1.3 正方形的性质与判定 课件 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦正方形的性质与判定，通过生活实例观察和动手操作导入，引导学生从平行四边形、矩形、菱形的已有知识出发，逐步构建正方形的定义、性质及判定定理，形成结构化知识支架。 其亮点在于以折叠矩形纸片、活动菱形框架等操作培养几何直观，通过性质证明和判定推理发展逻辑思维，结合中点四边形等问题强化知识联系。学生能提升探究能力与推理意识，教师可借助清晰的知识脉络和分层练习优化教学效果。

3.1 正方形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第1课时 学习&目标 1.掌握正方形的定义及性质 2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别（重点） 3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题（难点） 情境&导入 观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在. 你还能举出其他的例子吗？ PPT模板：/moban/ PPT素材：/sucai/ PPT背景：/beijing/ PPT图表：/tubiao/ PPT下载：/xiazai/ PPT教程： /powerpoint/ Word模板：/word/ Excel模板：/excel/ 试卷下载：/shiti/ 教案下载：/jiaoan/ 个人简历：/jianli/ PPT课件：/kejian/ 语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 地理课件：/kejian/dili/ 历史课件：/kejian/lishi/ 4 探索&交流 正方形的性质与判定 1— 图中的四边形都是特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 你能总结出正方形的定义吗？ 探索&交流 活动一：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，得到一个四边形. 问题1：折叠后得到的特殊四边形是什么四边形？ 正方形 活动二：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状. 问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？ 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 正方形 探索&交流 （1）正方形是矩形吗？是菱形吗？ （2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流. 探索&交流 正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质. A B C D a a a a 议一议 探索&交流 相关图形性质的关系 平行四边形的性质 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 菱形的性质 四条边相等 对角线互相垂直 四个角都是直角 对角线相等 矩形的性质 正方形的性质 探索&交流 已知：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角. A B C D 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD. 探索&交流 已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD. A B C D O 证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. 正方形的性质 定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等. 定理：正方形的对角线相等并且互相垂直平分. 探索&交流 想一想 正方形有几条对称轴？ 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形. 正方形有 4 条对称轴. 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例1.如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF . BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由． 解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下： (1)∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角)． ∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°. ∴∠BCE＝∠DCF. 又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.∴BE＝DF. (2)延长BE交DF于点M(如图)． ∵△BCE≌△DCF， ∴∠CBE＝∠CDF. ∵∠DCF＝90°， ∴∠CDF＋∠F＝90°. ∴∠CBE＋∠F＝90°. ∴∠BMF＝90°. ∴BE⊥DF. 例题&解析 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地示它们之间的关系吗 ？与同伴交流. 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 议一议 探索&交流 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例2.如图，四边形ABCD 是正方形，点E在BC 的延长线上.如果BE=BD，且AB=2 cm，求∠ E 的度数和BE 的长. 例题&解析 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例3.如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形， 求证：∠EAD＝∠EDA＝15° . 证明：∵ ΔBEC是等边三角形， ∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°， ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°， ∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°， ∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°， ∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°. 练习&巩固 1.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等 D 练习&巩固 2.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是(　　) A．3　　　 B．4　　　 C．5　　　 D．6 B 练习&巩固 3.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积． 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝2. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得 ∴正方形的周长为4AD＝ ， 面积为AD2＝8. 小结&反思 正方形同时具备平行四边形，矩形，菱形的所有性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴．这些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的依据． 第2课时 学习&目标 1．探索并证明正方形的判定，了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别； 2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 . 3.探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别.（重点） 4.会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.（难点） 情境&导入 正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 平行四边形 一组邻边相等 一个角是直角 正方形 正方形的对角线相等并且互相垂直平分. 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 正方形的性质 PPT模板：/moban/ PPT素材：/sucai/ PPT背景：/beijing/ PPT图表：/tubiao/ PPT下载：/xiazai/ PPT教程： /powerpoint/ Word模板：/word/ Excel模板：/excel/ 试卷下载：/shiti/ 教案下载：/jiaoan/ 个人简历：/jianli/ PPT课件：/kejian/ 语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 地理课件：/kejian/dili/ 历史课件：/kejian/lishi/ 25 情境&导入 问题：你是如何判断是矩形、菱形？ 平行四边形 矩形 菱形 四边形 三个角是直角 四条边相等 定义 三个判定定理 定义 对角线相等 定义 对角线垂直 PPT模板：/moban/ PPT素材：/sucai/ PPT背景：/beijing/ PPT图表：/tubiao/ PPT下载：/xiazai/ PPT教程： /powerpoint/ Word模板：/word/ Excel模板：/excel/ 试卷下载：/shiti/ 教案下载：/jiaoan/ 个人简历：/jianli/ PPT课件：/kejian/ 语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 地理课件：/kejian/dili/ 历史课件：/kejian/lishi/ 26 探索&交流 正方形的性质与判定 1— 探究一 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 正方形 猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 一组邻边相等 对角线互相垂直 正方形 探索&交流 定理：有一组邻边相等的矩形是正方形. 已知：ABCD是矩形，且AB=BC，试证明，ABCD是正方形. 证明：∵ABCD 是矩形， ∴∠A = 90°， 又∵AB = BC， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 探索&交流 已知：ABCD是矩形，AC⊥BD，试证明，ABCD是正方形. 证明：∵ABCD 是矩形， ∴∠A=90°，OA=OB=OC=OD 又∵AC⊥BD， ∴△AOB≌△AOD（SAS） ∴AB=AD ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 定理：对角线互相垂直的矩形是正方形. 探索&交流 探究二 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形. 正方形 猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？ 菱形 一个角是直角 对角线相等 正方形 探索&交流 定理：有一个角是直角的菱形是正方形. 已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形. 证明：∵ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA， 又∵∠A = 90° ， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 探索&交流 定理：对角线相等的菱形是正方形. 已知：四边形ABCD是菱形，AC=BD，试证明：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD ∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直） 又∵AC = BD ， ∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形. ∴∠ABC = 90°. ∴四边形ABCD 是正方形（正方形的定义）. 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例1.已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE， 求证：四边形 BECF 是正方形. 45° 45° 例题&解析 证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°, ∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB, ∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°, ∴ ∠ EBC =∠ ECB . ∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 . 在△EBC中 ∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°, ∴∠BEC = 90°, ∴菱形BECF是正方形. 探索&交流 做一做 如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？正方形的中点四边形会是什么形状？ 任意四边形的中点四边形是平行四边形. 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 探索&交流 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是正方形ABCD 各边的中点.求证：四边形 EFGH为正方形. 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC 且EF = AC， 同理可证 HG∥AC 且HG = AC， EH∥BD且 EH = BD，FG∥BD且FG = BD. ∴四边形 PFQO 为平行四边形. 探索&交流 菱形的中点四边形会是什么形状？矩形的中点四边形会是什么形状？ 菱形的中点四边形是矩形. 你能试着证明吗？ 矩形的中点四边形是菱形. 探索&交流 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是菱形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为矩形. 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD. ∴EF∥HG，EH∥FG， ∴四边形 EFGH ，PFQO 为平行四边形. 又∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）， ∴∠1=90°，∠2=90°. ∴四边形 EFGH 是矩形（矩形的定义） 探索&交流 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为菱形. 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴EF∥AC 且 EF = AC， 同理可证 HG∥AC且HG = AC， EH∥BD且EH= BD，FG∥BD且FG= BD. ∴四边形 EFGH 为平行四边形. 又∵四边形 ABCD是矩形 ∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF=EH ∴四边形 EFGH 是菱形（菱形的定义） 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例2.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分ABC , P是BD上一点,过点P作PMAD , PNCD ,垂足分别为M、N. (1) 求证：ADB=CDB; (2) 若ADC=90,求证：四边形MPND是正方形. C A B D P M N 证明：（1）∵AB = BC,BD平分∠ABC. ∴∠1=∠2. ∴△ABD≌△CBD (AAS). ∴∠ADB=∠CDB. 1 2 例题&解析 C A B D P M N （2）∵∠ADC=90°; 又∵PM⊥AD,PN⊥CD; ∴∠PMD=∠PND=90°. ∴四边形NPMD是矩形. ∵∠ADB=∠CDB; ∴∠ADB=∠CDB=45°.∴∠MPD=∠NPD=45°. ∴DM=PM,DN=PN. ∴四边形NPMD是正方形. 练习&巩固 1．四个内角都相等的四边形一定是（ ） A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形 C 练习&巩固 2.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是___________（只填写序号）． ②③或①④ 练习&巩固 3.在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN． 四边形EFMN是正方形吗?为什么? 练习&巩固 ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM, ∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF, ∴四边形EFMN是菱形， ∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF） =180°－（∠AEN+∠ANE） =180°－90°=90°. ∴四边形EFMN是正方形 . 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CM=DN， ∴AN=BE=CF=DM. 在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中， AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D, AN=BE=CF=DM, 小结&反思 正 方 形 对角线相等 性质 判定 正方形的面积公式 特殊的矩形 一组邻边相等 对角线互相垂直 特殊的菱形 一个角是直角 解：∵四边形ABCD是正方形，且AB＝2 cm， ∴AD＝AB＝2 cm，∠A＝∠ABC＝90°，BD平分∠ABC. ∴在Rt△ABD中，BD＝＝＝2 (cm)． ∵BE＝BD，∴BE＝2cm. ∵∠DBE＝∠ABC＝45°，BE＝BD， ∴∠E＝∠EDB＝＝67.5°. $$