精品解析：陕西省西安市西咸新区秦汉中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试卷

2024-2025学年陕西省西安市西咸新区秦汉中学九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中的角是圆心角的是（    ） A. B. C. D. 2. sin60°的值为（　　） A. B. C. D. 3. 已知的半径为2，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 无法判断 4. 用力转动转盘甲和转盘乙的指针，两个转盘的指针停在白色区域的概率分别为，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定，的大小 5. 如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（ ） A. 1 B. C. D. 4 6. 把二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，，是的切线，切点分别是P，C，D，若，，则的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤，（m为一切实数）其中说法正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④⑤ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 如图，的两条弦相交于点，若，则__________． 10. 如图，在扇形中，，，则的长为______． 11. 如图，五边形是的内接正五边形，则的度数为__________ 12. 如图，矩形的顶点在轴上，反比例函数的图象经过边的中点和点，若，则的值为______． 13. 如图，在中，，，，的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为_____． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 14. 雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G，使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得DG＝2.8m；然后雯雯向前移动1.5m到达点F处，笑笑同样在地面上找到一点H，使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得GH＝1.7m，已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，雯雯的身高CD＝EF＝1.6m．请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度AB． 四、解答题：本题共12小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 16. 解不等式组． 17. 计算： 18. 如图，已知中，．作一个圆，使圆心在边上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）： 19. 如图，在中，，，；求的长． 20. 如图，在四边形中，平分． （1）证明：； （2）已知，求的长． 21. 三张硬纸片上分别写有一个代数式，分别是，，． （1）的值为P．当时，求P的值； （2）将三张纸片背面向上，打乱顺序后，在背面分别标上①、②、③，摆成如图所示的一个式子，请用树状图或列表法求出能使运算结果为常数的概率． 22. 如图，已知：是的直径，弦于点E，G是上的一点，、的延长线交于点．若，的度数为，求的度数． 23. 《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为15米），现用长为34米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设垂直于墙的篱笆边长为x米． （1）求当x为何值时，围成的菜地面积为81平方米； （2）求垂直于墙的篱笆边长为多少米时，围成菜地的面积最大？最大面积是多少平方米？ 24. 如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，且过点，延长线交于点E，交于点F，连接， ． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 25. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P．探究是否存在点P使得以点P，C，Q为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 26. （1）.【问题情境】（1）点A是外一点，点P是上一动点．若的半径为2，且，则点P到点A的最长距离为______； （2）.【直接运用】（2）如图2，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是弧上的一个动点，连接，求的最小值； （3）.【灵活运用】（3）如图3，的直径为8，弦，点C为优弧上的一动点，，交直线于点M，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年陕西省西安市西咸新区秦汉中学九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中的角是圆心角的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答． 【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 2. sin60°的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：sin60°=．故选B． 3. 已知的半径为2，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系的判断方法是解题的关键：如果的半径为，圆心到直线的距离为，那么：（1）直线和相交（如图）；（2）直线和相切（如图）；（3）直线和相离（如图）． 根据直线和圆的位置关系的判断方法直接判断即可得出答案． 【详解】解：圆心到直线的距离的半径， 直线与的位置关系是：相离， 故选：． 4. 用力转动转盘甲和转盘乙的指针，两个转盘的指针停在白色区域的概率分别为，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定，的大小 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，首先分别求出转盘甲和转盘乙中白色区域占各自圆面积的一半，转换成概率即可得出答案．灵活运用所学的知识是解题的关键． 【详解】解：转盘甲，白色区域占该圆总面积的，转盘的指针停在白色区域的概率为； 转盘乙，白色区域占该圆总面积的，转盘的指针停在白色区域的概率为； 因此转盘甲和转盘乙中转盘的指针停在白色区域的概率均为， 故选：C． 5. 如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（ ） A. 1 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧． 根据垂径定理得出，再根据勾股定理，即可解答． 【详解】解：∵圆心到弦的距离为2， ∴， ∵弦的长为4， ∴， ∴， 即圆O的半径长是， 故选：C． 6. 把二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”即可作答． 【详解】解：二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位的二次函数表达式是， 故选：C． 7. 如图，，，是的切线，切点分别是P，C，D，若，，则的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键：“从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角”； 本题首先根据切线长定理，可得，再由，可求得的长，最后再次利用切线长定理，即可求得的长； 【详解】解：∵，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵，是的切线， ∴， 故选：C． 8. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤，（m为一切实数）其中说法正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④⑤ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，根据开口方向确定a的符号，根据抛物线与y轴的交点确定c的符号，根据对称轴确定b的符号，判断①②；时，，判断③；根据函数增减性，判断④；根据当时，函数值最小，判断⑤． 【详解】解：①抛物线开口向上，，物线与y轴交于负半轴，，，， ∴，故①正确； ②，，故②正确； ③根据对称性可知，当时，，，故③不正确； ④∵对称轴是直线，所以和时，y值相等， ∴若，是抛物线上两点，则，故④正确； ⑤∵对称轴是直线， ∴当时，函数值最小，故，故⑤正确； 故选：B 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 如图，的两条弦相交于点，若，则__________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得结论． 【详解】解：∵所对的圆周角是， ∴ 故答案为：． 10. 如图，在扇形中，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了弧长公式，把已知数据代入弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得的长为 ， 故答案为： 11. 如图，五边形是的内接正五边形，则的度数为__________ 【答案】##度 【解析】 【分析】根据圆内接正五边形的中心角的含义可求出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵五边形是的内接正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形与圆，掌握圆内接正五边形的中心角的计算方法是解题的关键． 12. 如图，矩形的顶点在轴上，反比例函数的图象经过边的中点和点，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质等知识，依据题意，设，，由点E和点C在反比例函数上，求出的值，得到，从而可以求出k的值，解题时要熟练掌握并能灵活运用矩形的性质是关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，点为边的中点， ， ∴设，， ∵点和点在反比例函数上， ， ， ∴， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的应用，连接，由为圆O的切线，利用切线的性质得到与垂直，利用勾股定理列出关系式，由最小时最短，根据垂线段最短得到垂直于时最短，利用面积法求出此时的值，再利用勾股定理即可求出的最短值． 【详解】解：连接，如图所示， ∵是的切线， ∴， 根据勾股定理知：， ∴当时，线段最短， ∵在中，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 14. 雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G，使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得DG＝2.8m；然后雯雯向前移动1.5m到达点F处，笑笑同样在地面上找到一点H，使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得GH＝1.7m，已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，雯雯的身高CD＝EF＝1.6m．请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度AB． 【答案】13.6m． 【解析】 【分析】由题意知，CD＝EF＝1.6m，DG＝2.8m，DF＝1.5m，GH＝1.7m，根据题意可得△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，根据相似三角形的性质得到，，可得，求得BD＝21m，得到，解得AB＝13.6m，从而求解． 【详解】解：由题意知，CD＝EF＝1.6m，DG＝2.8m，DF＝1.5m，GH＝1.7m， ∴FH＝2.8﹣1.5+1.7＝3m， ∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH， ∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH， ∴，， ∴，即， 解得：BD＝21m， ∴， 解得：AB＝13.6m． 即该校旗杆的高度AB为13.6m． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用、相似三角形的判定与性质；根据题意得出方程是解决问题的关键，本题难度适中． 四、解答题：本题共12小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，再计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 16. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解不等式组，掌握不等式的性质，取值方法是解题的关键． 先根据不等式的性质分别求出各不等式的解集，再根据取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键． 直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，已知中，．作一个圆，使圆心在边上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）： 【答案】 如图，即为所求， 【解析】 【分析】本题可根据圆与直线相切的性质以及角平分线的性质来确定圆心位置，进而作出圆．本题主要考查了角平分线的性质以及直线与圆相切的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等以及直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径是解题的关键． 【详解】解：∵作的角平分线，交于点． ∴角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴点到、的距离相等． 过点作于点． 以点为圆心，长为半径作圆． ∵圆心到、的距离都等于半径， ∴圆与、所在直线相切． 19. 如图，在中，，，；求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 如图所示，过点C作于D，先解得到，，再解得到，进而由求出结果． 【详解】解：如图所示，过点C作于D， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，在四边形中，平分． （1）证明：； （2）已知，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． （1）由平分得到，由得到，即可证明结论； （2）由得到，，由勾股定理得到，根据即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ∴，， ∴， ∵，即， 解得：． 21. 三张硬纸片上分别写有一个代数式，分别是，，． （1）的值为P．当时，求P的值； （2）将三张纸片背面向上，打乱顺序后，在背面分别标上①、②、③，摆成如图所示的一个式子，请用树状图或列表法求出能使运算结果为常数的概率． 【答案】（1）60 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据整式的加减计算法则求出P，再代值计算即可； （2）先根据整式的加减计算法则求出，的结果不为常数，的结果为常数，再画出对应的树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ， 当时，； 【小问2详解】 解：由（1）得，结果不是常数，同理，结果不是常数； ∴的结果不为常数， 同理，结果不为常数； ， ∴的结果为常数， 同理可得的结果为常数； 画树状图如下： 由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中运算结果为常数的有2种， ∴运算结果为常数的概率． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，整式的加减计算，树状图或列表法求解概率，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． 22. 如图，已知：是的直径，弦于点E，G是上的一点，、的延长线交于点．若，的度数为，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 连接，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，再根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， 的度数为， ， ， ， ， ． 23. 《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为15米），现用长为34米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设垂直于墙的篱笆边长为x米． （1）求当x为何值时，围成的菜地面积为81平方米； （2）求垂直于墙的篱笆边长为多少米时，围成菜地的面积最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】（1）当时，围成的菜地面积为81平方米 （2）垂直于墙的篱笆边长为7米时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用．正确得出关于x的方程和函数解析式是解题关键． （1）根据各边之间的关系，可知长为米，根据围成的菜地面积为81平方米，可得出关于x的一元二次方程，解方程取其符合题意的值即可； （2）先根据墙长求出x的取值范围，再根据矩形的面积列出函数解析式，由函数的性质求最值． 【小问1详解】 解：篱笆的总长为34米，设垂直于墙的篱笆边长为x米， 则米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 当时，围成的菜地面积为81平方米； 【小问2详解】 设围成菜地的面积为S平方米， 墙的最大可用长度为15米， ，即， 解得， 根据题意得：， ， 当时，S有最大值，最大值为105， 垂直于墙的篱笆边长为7米时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米． 24. 如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，且过点，延长线交于点E，交于点F，连接， ． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：连接， 平分， ， ，， ，， ，， ， ，， ， ， 与相切于点B， ， ， ， 即， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得到，即可求证； （2）由，，可得垂直平分，，进而可得，即可求出，再利用勾股定理得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 垂直平分，， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆的有关性质是解题的关键． 25. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P．探究是否存在点P使得以点P，C，Q为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积的综合，相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，涉及分类讨论思想． （1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线解析式为，设点坐标为，可得，分两种情况考虑：；，利用等腰三角形的性质建立方程即可求得点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线过与点， ， ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：存在， 设直线解析式为， 则有，解得：， 即直线解析式为； 设点坐标为， 轴， 点的坐标为， ； 当时； 如图，连接， 则，， ， ，， ， ， ， ， ， 即， 解得：，（舍去）， 此时； 当时， 则，， 则有， ； 过点作于，则， ， ， 解得：，（舍去）， 此时； 综上，或． 26. （1）.【问题情境】（1）点A是外一点，点P是上一动点．若的半径为2，且，则点P到点A的最长距离为______； （2）.【直接运用】（2）如图2，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是弧上的一个动点，连接，求的最小值； （3）.【灵活运用】（3）如图3，的直径为8，弦，点C为优弧上的一动点，，交直线于点M，求面积的最大值． 【答案】（1）7 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，三角形不等式，勾股定理，垂径定理，特殊角直角三角形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质， （1）当点O，P，A三点共线，且点A，点P在圆心O的两侧时，最大，等于与半径的和； （2）连接，交半圆于点，连接，根据，结合勾股定理计算即可． （3）连接，，过点O作于点R．点H到的距离为，计算面积即可． 【小问1详解】 解：如图1，当点O，P，A三点共线，点P在点O左侧时，点P到点A的距离最长． ∵点P是上一动点，的半径为2，， ∴， ∴点P到点A的最长距离为7． 【小问2详解】 如图2，连接，交半圆于点，连接． ∵，为半圆的直径， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴当点P在上时，最短，最小值为． 【小问3详解】 如图3，连接，，过点O作于点R． ∵，， ∴， ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 如图3，作的外接， 要使最大，则点M到的距离最大， 延长交于点H, ∵，， ∴直线是线段得垂直平分线， 则点K一定在直线上， 连接， ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴点H到的距离为， ∴， ∴面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $