1.2.3　直线的一般式方程同步练习-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

1.2.3　直线的一般式方程 基础过关练 题组一　直线的一般式方程 1.下列说法错误的是(　　) A.平面上任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)表示 B.当C=0时,方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)表示的直线过原点 C.当A=0,B≠0,C≠0时,方程Ax+By+C=0表示的直线与x轴平行 D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 2.直线l:x-y+2=0与y轴交于点A,将l绕点A顺时针旋转15°得到直线m,则直线m的一般式方程为　　.  3.(教材习题改编)已知直线3x1+4y1=1和3x2+4y2=1,且x1≠x2,则经过A(x1,y1),B(x2,y2)两点的直线l的一般式方程为　.  4.已知直线l的方程为xsin α+y -1=0,α∈R,则直线l的倾斜角的范围是　　　.  5.若点(1,2)在直线ax+by-1=0上(其中a,b都是正实数),则+的最小值为　　　　.  6.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值. (1)直线l在x轴上的截距为2; (2)直线l的斜率为1. 题组二　直线方程几种形式的相互转化 7.直线x-y-1=0的倾斜角为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 8.若直线的截距式方程+=1化为斜截式方程为y=-2x+b,化为一般式方程为bx+ay-8=0(a>0),则a+b=(　　) A.-2　　　　B.2　　　　C.6　　　　D.8 9.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.若abc≠0,且直线ax+by+c=0不经过第二象限,则ab>0,bc<0 B.方程(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0(λ∈R)表示的直线都经过点(2,1) C.直线m2x+y+2=0(m∈R)不可能与y轴垂直 D.直线3x+3y-1=0在两坐标轴上的截距相等 10.已知直线l1:ax+2y-12=0,直线l2过点A(-4,1),　　　　.  在①直线l2的斜率是直线y=-x的斜率的2倍,②直线l2不过原点且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍这两个条件中任选一个,补 充在上面的横线中,并解答下列问题. (1)求l2的一般式方程; (2)若l1与l2在x轴上的截距相等,求a的值. 能力提升练 题组　直线方程的综合应用 1.已知直线l的倾斜角的余弦值为-,且经过点(2,1),则直线l的方程为(　　) A.2x+y-5=0　　　　B.2x-y-3=0 C.x-2y=0　　　　D.x+2y-4=0 2.已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l:mx+y-m-1=0与线段AB相交,则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞,-4]∪ B.∪[4,+∞) C. D. 3.(多选题)已知直线l过点(0,4),且与直线x-y+4=0以及x轴围成一个等腰三角形,则直线l的方程可能为(　　) A.x+y-4=0　　　　B.x-y+4=0 C.x-y+3=0　　　　D.x-3y+12=0 4.(教材伸延拓展)设直线l经过点P0(x0,y0),若v=(m,n)是它的一个方向向量,P(x,y)(x≠x0)是直线l上任意一点,则向量与v共线,根据向量共线的充要条件,存在唯一的实数t,使=tv,即(x-x0,y-y0)=t(m,n),所以我们把该式称为直线的参数方程.若直线的参数方程为(t为参数),则其倾斜角为　　　　.  5.设直线l的方程为(a+1)x+y-5-2a=0(a∈R). (1)求证:无论a为何值,直线l必过一定点; (2)若直线l分别与x轴正半轴,y轴正半轴交于点A(xA,0),B(0,yB),求当△AOB(O为坐标原点)面积最小时的直线l的方程; (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时,求直线l的方程. 6.已知t∈(0,5],由t确定两个点P(t,t),Q(10-t,0). (1)写出直线PQ的方程(用含t的式子表示); (2)如图,在△OPQ内作内接正方形ABCD,顶点A,B在边OQ上,顶点C在边PQ上.若OA=a,当正方形ABCD的面积最大时,求a,t的值. 答案与分层梯度式解析 1.2.3　直线的一般式方程 基础过关练 1.D 7.A 8.C 9.BD 1.D　每一条直线都有倾斜角α,当α≠90°时,直线的斜率k存在,其方程可写成y=kx+b,变形为kx-y+b=0,此时A=k,B=-1,C=b;当α=90°时,直线的斜率不存在,其方程可写成x=x1,变形为x-x1=0,此时A=1,B=0,C=-x1,显然A,B不同时为0,A中说法正确. 当C=0时,方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)即为Ax+By=0,显然有A·0+B·0=0,即直线过原点,B中说法正确. 当A=0,B≠0,C≠0时,方程Ax+By+C=0可化为y=-,它表示的直线与x轴平行,C中说法正确. 易知D中说法错误. 2.答案　x-y+2=0 解析　在x-y+2=0中,令x=0,得y=2,所以A(0,2), 又直线l的斜率为,所以倾斜角为60°, 所以直线m的倾斜角为45°, 所以直线m的斜率为tan 45°=1,所以直线m的方程为y=x+2,即x-y+2=0. 3.答案　3x+4y-1=0 解析　由3x1+4y1=1,3x2+4y2=1, 得点A(x1,y1)在直线3x+4y-1=0上, 点B(x2,y2)在直线3x+4y-1=0上, 即A,B都在直线3x+4y-1=0上, 因为两点确定一条直线,所以由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线的方程为3x+4y-1=0. 4.答案　∪ 解析　由题意得直线l的斜率k=-sin α∈, 设直线l的倾斜角为θ(0≤θ<π),则k=tan θ∈, 当k∈时,θ∈;当k∈时,θ∈. 综上所述,直线l的倾斜角的取值范围是∪. 5.答案　3+2 解析　把点(1,2)代入直线方程得a+2b=1(a>0,b>0),则+=(a+2b)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=且a+2b=1,即a=2-,b=时取等号,故+的最小值为3+2. 6.解析　(1)由题得解得m=0.故当m=0时,直线l在x轴上的截距为2. (2)由题意得解得m=. 故当m=时,直线l的斜率为1. 7.A　直线x-y-1=0即y=x-,设其倾斜角为α,则直线的斜率为tan α=, 因为0≤α<π,所以α=. 8.C　由+=1得y=-x+b,即bx+ay-ab=0, 所以解得所以a+b=6. 9.BD　对于A,因为abc≠0,所以ax+by+c=0可化为y=-x-, 若直线不经过第二象限,则即ab<0,bc>0,故A错误; 对于B,(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0(λ∈R)可化为(x-2y)·λ+2x+y-5=0(λ∈R), 由得所以直线过定点(2,1),故B正确; 对于C,当m=0时,直线方程为y=-2,此时直线与y轴垂直,故C错误; 对于D,直线3x+3y-1=0在两坐标轴上的截距均为,故D正确. 10.解析　(1)选择①:由题意可得直线l2的斜率存在,设其方程为y-1=k(x+4), 因为直线l2的斜率是直线y=-x的斜率的2倍,所以k=-, 所以直线l2的方程为y-1=-(x+4),即x+2y+2=0. 选择②:由题意可设直线l2的方程为+=1,m≠0, 因为直线l2过点A(-4,1),所以+=1,解得m=-1. 所以直线l2的方程为+=1,即x+2y+2=0. (2)由(1)可知直线l2的方程为x+2y+2=0,令y=0,得x=-2, 所以直线l2在x轴上的截距为-2,所以直线l1在x轴上的截距为-2. 故直线l1过点(-2,0),代入ax+2y-12=0,得-2a+2×0-12=0,解得a=-6. 能力提升练 1.A 2.B 3.AD 1.A　设直线l的倾斜角为θ,则θ∈[0,π),cos θ=-,所以sin θ==, 则直线l的斜率k=tan θ==-2,又直线l经过点(2,1), 所以直线l的方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0. 2.B　mx+y-m-1=0可化为y=m(1-x)+1,所以直线l过定点(1,1),记为P, 易得kPA==-4,kPB==,直线l的斜率为-m, 由图可知,直线l的斜率的取值范围是(-∞,-4]∪, 所以实数m的取值范围是∪[4,+∞). 3.AD　设(0,4)为点A,易知点A(0,4)在直线x-y+4=0上,设直线x-y+4=0与x轴的交点为B,则B, 当直线l的斜率不存在时,易得直线l的方程为x=0,与x轴的交点为O(0,0), 此时OA=4,OB=,AB=,不满足题意,故直线l的斜率存在. 设等腰三角形为△ABC.若△ABC为锐角三角形,则当A为顶角时,有AB=AC,则点B和点C关于y轴对称,所以C, 此时直线l过A,C两点,其方程为+=1,即x+y-4=0. 易得BC=×2==AB=AC, 故此时△ABC是等边三角形,满足以B为顶角或以C为顶角的情况. 若△ABC为钝角三角形,则只能B为顶角,如图, 易知直线AB的倾斜角为,若AB=BC,则∠ACB=,所以直线l的斜率为,此时直线l的方程为y=x+4,即x-3y+12=0. 综上,直线l的方程为x+y-4=0或x-3y+12=0. 4.答案　 解析　由题意得直线的一个方向向量为(sin 30°,cos 30°), 设直线的倾斜角为α(0≤α<π),所以tan α==,所以α=. 5.解析　(1)证明:由(a+1)x+y-5-2a=0,得y=-(a+1)x+5+2a=a(2-x)-x+5, 令x=2,得y=3, ∴无论a为何值,直线l必过定点(2,3). (2)由题意得a≠-1,在(a+1)x+y-5-2a=0中, 令x=0,得yB=5+2a,令y=0,得xA=, 由得a>-1, ∴S△AOB=·(5+2a)·=≥=12, 当且仅当4(a+1)=,即a=时取等号, ∴直线方程为3x+2y-12=0. (3)由题意及(2)得a,5+2a,均为正整数, ∵=2+,∴a=2,∴直线l的方程为3x+y-9=0. 6.解析　(1)令t=10-t,得t=5,此时直线PQ的方程为x=5, 当t≠5时,直线PQ的方程为y-t=(x-t), 即tx+(10-2t)y+t2-10t=0. (2)由P(t,t)和四边形ABCD为正方形可知OA=AD=AB,则A(a,0),B(2a,0),C(2a,a), 当t=5时,由(1)知直线PQ:x=5,此时点B,C均在直线PQ上,故a=;当t∈(0,5)时,由(1)知直线PQ:tx+(10-2t)y+t2-10t=0, 因为点C(2a,a)在直线PQ上, 所以2at+(10-2t)a+t2-10t=0, 所以a=t(10-t)=-(t-5)2+,0<t<5,结合二次函数的图象可知a∈. 要使正方形ABCD的面积最大,只需a的值最大, 易知当t=5时,amax=,此时正方形ABCD的面积最大. 故当正方形ABCD的面积最大时,a=,t=5. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$