精品解析：江西省抚州市金溪县实验中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

金溪县实验中学2024-2025学年度下学期初三第一次月考 数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 实数的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约，将数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，这是某模具公司生产的一块模具，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 5. 下面三个问题中都有两个变量： ①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x； ②如图2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线（圆心O表示王大爷家的位置），他离家的距离y与散步的时间x； ③如图3，往空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x 其中，变量y与x之间的函数关系大致符合下图的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 6. 如图，抛物线与x轴一个交点坐标为，抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤点，都在抛物线上，则有．其中结论正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：__________． 8. 如图，正五边形，连接，则的度数为__________． 9. 如图，△OAB的顶点A的坐标为(3，)，B的坐标为(4，0)；把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果D的坐标为(6，)，那么OE的长为_____． 10. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图，这是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．如图①，第1种有4个氢原子；如图②，第2种有6个氢原子；如图③，第3种有8个氢原子……按照这一规律，第6种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________． 11. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 12. 如图，是的弦，以为边作等腰三角形，，若的半径为，弦的长为，点在上，若，则___________° 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解不等式组． 14. 先阅读下面某校九年级师生的对话内容，再解答问题（温馨提示：一周只上五天课，另外，考试时每半天考一科且只能安排在周一到周五） 小红：“听说下周会进行连续两天的期中考试．” 吴老师：“是的，要考语文、数学、英语、物理共四科，但具体星期几不清楚．” 小凡：“我估计是星期四、星期五．” （1）求小凡猜对的概率． （2）若考试已定在星期四、星期五进行，但各科考试顺序没定，请用列表或画树状图的方式求恰好在同一天考语文、数学的概率． 15. 如图，在网格中，的顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图①中，作线段且； （2）图②中，作． 16. 如图，红十字会图标是由五个边长相等的小正方形拼接而成的，把它置于一平面直角坐标系中，已知，某反比例函数的图象经过红十字图形上方左侧的端点A． （1）求该反比例函数的解析式． （2）该反比例函数图象经过红十字图形左侧上方的端点 B 吗? 并说明理由． 17. 如图，在中，，，E是上一动点，以为直角边构造等腰直角，，交于点F． （1）与的位置关系是 ； （2）若，当F为的中点时，求的长． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：8.4元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用： _____元 （1）用含a 的代数式表示新能源车每千米的行驶费用： 元； （2）若燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.5元． ①分别求出这两款车每千米的行驶费用； ②若燃油车和新能源车每年其他费用分别为4800元和7500元，问：当每年的行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？ （年费用=年行驶费用+年其他费用） 19. 金溪县实验中学开展“阳光体育”活动，学生们在操场玩跳长绳游戏．如图，在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，以O为原点建立平面直角坐标系（甲位于点O处，乙位于x轴上的点D处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点A，B，且的水平距离为6米，A，B两点到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米． （1）请求出抛物线的解析式． （2）跳绳者小明的身高为米，当绳子甩到最高处时，小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶上方？ 20. 2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m． （1）求、两点之间的距离； （2）求长． （结果精确到0.1m，参考数据：，，，） 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． （1）求证：①是的切线； ②； （2）若点是劣弧的中点，且，试求阴影部分的面积． 22. （1）[教材呈现] 圆周角定理推论：的圆周角所对的弦是直径． 如图①，已知：A、B、C三，点在上， 求证：为直径． 证明：∵为圆周角所对的弦，为圆周角所对应的圆心角 ∴，且 ∴……（ ） ∴点O在线段上，即三点共线． 则为的直径． 上述推理：得，依据为_____________． （2）[小试牛刀] 如图②，A、B、C三点在上且，过点A作垂直的切线于点D，若，．求的长． （3）[拓展应用] 如图③，已知是等边三角形，以为底边在外作等腰直角，点E为的中点，连接，请直接写出的度数． 六、（本大题共12分） 23. （1）【探究发现】如图1，正方形的两条对角线相交于点O，正方形与正方形的边长相等，在正方形 绕点O旋转的过程中，边 交边于点M，边 交边点 N． ①线段，，之间满足的数量关系是 ； ②四边形与正方形的面积关系是 ． （2）【类比探究】如图2，若将（1）中的“正方形 和正方形 ”分别改为“含 角的菱形和菱形”，即 ，且菱形 与菱形的边长相等，当菱形 绕点O旋转时，保持边交边于点M，边 交边于点N． 猜想：①线段，与之间的数量关系是 ； ②四边形与菱形的面积关系是 ． 请你证明其中的一个猜想． （3）【拓展延伸】如图3，把（2）中的条件“ ”改为“ α”，其他条件不变，求 的值．（用含α的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 金溪县实验中学2024-2025学年度下学期初三第一次月考 数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 实数的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的判断，根据相反数的定义解答即可． 【详解】的相反数是5． 故选：A． 2. 火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约，将数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据科学记数法表示即可． 详解】， 故选C 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式以及同底数幂的乘法法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，正确； B、，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算错误； 故选A． 4. 如图，这是某模具公司生产的一块模具，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握从正面看到的图形是正视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图是解题的关键． 找出从上面看到的图形即可，注意：看见的棱都要用实绩画出． 【详解】解：从上面看到的图形是两个相邻的长方形，左边长方形的宽比右边长方形的宽要小，如图： 故选：B． 5. 下面三个问题中都有两个变量： ①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x； ②如图2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线（圆心O表示王大爷家的位置），他离家的距离y与散步的时间x； ③如图3，往空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x 其中，变量y与x之间的函数关系大致符合下图的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据y值随x的变化情况，逐一判断． 【详解】解：①当货车开始进入隧道时y逐渐变大，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时y不变且最大，当货车开始离开隧道时y逐渐变小．故①正确； ②王大爷距离家先y逐渐变大，他走的是一段弧线时，此时y不变且最大，之后逐渐离家越来越近直至回家，即y逐渐变小，故②正确； ③往空杯中匀速倒水，倒满后停止，水的体积逐渐增加，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，这期间，水量先保持不变，然后逐渐减少，杯中水的体积y与所用时间x，变量y与x之间的函数关系符合图象，故③正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力．要理解函数图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准确的信息． 6. 如图，抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤点，都在抛物线上，则有．其中结论正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，利用数形结合的思想是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况，以及函数的最值问题进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：根据函数的对称性，抛物线与轴的另外一个交点的坐标为，与轴正半轴相交，则； 函数对称轴在轴右侧，即，则， 而， 故， 故①正确，符合题意； ∵抛物线与轴的一个交点为,对称轴， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴抛物线与轴有两个不相同的交点，故， 故②正确，符合题意； ，即， 而时，，即， ， ． 故③正确，符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴， ∴当时，， ∴， 故④正确，符合题意； 从图象看，当时，， 当时，， 有， 故⑤正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式直接进行因式分解即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，常用的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法． 8. 如图，正五边形，连接，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和，等边对等角，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式． 先求出正五边形的一个内角的度数，再根据等边对等角，进而求出的度数即可． 【详解】解：根据正五边形的性质得， , ∵， ∴， 故答案为：． 9. 如图，△OAB的顶点A的坐标为(3，)，B的坐标为(4，0)；把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果D的坐标为(6，)，那么OE的长为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】根据平移的性质得到AD＝BE＝6﹣3＝3，由B的坐标为（4，0），得到OB＝4，根据OE=OB+BE即可得答案． 【详解】∵点A的坐标为（3，），点D的坐标为（6，），把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE， ∴AD＝BE＝6﹣3＝3， ∵B的坐标为（4，0）， ∴OB＝4， ∴OE＝OB+BE＝7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查图形平移的性质，平移不改变图形的形状和大小；图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等． 10. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图，这是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．如图①，第1种有4个氢原子；如图②，第2种有6个氢原子；如图③，第3种有8个氢原子……按照这一规律，第6种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律．根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； …， 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个， 当时，（个）， 即第6种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为14个． 故答案为：14． 11. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系． 根据一元二次方程的根与系数的关系，可得和的值，代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，是的弦，以为边作等腰三角形，，若的半径为，弦的长为，点在上，若，则___________° 【答案】100或60##60或100 【解析】 【分析】过点O作于点E，根据垂径定理可得，解直角三角形可得，则，根据等腰三角形的性质可求出，则，再根据题意，进行分类讨论，结合三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：过点O作于点E， ∵，， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∵为等腰三角形，， ∴， ∴， ①当在下方时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴在中，； ②当在内时， ∵， ∴， ∵， ∴在中，； ③当在上方时，如图： 此时， ∵， ∴这种情况不符合题意，舍去。 综上：或， 故答案为：100或60． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关内容，并灵活运用． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、实数的运算，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式是解答本题的关键． （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）先解出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 14. 先阅读下面某校九年级师生的对话内容，再解答问题（温馨提示：一周只上五天课，另外，考试时每半天考一科且只能安排在周一到周五） 小红：“听说下周会进行连续两天的期中考试．” 吴老师：“是的，要考语文、数学、英语、物理共四科，但具体星期几不清楚．” 小凡：“我估计是星期四、星期五．” （1）求小凡猜对的概率． （2）若考试已定在星期四、星期五进行，但各科考试顺序没定，请用列表或画树状图的方式求恰好在同一天考语文、数学的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查树状图法求概率，正确列举所有可能是解题的关键． （1）直接利用列举法写出所有可能，进而求出概率； （2）直接利用列表法活树状图法列举所有可能，进而求出答案． 【小问1详解】 由题意，连续两天考试的所有情况为：星期一与星期二，星期二与星期三，星期三与星期四，星期四与星期五，共4种情况， 则P（小凡猜对）； 【小问2详解】 画树状图如图所示 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好在同一天考语文、数学的结果有4种， 所以P（恰好在同一天考语文、数学）． 15. 如图，在网格中，的顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图①中，作线段且； （2）在图②中，作． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）结合网格特征，取格点D，T，连接交于点E，线段即为所求；、 （2）结合网格特征，取格点Q，R，连接，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可． 本题考查作图﹣应用与设计作图，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】 解：如图所示： 小问2详解】 解：如图所示： 16. 如图，红十字会的图标是由五个边长相等的小正方形拼接而成的，把它置于一平面直角坐标系中，已知，某反比例函数的图象经过红十字图形上方左侧的端点A． （1）求该反比例函数的解析式． （2）该反比例函数的图象经过红十字图形左侧上方的端点 B 吗? 并说明理由． 【答案】（1）该反比例函数的解析式为 （2）反比例函数的图象经过红十字图形左侧上方的端点B，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征． （1）根据题意得出点A的坐标，根据待定系数法即可求得； （2）根据题意得出点B的坐标，把代入，求得函数值，即可判断． 【小问1详解】 解：由题意可知红十字图形的每个正方形的边长为1，且， ∴， 设反比例函数的解析式为，则， ∴该反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意可得，点B的坐标是， 把代入，得， ∴反比例函数的图象经过红十字图形左侧上方的端点B． 17. 如图，在中，，，E是上一动点，以为直角边构造等腰直角，，交于点F． （1）与的位置关系是 ； （2）若，当F为的中点时，求的长． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据，得，据此可得与的位置关系； （2）过点F作于H，先求出得，再由勾股定理求得的长，证为的中位线得，，证为等腰直角三角形得，据此可得的长． 小问1详解】 解：与的位置关系是：，理由如下： ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点F作于H，如图所示： 在中，，，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 又∵点F为的中点， ∴， ∴点H为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵为等腰三角形，且， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，理解直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：8.4元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用： _____元 （1）用含a 的代数式表示新能源车每千米的行驶费用： 元； （2）若燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.5元． ①分别求出这两款车每千米的行驶费用； ②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4800元和7500元，问：当每年的行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？ （年费用=年行驶费用+年其他费用） 【答案】（1） （2）①燃油车每千米的行驶费用为0.56元，新能源车每千米的行驶费用为0.06元；②当每年的行驶里程大于5400千米时，买新能源车的年费用更低 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解题关键是明确题意，列出相应方程与不等式． （1）用总电量乘以电的单价，再除以总里程，列出代数式，再化简即可； （2）①根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.5元，列出分式方程，求解即可； ②设每年行驶里程为x千米时，根据新能源车的年费用更低，列出不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得（元）， 故答案为：． 【小问2详解】 解：①根据题意，得 ， 解得：， 经检验，是方程的解也符合题意， ∴燃油车每千米的行驶费用为：（元）， 新能源车每千米的行驶费用为：（元）， 答：燃油车每千米的行驶费用为0.56元，新能源车每千米的行驶费用为0.06元； ②设每年行驶里程为x千米时，买新能源车的年费用更低，根据题意，得 解得：， 答：当每年行驶里程大于5400千米时，买新能源车的年费用更低． 19. 金溪县实验中学开展“阳光体育”活动，学生们在操场玩跳长绳游戏．如图，在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，以O为原点建立平面直角坐标系（甲位于点O处，乙位于x轴上的点D处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点A，B，且的水平距离为6米，A，B两点到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米． （1）请求出抛物线的解析式． （2）跳绳者小明的身高为米，当绳子甩到最高处时，小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶上方？ 【答案】（1） （2）2米或4米 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的表达式，和二次函数的实际应用，利用待定系数法求出二次函数的表达式是解答本题的关键． （1）根据题意，假设出来抛物线的顶点解析式，然后利用待定系数法即可求解； （2）利用函数值，求自变量的值即可． 【小问1详解】 解：由题意设抛物线的解析式为， 将点代入中，得， 该抛物线的解析式是． 【小问2详解】 解：将代入， 解得，， 小明站在距甲2米或4米时，绳子刚好过他的头顶上方． 20. 2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m． （1）求、两点之间的距离； （2）求长． （结果精确到0.1m，参考数据：，，，） 【答案】（1）6.7m （2）4.5m 【解析】 【分析】（1）连接，过点作，交的延长线于，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题． （2）过点作，垂足为，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图2，连接，过点作，交的延长线于． 在中，， ，所以， ，所以， 在中，m，m， 根据勾股定理得m， 答：、两点之间的距离约6.7m． 【小问2详解】 如图2，过点作，垂足， 则四边形为矩形，m，， 所以m， 在中，m，m， 根据勾股定理得m． m． 答：的长为4.5m． 【点睛】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． （1）求证：①是的切线； ②； （2）若点是劣弧的中点，且，试求阴影部分的面积． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）①连接，根据角平分线性质和平行线的性质，即可得到答案； ②连接，根据相似三角形的性质和判定，即可得到答案. （2）连接、，设圆的半径为，由中垂线定理和平行线的性质以及三角形面积公式即可得到答案. 【详解】（1）①连接， ∵是的平分线，∴， ∵，∴， ∴， ∴，而， ∴， ∴是的切线； ②连接， ∵是的切线，∴， ，∴， ∴； （2）连接、，设圆的半径为， ∵点是劣弧的中点，∴是是中垂线， ∴，∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∴、是等边三角形， ∴， ∴，而， ∴， . 【点睛】本题考查角平分线性质、平行线的性质、相似三角形的性质和判定及中垂线定理，解题的关键是熟练掌握角平分线性质、平行线的性质、相似三角形的性质和判定及中垂线定理. 22. （1）[教材呈现] 圆周角定理推论：的圆周角所对的弦是直径． 如图①，已知：A、B、C三，点在上， 求证：为直径． 证明：∵为圆周角所对的弦，为圆周角所对应的圆心角 ∴，且 ∴……（ ） ∴点O在线段上，即三点共线． 则为的直径． 上述推理：得，依据为_____________． （2）[小试牛刀] 如图②，A、B、C三点在上且，过点A作垂直的切线于点D，若，．求的长． （3）[拓展应用] 如图③，已知是等边三角形，以为底边在外作等腰直角，点E为的中点，连接，请直接写出的度数． 【答案】（1）圆周角定理 （2） （3）105° 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半，解答即可； （2）连接AB，OC，先证AB是⊙O的直径，即点O在AB上，再由勾股定理求出AB长，再证△ADC∽△ACB，得出，代入即可求解； （3）连接AE，利用圆周角定理推论，证明A，E，C，D在以AC为直径的圆上，然后由等边三角形的性质、等腰直角三角形性质与圆周角定理，求出∠ADE=60°，∠DEC=45°，代入即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵为圆周角所对的弦，为圆周角所对应的圆心角， ∴，且 ∴……（圆周角定理） ∴点O在线段上，即三点共线． 则为的直径． 上述推理：得，依据为圆周角定理． 故答案为：圆周角定理； （2）如图①，连接AB，OC， ∵ ∴AB是⊙O的直径，即点O在AB上， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， 在Rt△ACB中，由勾股定理，得 AB=， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∵AD⊥CD， ∴ADOC， ∴∠DAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠OAC， ∵∠ADC=∠ACB=90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴，即， ∴AD=， （3）如图②，连接AE， ∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点， ∴AE⊥BC， ∴∠AEC=90°， ∵△ACD为等腰直角三角形， ∴∠ADC=90°， 由（1）可知A，E，C，D在以AC为直径的圆上， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴∠ADE=∠ACB=60°， ∵△ACD为等腰直角三角形， ∴∠DAC=45°， ∴∠DEC=∠DAC=45°， ∴∠ADE+∠DEC=60°+45°=105°． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 六、（本大题共12分） 23. （1）【探究发现】如图1，正方形的两条对角线相交于点O，正方形与正方形的边长相等，在正方形 绕点O旋转的过程中，边 交边于点M，边 交边点 N． ①线段，，之间满足的数量关系是 ； ②四边形与正方形的面积关系是 ． （2）【类比探究】如图2，若将（1）中的“正方形 和正方形 ”分别改为“含 角的菱形和菱形”，即 ，且菱形 与菱形的边长相等，当菱形 绕点O旋转时，保持边交边于点M，边 交边于点N． 猜想：①线段，与之间的数量关系是 ； ②四边形与菱形的面积关系是 ． 请你证明其中的一个猜想． （3）【拓展延伸】如图3，把（2）中的条件“ ”改为“ α”，其他条件不变，求 的值．（用含α的式子表示） 【答案】（1）① ；② （2）①，② ，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，即可得出结论； （2）如图2，连接，将绕点O 顺时针旋转得到，证明，即可得出结论； （3）如图3，在上取一点的H，连接，使得，证明，得到出，从而得到，再证明，得到，然后由正弦三角函数得到，即可得求解． 【详解】解：（1）①． ∵四边形是正方形， ∴， ， ， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． ②∵， ∴． 故答案为：． （2）①．②． 证明：如图2，连接． ∵四边形和四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴O、M、B、N四点共圆， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 将绕点O 顺时针旋转得到， ∵，， ∴边刚好落在上，即为， ∴． ∵， ， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∴； ∴， 故答案为：①．②． （3）如图3，在上取一点的H，连接，使得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ， ∴ ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题属四边形综合题目，主要考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正弦三角函数定义，正确作辅助线，构造全等三角形与相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$