围成的三角形面积为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 5.若恰有三组不全为0的实数对(a,b)满足关系式|2a+b+1|=|a-5b-1|=t,写出符合条件的实数t的一个取值:　　　　　　.  6.如图,A,B是射线OM,ON上的两点,点Q是线段AB上一点,点Q到直线OM,ON的距离分别为2,.测得tan∠MON=-3,OA=6.以O为坐标原点,直线OM为x轴,建立如图所示的直角坐标系,点Q在第一象限内. (1)求点Q的坐标; (2)设点P在第一象限内,PQ⊥OM,且PQ=6,求线段AB上一动点C离点P最近时的坐标. 7.已知三条直线l1:2x-y+a=0,l2:4x-2y-1=0,l3:x+y-1=0,且原点到直线l1的距离是. (1)求a的值; (2)若a>0,是否存在一点P,使P同时满足:①点P在第一象限内;②点P到l2的距离是点P到l1的距离的2倍;③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由. 答案与分层梯度式解析 1.5.2　点到直线的距离 基础过关练 1.A 2.B 3.AC 4.C 5.CD 6.A 7.D 8.C 1.A　MP的最小值即点M(0,2)到直线2x+y-1=0的距离,为=. 2.B　因为点P(1,n)到直线4x-3y+1=0的距离不超过, 所以≤,即|5-3n|≤1,解得≤n≤2,又n∈N*,所以n=2. 3.AC　当直线l的斜率不存在时,显然不满足题意. 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0. 由已知得=,解得k=4或k=-,所以直线l的方程为4x-y-5=0或3x+4y-18=0. 4.C　(m+1)2+n2表示P(m,n)与(-1,0)之间距离的平方, 因为点(-1,0)到直线l的距离为=,所以(m+1)2+n2的最小值为. 5.CD　设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y), 则由A在l1上,B在l2上得两式相加得3(x1+x2)-4(y1+y2)+16=0,即6x-8y+16=0,即3x-4y+8=0,∴点P在直线3x-4y+8=0上, ∴点P到原点的距离的最小值就是原点到直线3x-4y+8=0的距离,即=, ∴P到坐标原点O的距离大于或等于.故C,D满足题意. 6.A　∵l1∥l2,∴3×(-8)-(-4)×(m-1)=0,解得m=7, ∴直线l2:6x-8y-6=0,即3x-4y-3=0, ∴l1与l2之间的距离d==2. 易错警示 应用两平行线间的距离公式时,两直线方程中x,y的系数要对应相等,如果不相等,要先化为相等系数,再应用公式解决问题. 7.D　因为l1与l2平行,所以2=≠,由m>0知≠2恒成立,由2=,得n=-4,则l2:2x+4y-6=0,即x+2y-3=0. 又l1与l2之间的距离为,所以=, 即|m+3|=5,解得m=2或m=-8(舍去), 故m+n=2+(-4)=-2. 8.C　因为=≠-,所以两直线平行, 将方程3x+4y-12=0化为6x+8y-24=0, 由题意可知PQ的最小值为这两条平行直线间的距离, 即=,所以PQ的最小值为. 9.答案　3x+5y+1=0 解析　由题意可得l∥l1∥l2,且l在l1与l2之间,故可设直线l的方程为3x+5y+c=0(-4<c<6), 因为l与直线l1和l2之间的距离相等,所以=,解得c=1,故直线l的方程为3x+5y+1=0. 10.解析　(1)联立解得即点P(-1,2),因为直线m的斜率为-4,且l∥m,所以直线l的方程为y-2=-4(x+1),即4x+y+2=0. (2)直线l与直线m之间的距离为=. 能力提升练 1.ABD 2.A 3.C 4.B 1.ABD　对于A,直线l1:(a+2)x+y+a+1=0可化为a(x+1)+(2x+y+1)=0, 令解得即直线l1恒过点(-1,1),该点在第二象限内,所以直线l1恒过第二象限,故A正确. 对于B,由A中分析知直线l1恒过点(-1,1),设为A,连接OA,易知当OA⊥l1时,坐标原点O到直线l1的距离最大,为OA==,故B正确. 对于C,若l1⊥l2,则3(a+2)+a=0,解得a=-,故C错误. 对于D,若l1∥l2,则=≠,由=,整理得a2+2a-3=0,解得a=1或a=-3, 当a=1时,=,=-1,满足=≠;当a=-3时,两直线重合,不满足题意. 所以直线l1:3x+y+2=0,l2:3x+y-2=0,所以l1与l2之间的距离为==,故D正确. 2.A　如图所示,直线y=-x+2与x轴,y轴分别交于点A(2,0),B(0,2),易知AB=4,若以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC,则AB边上的高为2,若要使得△ABP和△ABC的面积相等,则点P(m,1)(m>0)到直线AB的距离d=2,即=2,解得m=5(舍负). 3.C　设点A(x,y),B(1,4),直线l:3x+4y-5=0,A到l的距离为d1,易知f(x,y)=AB+d1,作BM⊥l于M, 则AB+d1≥MB==,当且仅当A在MB上时取得等号. 4.B　设直线 l 与直线 l1,l2 的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2), 因为线段AB被点P平分,所以 x1+x2=4,y1+y2=0,即x2=4-x1,y2=-y1, 由A在l1上,B在l2上,可得 解得即A(3,4),所以B(1,-4), 联立解得即l1与l2的交点为-,-,设为C,则BC==, 又点A到直线l2的距离为=5, 所以三条直线围成的三角形面积S=××5=. 5.答案　(答案不唯一) 解析　由|2a+b+1|=|a-5b-1|=t, 得==t,可以看成恰有三条不过原点的直线l:ax+by+1=0满足A(2,1),B(-1,5)到该直线的距离相等. 当AB∥l时,kAB==-=-,则=,此时t>0,有2条满足题意的直线l, ∵a,b不全为0,∴l不过原点,当l过原点时,方程为4x+3y=0,此时t==,故当t=且AB∥l时,有1条直线满足条件; 当l过线段AB的中点且不垂直于AB时,有2条满足题意的直线l,∵a,b不全为0,∴l不过原点,当l过原点和线段AB的中点时,方程为6x-y=0,此时t==,故当t=且l过线段AB的中点且不垂直于AB时,有1条直线满足条件; 当l过线段AB的中点且l⊥AB时,t=AB=×=,有1条直线满足条件. 综上,当t=或t=或t=时,满足题意. 小题速解 本题是填空题,很容易想到当l过线段AB的中点且l⊥AB时的情况,可以直接计算这种情况下t的值. 6.解析　(1)由题意可得射线ON所在直线的斜率k=tan∠MON=-3,则直线ON的方程为y=-3x,即3x+y=0, 由点Q到直线OM的距离为2,且直线OM为x轴,可设Q(x,2),0<x<6, 由点Q到直线ON的距离为,得=,解得x=4或x=-(舍去),所以点Q的坐标为(4,2). (2)由PQ⊥OM,且PQ=6,可得P(4,8),易知当PC⊥AB时,C距离P最近, 设C(a,b),则kPC=,由题意可得A(6,0),且Q(4,2)在直线AB上,所以kAB==-1, 由PC⊥AB,得kAB·kPC=-1,即kPC=1,即b-8=a-4,即b=a+4. 易得直线AB的方程为y=-x+6,即x+y-6=0,则点P到直线AB的距离d==3,即PC=3, 所以=3,所以2(a-4)2=18,解得a=1或a=7, 因为C在线段AB上,所以a=1,所以b=5,所以满足条件的点C的坐标为(1,5). 7.解析　(1)因为原点到直线l1的距离是,所以=,所以|a|=3,所以a=±3. (2)存在.设点P(m,n)(m>0,n>0), 由(1)结合题意得a=3,所以直线l1:2x-y+3=0. 由点P到l2的距离是点P到l1的距离的2倍得=2×, 即|4m-2n-1|=4×|2m-n+3|=|8m-4n+12|, 所以4m-2n+13=0或12m-6n+11=0. 由点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶,得=,化简得|2m-n+3|=|m+n-1|, 所以m-2n+4=0或3m+2=0(舍去). 联立解得(舍去); 联立解得 故存在满足条件的点P. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$