精品解析：湖南省岳阳市临湘市第六中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

临湘六中九年级数学月考试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中是负数的是（ ） A. 0.1 B. C. D. 2. 年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图为一个积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（　　） A. B. C. D. x为一切实数 6. 下列命题是真命题的是（ ） A 同位角相等 B. 菱形的四条边相等 C. 正五边形的其中一个内角是 D. 单项式次数是4 7. 如图，是的直径，点B、D在上，，，则的长度是（ ） A. B. C. 3 D. 8. 某小组长统计组内5人在课堂上的发言次数分别为2，3，1，4，5，关于这组数据的中位数是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，点，，分别是三边上的中点，若的面积为12，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 10. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得的估计值为（ ） A. 3 B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若互为相反数，则______． 12. “见贤思齐焉，见不贤而内自省也”这句话中，“贤”字出现概率是________． 13. 分式方程的解为________________． 14. 若等腰三角形有一个内角为，则它的顶角度数为___________． 15. 关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，边与x轴交于点D，且，反比例函数的图象经过点A，若，则反比例函数表达式为______． 17. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点和．再分别以点为圆心，大于长为半径画孤，两弧在内部交于点，连接并延长交于点，若点到的距离为2，则______． 18. 如图①是小明家使用的挂钩，起初按照图②的方式（）挂在墙上，A，B为钉子所在位置，且；为了增加挂钩之间的空隙，调整为图③的方式（），两颗钉子A，B间的距离增加了______ ．（用含根号的式子表示） 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算：﹣2tan45°+|﹣3|+（π﹣2022）0． 20. 先化简，再求值：，请从，，，四个数中选取一个你喜欢的代入求值． 21. 某学校在本校开展了四项“课后服务”项目（项目：足球；项目：篮球；项目：跳绳；项目：书法），要求每名学生必须选修且只能选修其中一项，为了解学生的选修情况，学校决定进行抽样调查，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次问卷调查中，一共调查了_________名学生； （2）（2）请将条形统计图补充完整； （3）扇形统计图中所对的圆心角为_________度； （4）学校拟对选修项目为的同学进行培训，若该校有2000名学生，请通过计算估计该校需要培训的学生人数． 22. 如图，在中，点O是对角线的中点．某数学兴趣小组要在上找两个点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 在上分别取点E，F，使得 作于点E，于点F 请回答下列问题： （1）选择其中一种方案，并证明四边形为平行四边形； （2）在（1）的基础上，若，，则的面积为______． 23. 为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．） （1）求每本文学名著和人物传记各多少元？ （2）若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 24. 如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即之间的距离）．经测量，可在和之间发生变化（包含和），． （1）当时，求此时的长； （2）当从变为时，这个千斤顶升高了多少？ 25 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形的面积最大．求出点P的坐标； （3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q．使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在．请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”．例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，那么称为关于边的“优美三角形”． （1）在图2中的中，若，则______（填“是”或“不是”）关于边的“优美三角形”； （2）如图3，已知为关于边的“优美三角形”，点是边的中点，以为直径的恰好经过点．求证：直线与相切； （3）已知为关于边的“优美三角形”，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临湘六中九年级数学月考试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中是负数的是（ ） A. 0.1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负数的定义，根据负数的定义解题即可． 【详解】解：是负数， 故选：B． 2. 年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故选：B． 3. 如图为一个积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图即从左边看到的图形，正视图即从正面看到的图形，俯视图即从上面看到的图形是解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看这个几何体，看到的图形为． 故选：A． 4. 下列运算中，计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、除法和积的乘方运算法则以及合并同类项的法则进行判断即可． 详解】A.，故A错误； B.，故B错误； C.，故C正确； D.与不是同类项，无法合并，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、除法和积的乘方、合并同类项的运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5. 若，则（　　） A. B. C. D. x为一切实数 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选A． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，能够熟练运用二次根式被开方数的非负性列不等式是解题关键． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 菱形的四条边相等 C. 正五边形的其中一个内角是 D. 单项式的次数是4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题，根据平行线的性质，菱形的性质，多边形的内角和，单项式的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题； B、菱形的四条边相等，是真命题； C、正五边形的其中一个外角是，内角是，原命题是假命题； D、单项式的次数是3，原命题是假命题； 故选：B． 7. 如图，是的直径，点B、D在上，，，则的长度是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆周角定理求得 ，然后解直角三角形即可． 【详解】∵， ∴ ∵， ∴， 在中，， 即， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定义及其推论，以及解直角三角形，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，直径所对的圆周角为直角，以及解直角三角形的方法和步骤． 8. 某小组长统计组内5人在课堂上的发言次数分别为2，3，1，4，5，关于这组数据的中位数是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数．先从小到大排序，再根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：在2，3，1，4，5，这组数据中，排序后为：1，2，3，4，5，故中位数为3． 故选B． 9. 如图，点，，分别是三边上的中点，若的面积为12，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，证明，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵点D，E，F分别是三边上的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为12， ∴的面积为3， 故选：A． 10. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得的估计值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆的综合、等边三角形的判定及性质、含角的直角三角形的特征．连接、，作于，利用正多边形的性质得，再根据等边三角形的判定及性质得，，进而可得，再利用割补法求得正六边形的面积，进而可求解． 【详解】解：连接、，作于，如图： 六边形是正六边形， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， 的估计值为， 故选：B． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若互为相反数，则______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题主要考查的是相反数的定义，整体进行代入求值是本题的主要思路．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数，互为相反数，可知，将其代入即可求得结果． 【详解】解：、互为相反数， ， ． 故答案为：2025 12. “见贤思齐焉，见不贤而内自省也”这句话中，“贤”字出现的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求概率，根据“贤”字出现的次数除以总字数即可，熟知概率公式的计算是解题的关键． 【详解】解：“见贤思齐焉，见不贤而内自省也”这句话中，共有个字，“贤”字出现了次， ∴“贤”字出现的概率为， 故答案为：． 13. 分式方程的解为________________． 【答案】 【解析】 【分析】方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程验根即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 14. 若等腰三角形有一个内角为，则它的顶角度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题的关键是分情况讨论已知内角是顶角还是底角． 当角为顶角时，直接得出顶角度数；当角为底角时，利用等腰三角形两底角相等及内角和为，计算顶角的度数． 【详解】解：等腰三角形的一个内角为，需分两种情况讨论： 情况一：若这个的角是顶角， 则该等腰三角形的顶角度数为． 情况二：若这个的角是底角， 因为等腰三角形两底角相等， 所以另一个底角也是． 又因为三角形内角和为， 所以顶角的度数为． 综上，该等腰三角形的顶角度数为或． 故答案为：或． 15. 关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用根的判别式，建立关于m的方程求得m的值是解题的关键． 【详解】解：， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，边与x轴交于点D，且，反比例函数的图象经过点A，若，则反比例函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作x轴的垂线与x轴交于点C，证明，推出，由此即可求得答案． 【详解】解：设 ，如图，过点A作x轴的垂线与x轴交于点C， 则：，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在的图象上， ∴， ∴反比例函数表达式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是作辅助线构造． 17. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点和．再分别以点为圆心，大于长为半径画孤，两弧在内部交于点，连接并延长交于点，若点到的距离为2，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查作图一基本作图、角平分线的性质、点到直线的距离，熟练掌握角平分线的性质、点到直线的距离是解答本题的关键． 过点作于点，则，由作图可知，为的平分线，结合角平分线的性质可得． 【详解】解：过点作于点， ∵点到的距离为2， ∴， 由作图可知，为的平分线， 故答案为：2． 18. 如图①是小明家使用的挂钩，起初按照图②的方式（）挂在墙上，A，B为钉子所在位置，且；为了增加挂钩之间的空隙，调整为图③的方式（），两颗钉子A，B间的距离增加了______ ．（用含根号的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】先根据照图②的方式（）挂在墙上时，利用正方形的性质求出挂钩边长，再利用形变但仍然为，求出调整为图③的方式（）时，利用菱形的性质求出，从而求出形变后的的长度，再和原来的长度求差值即可． 【详解】解：如图②，当时，可知四边形是正方形，连接，， 则，， ∴， 当调整为图③方式（）时，此时，四边形是菱形，连接，交于点，但此时仍然为， ∵四边形是菱形，， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时， ∴两颗钉子A，B间的距离增加了， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质及解直角三角形，读懂题意，明白发生形变但仍然为是解决问题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算：﹣2tan45°+|﹣3|+（π﹣2022）0． 【答案】6 【解析】 【分析】先计算算术平方根、绝对值、零指数幂、特殊角三角函数值，再合并即可． 【详解】解：原式＝4﹣2×1+3+1 ＝4﹣2+3+1 ＝6 【点睛】此题考查的是算术平方根、绝对值、零指数幂、特殊角三角函数值，掌握其运算法则是解决此题的关键． 20. 先化简，再求值：，请从，，，四个数中选取一个你喜欢的代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是明确分式的化简求值的方法，注意代入的的值必须使得原分式有意义．先将原式化简，然后从，，，四个数中选取使得原分式有意义的的值代入化简后的分式即可解答本题． 【详解】解： ， 由题意可知，，， ，， 当时，原式（当时，原式）． 21. 某学校在本校开展了四项“课后服务”项目（项目：足球；项目：篮球；项目：跳绳；项目：书法），要求每名学生必须选修且只能选修其中一项，为了解学生的选修情况，学校决定进行抽样调查，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次问卷调查中，一共调查了_________名学生； （2）（2）请将条形统计图补充完整； （3）扇形统计图中所对的圆心角为_________度； （4）学校拟对选修项目为的同学进行培训，若该校有2000名学生，请通过计算估计该校需要培训的学生人数． 【答案】（1）500 （2）见解析 （3）36 （4）200 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用，包括根据部分量和对应百分比求总量、计算部分量、求扇形统计图中圆心角的度数以及用样本估计总体．解题的关键是从两种统计图中提取有效信息，明确总量、部分量与百分比之间的关系，并运用这些关系进行计算． （1）根据A项目的人数及其所占百分比，用“部分量对应百分比”求出总调查人数； （2）先依据总人数和B项目的百分比求出B项目的人数，再补充条形统计图； （3）先算出D项目人数占总人数的百分比，再用“该百分比”得到对应圆心角的度数； （4）用全校总人数乘样本中D项目的百分比，估计出需要培训的学生人数． 【小问1详解】 解：已知项目A有人，且占总调查人数的，根据“总量部分量对应百分比”，可得总调查人数为：（名） 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）可知总调查人数为名，项目B占，则项目B的人数为：（人） 补充条形统计图如下； 【小问3详解】 解：项目D有人，总调查人数为名，所以项目D人数占总人数的百分比为： 扇形统计图中D所对的圆心角为：（度） 故答案为：； 【小问4详解】 解：该校共有名学生，由（3）可知样本中选修项目D的学生占，根据用样本估计总体，可得估计该校需要培训的学生人数为：（人） 答：估计该校需要培训的学生人数为人． 22. 如图，在中，点O是对角线的中点．某数学兴趣小组要在上找两个点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 在上分别取点E，F，使得 作于点E，于点F 请回答下列问题： （1）选择其中一种方案，并证明四边形为平行四边形； （2）在（1）的基础上，若，，则的面积为______． 【答案】（1）见解答 （2）50 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）甲方案，由平行四边形的性质得，则，可证明，得，所以，则，即可证明四边形是平行四边形； 乙方案，由于点于点，得，由平行四边形的性质得，则，可证明，得，即可证明四边形是平行四边形； （2）由全等三角形的性质得，再证，然后由三角形面积关系得，即可解决问题． 【小问1详解】 解：甲方案，证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 乙方案，证明：∵于点于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 故答案为：50． 23. 为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．） （1）求每本文学名著和人物传记各多少元？ （2）若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 【答案】（1）每本文学名著25元，每本人物传记20元； （2）人物传记至多买33本． 【解析】 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，属于基础题型．解决这个问题的关键就是找出等量关系和不等式关系． （1），首先设每本文学名著元，每本人物传记元，然后根据题意列出二元一次方程组，从而得出答案； （2），设购买人物传记本，文学名著（）本，根据题意列出不等式，从而求出不等式的解，最后根据m为整数得出答案． 【小问1详解】 解：设每本文学名著元，每本人物传记元， ， 解得， 答：每本文学名著25元，每本人物传记20元． 【小问2详解】 解：设购买人物传记本，文学名著本， ， 解得：， 为整数， ， ∴人物传记至多买33本． 24. 如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即之间的距离）．经测量，可在和之间发生变化（包含和），． （1）当时，求此时的长； （2）当从变为时，这个千斤顶升高了多少？ 【答案】（1） （2） 千斤顶升高了 【解析】 【分析】本题考查了菱形性质以及解直角三角形的应用．解题的关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质，将菱形问题转化为直角三角形问题，再结合三角函数进行计算． （1）连接菱形对角线、交于点利用菱形对角线平分内角的性质，得到的度数，再在中，用正弦函数求出的长，进而得到的长； （2）分别求出为和时的长度，两者相减即为千斤顶升高的高度，计算时需利用菱形性质转化为直角三角形，结合余弦函数求解． 【小问1详解】 解：连接，与交于点 ∵四边形是菱形， ∴． 当时，． 在中，， ∵ ∴． ∵ ∴． 【小问2详解】 解：当时，，则， 在中，， ∵， ∴ ∴． 当时，， 在中，， ∵， ∴ ∴． 则千斤顶升高的高度为：．​ 答：这个千斤顶升高了 ．​ 25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形的面积最大．求出点P的坐标； （3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q．使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在．请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）或或 【解析】 【分析】（1）根据，，利用勾股定理求出，可得和，得到A，B，C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）判断出四边形的面积最大时，的最大面积，过点P作y轴的平行线交于点H，求出直线的表达式，设点，利用三角形面积公式，即可求出S△BPC面积最大时点P的坐标； （3）根据平行四边形的性质进行分类讨论，求出点Q的坐标． 【详解】解：（1）∵，， ∴，即， 解得：，， ∴，，，代入中， 则，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，四边形的面积＝的面积＋的面积， 而的面积是定值，故四边形的面积最大，只需要的最大面积即可， 过点P作y轴的平行线交于点H， ∵，，设直线的表达式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为， 设点，则点， ， ∵，故S有最大值，即四边形面积有最大值， 此时，代入得， ∴； （3）由（1）、（2）得：，， 根据题意设，， ①若为平行四边形的对角线， 则，解得：或（此时P、Q重合，不合题意，舍去） 将代入抛物线得：， ∴； ②若为平行四边形的对角线， 则，解得：或（此时P、Q重合，不合题意，舍去） 将代入抛物线得：， ∴； ③若为平行四边形的对角线， 则，解得：或， 分别将，代入抛物线，求得， ∴，， 综上：点Q的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的有关性质、一次函数的性质、平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 26. 约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”．例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，那么称为关于边的“优美三角形”． （1）在图2中的中，若，则______（填“是”或“不是”）关于边的“优美三角形”； （2）如图3，已知为关于边的“优美三角形”，点是边的中点，以为直径的恰好经过点．求证：直线与相切； （3）已知为关于边的“优美三角形”，，，求的面积． 【答案】（1）是 （2）见解析 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆的切线的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用两边成比例，夹角相等证明，即可得解； （2）连接，证明，得出，即可得证； （3）过点作于，分两种情况：若；若；分别求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：为边上的中线，， ， ， ， ， 是关于边的“优美三角形”， 故答案为：是； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ， 为关于边的“优美三角形”， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 是的半径， 直线与相切； 【小问3详解】 解：如图，过点作于， ， 为关于边的“优美三角形”，， ， 若，则， ， 在中，，则， ； 若，则， ， 在中，，设，则，， ， 由勾股定理得：，即， 解得：， ； 综上所述，的面积为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$