精品解析： 河北省邯郸市丛台区育华中学2023-2024学年八年级下学期第三次月考数学试卷（5月份）

2023-2024学年河北省邯郸市丛台区育华中学八年级（下）第三次月考数学试卷（5月份） 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1. 下列函数中，一次函数是（ ） A. B. C. D. 2. 生活中处处皆数学，如图是“左侧通行”交通标识，其中四边形为平行四边形．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 在一个三角形地块中分出一块（阴影部分）种植花草，尺寸如图，则的长度是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，网格中每个小正方形的面积为单位1，则图形C的面积是（ ） A. 6 B. C. D. 13 5. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点D，连接．若，，则的长是（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 6. 如图，小明将一个直径为1个单位长度的圆环（厚度忽略不计）从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，则下列实数与点表示的数最接近的是（ ） A. B. C. D. 7. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠而成，寓意是同心吉祥．如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 若一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. 当时， D. 若，在函数图象上，则 9. 问题背景：如图，AD是的中线，四边形是平行四边形．讨论交流： 小明说：“若，则四边形是矩形．” 小强说：“若，则四边形是菱形．” 下列说法中正确的是（ ） A. 小明不对，小强对 B. 小明对，小强不对 C. 小明和小强都对 D. 小明和小强都不对 10. 如图，一个圆柱体笔筒的内部底面直径是，一支铅笔长为，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，这支铅笔在笔筒外面部分长度为．若这支铅笔斜放入圆柱体笔筒中，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A. B. C. D. 11. 对于题目“如图，在四边形中，，，，对角线的长随形状的改变而变化．当为等腰三角形时，求的面积．”甲给出的答案为8，乙给出的答案为10，丙给出的答案为12，则下列说法正确的是（ ） A. 只有甲的答案正确 B. 只有丙的答案正确 C. 甲、丙两人合起来才正确 D. 乙、丙两人合起来才正确 12. 如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法不正确的是（　　） A. 当x＝2时，y＝5 B. 矩形MNPQ的面积是20 C. 当x＝6时，y＝10 D. 当y＝时，x＝10 二、填空题（每空3分，共12分） 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 14. 若是的三边，且，则的面积为______． 15. 如图，在中，，，，P是边上的一个动点，于点M，于点N，则的最小值为__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2，点的坐标为．若直线与正方形有两个公共点，则的取值范围是____________． 三、简答题（共8道小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，爷爷家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． （1）求出长方形的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植青菜部分的面积． 19. 勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带． （1）应用场景——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线L垂直于，在L上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，求弧与数轴的交点C表示的数． （2）应用场景2——解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时，水平距离m，踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 20. 如图，在平行四边形中，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求线段的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点． （1）的值是 ，的值是 ； （2）求的面积； （3）点是轴上的一点，过作垂直于轴的直线与，的交点分别为，，若点的横坐标为，当时，直接写出的值是 ． 22. 如图①，在中，．动点P沿边以每秒1个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为t（）秒． （1）线段的长为 （用含t的代数式表示）； （2）当平分时，求t的值； （3）如图②，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 23. 红心猕猴桃是凉都特产，其果肉细嫩，口感香甜清爽，营养丰富，被誉为“果中之王”．已知购买甲种红心猕猴桃和乙种红心猕猴桃共花费28元；购买甲种红心猕猴桃和乙种红心猕猴桃共花费46元 （1）求甲、乙两种红心猕猴桃的单价； （2）小李准备购买甲、乙两种红心猕猴桃共，其中乙种红心猕猴桃的质量不少于．请写出本次采购总费用W（元）与乙种红心猕猴桃的质量之间的关系式并求出此次采购的最低费用？ 24. 如图①，已知一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于和． （1）求一次函数的解析式； （2）如图②，小明将一个等腰直角三角尺的直角顶点C放在x轴上，一个底角顶点与点B重合，斜边在线段上，求此时的长； （3）如图③，已知点P是直线上一动点，过点P作直线的垂线，分别交x轴和y轴于点M、N，当时，则P点坐标是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年河北省邯郸市丛台区育华中学八年级（下）第三次月考数学试卷（5月份） 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1. 下列函数中，一次函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的定义，能够熟练掌握一次函数的定义是解决本题的关键． 根据一次函数进行分析判断． 【详解】解：A. 是二次函数，故此选项不符合题意； B. 是一次函数，故此选项符合题意； C. 是反比例函数，故此选项不符合题意； D. 没有自变量，不是一次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 生活中处处皆数学，如图是“左侧通行”交通标识，其中四边形为平行四边形．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出，即可求解． 【详解】解∶∵四边形为平行四边形， ， ∴， 故选D． 3. 在一个三角形地块中分出一块（阴影部分）种植花草，尺寸如图，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意求出是的中位线，然后利用三角形中位线的性质求解即可． 【详解】如图所示， ∵， ∴是的中位线 ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质． 4. 如图，网格中每个小正方形的面积为单位1，则图形C的面积是（ ） A. 6 B. C. D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键． 【详解】解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知： 以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， 所以图形C的面积． 故选：D． 5. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点D，连接．若，，则的长是（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】由作图可知，DN为AC的垂直平分线，求得CD=12，再求出∠DAB=30°，BD=6，问题得解． 【详解】解：由作图可知，DN为AC的垂直平分线， ∴AD=CD=12， ∴∠C=∠CAD=30°， ∵， ∴∠CAB=60°， ∴∠DAB=30°， ∴， ∴BC=BD+CD=18． 故选：C 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、性质，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形性质．由作图得到“DN为AC的垂直平分线”是解题关键． 6. 如图，小明将一个直径为1个单位长度的圆环（厚度忽略不计）从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，则下列实数与点表示的数最接近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，滚动一周，在数轴上的长度为圆的周长，由圆周长公式计算得到，从而，估计，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， ，， ， 结合题中四个选项可知，与点表示的数最接近， 故选：C． 【点睛】本题考查无理数的估算，读懂题意，得到的长度，掌握无理数估算的方法是解决问题的关键． 7. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠而成，寓意是同心吉祥．如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质、正方形的性质，勾股定理，解题的关键是根据平移的性质求出，再利用正方形的性质，在等腰直角三角形中利用勾股定理求出结果． 【详解】解：由平移可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 若一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. 当时， D. 若，在函数图象上，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据一次函数的图象和一次函数的性质，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， 一次函数图象过第一、二、四象限，则，故选项A错误，不符合题意； 令，则，故选项B错误，不符合题意； 当时， ，故选项C正确，符合题意； y随x的增大而减小，，则，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 9. 问题背景：如图，AD是的中线，四边形是平行四边形．讨论交流： 小明说：“若，则四边形是矩形．” 小强说：“若，则四边形是菱形．” 下列说法中正确的是（ ） A. 小明不对，小强对 B. 小明对，小强不对 C. 小明和小强都对 D. 小明和小强都不对 【答案】C 【解析】 【分析】对于小明的说法，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，即，结合矩形的判定定理，判断得出小明的说法正确；对于小强的说法，根据直角三角形斜中半定理，得到，结合菱形的判定定理，判断得出小强的说法正确． 【详解】解：对于小明的说法， ∵，AD是的中线， ∴，即． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形． 故小明的说法正确． 对于小强的说法， ∵，AD是的中线， ∴． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形． 故小强的说法正确． 综上，故选：C． 【点睛】本题考查了三线合一定理，斜中半定理以及矩形和菱形的判定，熟悉以上几何概念、定理是解题的关键． 10. 如图，一个圆柱体笔筒的内部底面直径是，一支铅笔长为，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，这支铅笔在笔筒外面部分长度为．若这支铅笔斜放入圆柱体笔筒中，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，据图先求出，得出这支铅笔在笔筒外面部分长度在之间，即可得出结论． 【详解】解：根据题意可得图形： ， 在中，， ∴， 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在之间， 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 11. 对于题目“如图，在四边形中，，，，对角线的长随形状的改变而变化．当为等腰三角形时，求的面积．”甲给出的答案为8，乙给出的答案为10，丙给出的答案为12，则下列说法正确的是（ ） A. 只有甲的答案正确 B. 只有丙的答案正确 C. 甲、丙两人合起来才正确 D. 乙、丙两人合起来才正确 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质得出或，分两种情况根据勾股定理和等腰三角形的性质求三角形的面积即可得出答案． 【详解】为等腰三角形 或 过点D作交于点E， 当时， 在中， ； 当时， 在中，不成立，故不是三角形； 故选B． 12. 如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法不正确的是（　　） A. 当x＝2时，y＝5 B. 矩形MNPQ的面积是20 C. 当x＝6时，y＝10 D. 当y＝时，x＝10 【答案】D 【解析】 【分析】根据图2可知：PN=4，PQ=5，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】由图2可知：PN＝4，PQ＝5． A、当x＝2时，，故A正确，与要求不符； B、矩形的面积＝MN•PN＝4×5＝20，故B正确，与要求不符； C、当x＝6时，点R在QP上，y＝10，故C正确，与要求不符； D、当y＝时，x＝3或x＝10，故错误，与要求相符． 故选D． 【点睛】本题主要考查的是动点问题的函数图象，根据图2求矩形的长和宽是解题的关键． 二、填空题（每空3分，共12分） 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数非负，解答即可． 【详解】解：根据题意可得：， 解得； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和一元一次不等式的求解，熟知二次根式的被开方数非负是解题的关键． 14. 若是的三边，且，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积，先根据绝对值、平方、二次根式的非负性求出的值，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积公式计算即可，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， 解得，，， ∵， ∴是直角三角形， ∴的面积， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，P是边上的一个动点，于点M，于点N，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，三角形的面积，熟记矩形的判定和性质是解题的关键.连接，证明四边形为矩形，得到，根据垂线段最短，得到时， 最小， 即最小， 等积法求出的长即可. 【详解】连接， ， ， 于点， . 于点， ， ∴四边形为矩形， ， ∴当最小时， 最小， ∴当时，最小， 即最小，此时， 即：， ； ∴的最小值为， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2，点的坐标为．若直线与正方形有两个公共点，则的取值范围是____________． 【答案】﹣2＜b＜2 【解析】 【分析】当直线y=x+b过D或B时，求得b，即可得到结论． 【详解】∵正方形ABCD的边长为2，点A的坐标为（1，1），∴D（1，3），B（3，1）． 当直线y=x+b经过点D时，3=1+b，此时b=2． 当直线y=x+b经过点B时，1=3+b，此时b=﹣2． 所以，直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是﹣2＜b＜2． 故答案为﹣2＜b＜2． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是掌握待定系数法正确求出函数的解析式． 三、简答题（共8道小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）0 （2）1 （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． （1）把二次根式化简后进行加减运算即可； （2）先把除法转化为乘法，再进行计算即可； （3）先计算乘除法，再计算加减即可； （4）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 【小问3详解】 【小问4详解】 18. 如图，爷爷家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． （1）求出长方形的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植青菜部分的面积． 【答案】（1）长方形的周长为； （2）种植青菜部分的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用． （1）利用长方形的周长公式，即可列式作答； （2）长方形的面积减去种植香菜的面积即为种植青菜部分的面积，即可列式作答． 【小问1详解】 解：依题意： 长方形的周长 ， 所以长方形的周长为； 【小问2详解】 解：依题意： 种植青菜部分的面积 ， 所以种植青菜部分的面积为． 19. 勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带． （1）应用场景——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线L垂直于，在L上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，求弧与数轴的交点C表示的数． （2）应用场景2——解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时，水平距离m，踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】（1） （2）7.5m 【解析】 【分析】（1）勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结论； （2）设秋千绳索的长度为xm，在中，利用，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴点C表示的数是； 故答案为：． 【小问2详解】 解：设秋千绳索的长度为xm， 由题意可得xm， 四边形为矩形，， ∴， 在中，， 即 解得； 即的长度为7.5m； 答：绳索的长为7.5m． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 20. 如图，在平行四边形中，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）24 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质及勾股定理， （1）根据平行四边形性质得出，证明，得出即可证明结论； （2）先求出，，根据勾股定理求出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点． （1）的值是 ，的值是 ； （2）求的面积； （3）点是轴上的一点，过作垂直于轴的直线与，的交点分别为，，若点的横坐标为，当时，直接写出的值是 ． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用数形结合思想． （1）先根据直线求出的值，再将点代入直线即可得的值； （2）求出点坐标，结合点坐标，利用三角形面积公式计算即可； （3）求出点和点的纵坐标，再由列关于的方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵直线：经过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：将代入，得：， ∴， ∴， ∴的面积； 【小问3详解】 解：∵点的横坐标为， ∴，， ∵， ∴， 解得或． 22. 如图①，在中，．动点P沿边以每秒1个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为t（）秒． （1）线段的长为 （用含t的代数式表示）； （2）当平分时，求t的值； （3）如图②，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形性质、等腰三角形的判定与性质及一元一次方程的应用， （1）由题意得，进而求出； （2）结合平行四边形性质求出，得出方程求出结论； （3）先得出，分三种情况：当点Q没有到达点B时，当点Q到达点B后，当点Q到达点C后，分别列方程解决． 【小问1详解】 解：∵动点P沿边以每秒1个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为t（）秒， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 在平行四边形中，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，， ∴， 当点Q没有到达点B时，， ∴（不合题意，舍去）； 当点Q到达点B后，返回时，， ∴； 当点Q到达点C后，返回时，， ∴（不合题意，舍去）； 综上所述，t的值为． 23. 红心猕猴桃是凉都特产，其果肉细嫩，口感香甜清爽，营养丰富，被誉为“果中之王”．已知购买甲种红心猕猴桃和乙种红心猕猴桃共花费28元；购买甲种红心猕猴桃和乙种红心猕猴桃共花费46元 （1）求甲、乙两种红心猕猴桃的单价； （2）小李准备购买甲、乙两种红心猕猴桃共，其中乙种红心猕猴桃的质量不少于．请写出本次采购总费用W（元）与乙种红心猕猴桃的质量之间的关系式并求出此次采购的最低费用？ 【答案】（1）甲，乙两种红心猕猴桃的单价分别为8元，10元 （2）此次采购的最低费用为460元 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组以及一次函数的性质， 根据题意列出关于两种猕猴桃的二元一次方程组求解即可； 根据题意求得两种猕猴桃的数量，即可列出采购总费用的一次函数，利用其性质求的最小值即可． 【小问1详解】 解：设甲，乙两种红心猕猴桃的单价分别为x元， y元． 由题意得， 解得， ∴甲，乙两种红心猕猴桃的单价分别为8元，10元． 【小问2详解】 由题意得， ∵乙种红心猕猴桃的质量， ∴甲种红心猕猴桃的质量 ， ∵， ∴W随a的增大而增大， 当a最小时，W最小， 当时，(元)， ∴此次采购的最低费用为460元． 24. 如图①，已知一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于和． （1）求一次函数的解析式； （2）如图②，小明将一个等腰直角三角尺的直角顶点C放在x轴上，一个底角顶点与点B重合，斜边在线段上，求此时的长； （3）如图③，已知点P是直线上一动点，过点P作直线的垂线，分别交x轴和y轴于点M、N，当时，则P点坐标是 ． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题为一次函数综合题，涉及到三角形全等、一次函数的图象和性质，分类求解是解题的关键． （1）由题意得：，即可求解； （2）证明，得到点，将点H的坐标代入，进一步计算即可求解； （3）当时，则，，即点M、N的坐标分别为：、或、，进一步计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， 故函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：作轴于点N，设， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 则，，则点， 将点H的坐标代入得：， 则； 【小问3详解】 解：当时，则，， 即点M、N的坐标分别为：、或、， 当点M、N的坐标分别为：、时， 设函数的表达式为， 将点M的坐标代入上式得：，则， 则的表达式为：； 当点M、N的坐标分别为：、， 同理可得：的表达式为：， 联立和的表达式得：或， 解得：或， 即P点坐标是或， 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $