5.3 一元一次方程的应用 预习学案 2025--2026学年北师大版七年级数学上册

2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第五章 一元一次方程 3. 一元一次方程的应用 知识点预习 一、解决实际问题的标准化流程（课本图5-4） 1. 抽象建模 将实际问题转化为 一元一次方程 关键：识别问题中的 已知量 和 未知量 2. 寻找等量关系 提炼 核心等量关系（通常隐含在问题描述中） 问题类型 ： 等积变形—— 变形前后 体积/容积不变 几何图形 —— 周长/面积公式  古代算题—— 物品总价不变 行程问题 ——路程关系（追及/相遇） 3. 解方程 4. 验证与解释 二、辅助解题工具 工具 作用 教材应用 表格法 对比不同方案中的变量关系 古代算题 线段图 直观展示行程问题中的位置关系 爸爸追小明 阅读材料 跨学科解释现象（生物+数学） 蒙眼绕圈行走原理 三、核心能力要求 5. 提炼等量关系：从文字描述中锁定关键等式（如“容积不变”“路程相等”）。 6. 合理设未知数： 7. 直接设元：设所求量为 xx（如设新高度 xx） 8. 间接设元：设关联量为 xx（如设人数 xx，推导物价） 9. 解决问题步骤 1. 设未知数：设...为； 2. 找等量关系：根据...得 ； 3. 列方程：写出方程 4. 解方程： 5. 作答：写出实际答案。 四、总结 本节通过 等积变形、古代算题、行程问题、几何应用 四大经典题型，培养学生从实际问题抽象方程、规范求解并验证结果的能力。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．小王第一天做了x个零件，第二天比第一天多做5个，第三天做的零件是第二天的2倍，若三天共做零件75个，则第一天做了（　　）个． A．15 B．14 C．10 D．20 【解答】解：第一天做了x个零件，由题意得 x+x+5+2（x+5）＝75 解得：x＝15 答：第一天做了15个． 故选：A． 2．（平均数问题）有四个数，其中每三个数的和分别是45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是（　　） A．12 B．18 C．36 D．45 【解答】解：设四个数分别为a、b、c、d， 令a+b+c＝45，b+a+d＝46，a+c+d＝49，b+c+d＝52， 解得a＝12，b＝15，c＝18，d＝19， ∴最小的数是，12． 故选：A． 3．一双鞋子，如果卖169元可赚30%；如果卖104元，就要亏（　　） A．20% B．25% C．30% D．33.3% 【解答】解：设该鞋子的成本为x元， 根据题意得：169﹣x＝30%x， 解得：x＝130， ∴100%100%＝20%， ∴如果卖104元，就要亏20%． 故选：A． 4．一件衣服原价288元，先降价10%，后来又在降价的基础上涨价10%．现在的价格与原来的价格相比（　　） A．降低了 B．升高了 C．没有变 D．不能确定 【解答】解：现在的价格是原价的： 288×（1﹣10%）×（1+10%） ＝288×0.9×1.1 ＝285.12（元） 因288＞285.12，所以降低了． 故选：A． 5．某商店出售两件衣服，每件卖了200元，其中一件赚了25%，而另一件赔了20%，那么商店在这次交易中（　　） A．赚了10元 B．亏了10元 C．赚了20元 D．亏了20元 【解答】解：设第一件衣服的进价为x元，第二件的进价为y元， 根据题意得：200﹣x＝25%x，200﹣y＝﹣20%y， 解得：x＝160，y＝250， ∴400﹣x﹣y＝400﹣160﹣250＝﹣10（元）． 答：商店在这次交易中亏了10元． 故选：B． 6．我国古代数学名著《张丘建算经》中有许多涉及买卖的方程问题．某人用钱买物，若买9件，剩余3钱；若买11件，不足4钱．求每件物品的价格．设每件物品的价格为x钱，根据题意，可列方程为（　　） A．9x﹣3＝11x﹣4 B．9x﹣4＝11x+3 C．9x+3＝11x﹣4 D．9x+3＝11x+4 【解答】解：∵买9件，剩余3钱， ∴总钱数＝9x+3； ∵买11件，不足4钱， ∴总钱数＝11x﹣4． ∴根据题意可列方程为9x+3＝11x﹣4． 故选：C． 7．中国古代名著《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其译文为：“每三人乘一车，最终剩余2辆空车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问人与车各有多少？”，设有车x辆，则根据题意，可列出方程（　　） A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x﹣2）＝2x+9 C．3（x+2）＝2x+9 D．3（x﹣2）＝2x﹣9 【解答】解：根据题意得，3（x﹣2）＝2x+9， 故选：B． 8．某农场要对一块麦田施底肥，现有化肥若干千克．如果每公顷施肥400千克，那么余下化肥800千克；如果每公顷施肥500千克，那么缺少化肥300千克．若设现有化肥x千克，则可列方程为（　　） A． B． C．800300 D．800300 【解答】解：由题意可得， ， 故选：A． 9．九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为18cm；供水6小时，箭尺读数为42cm．设开始高度为x cm，根据题意可列方程为（　　） A．2（18﹣x）＝6（42﹣x） B．2（18+x）＝6（42+x） C． D． 【解答】解：根据题意可列方程为． 故选：C． 10．某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元，有下列结论： ①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多； ②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少； ③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：①设方式一的游泳次数为x次，则总费用为：200+10x＝300， 解得x＝10； 方式二的次数为：300÷20＝15（次）， ∵10＜15， 故结论①错误； ②游泳25次时，方式一总费用为：200+10×25＝450（元）； 方式二为：20×25＝500（元）， ∵450＜500， 故结论②错误； ③设游泳次数为y次，依题意得：200+10y＝20y， 解得y＝20， ∵此时两种方式费用相等， ∴结论③正确， 综上所述，正确结论为③，共1个， 故选：B． 二、填空题预习（24分） 11．小明的妈妈今年44岁，是小明年龄的3倍还大2岁，设小明今年x岁，则可列出方程：　3x+2＝44　 ． 【解答】解：∵小明今年x岁， ∴小明年龄的3倍还大2岁为（3x+2）岁， ∴可列方程为：3x+2＝44， 故答案为：3x+2＝44． 12．从一个直径为12cm的圆柱形茶壶向一个直径为6cm，高12cm的圆柱形茶杯倒水，茶杯中水满后，茶壶中水的高度下降了　3　 cm． 【解答】解：设茶壶中水的高度下降了xcm． 9π×12＝36π×x 解得x＝3 ∴茶壶中水的高度下降了3cm． 故填3． 13．将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则x的值为　4　 ． 【解答】解：∵， ∴（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣1）（x﹣1）＝6， ∴x2﹣1﹣（x2﹣2x+1）＝6， ∴2x＝8， ∴x＝4． 故答案为：4． 14．如图的数阵是由77个偶数排成： 小颖用一平行四边形框出四个数（如图中示例），计算出四个数的和是436，那么这四个数中最小的一个是 　100　 ． 【解答】解：设最小的一个数是x，笑容其他三个数为：x+2，x+16，x+18， 由题意得，x+（x+2）+（x+16）+（x+18）＝436， 解得：x＝100， 即：这四个数中最小的一个是100． 故答案为：100． 15．2025年第四届中国青少年足球联赛（福建赛区）暨福建青少年足球联赛男子初中年龄段U13组比赛，南安代表队问鼎省级联赛冠军．在本次足球联赛中，常规时间内胜一场得3分，负一场得0分；若常规时间内打平，则采取直接互罚球点球的方式决定该场胜负，点球胜一场得2分，负一场得0分．已知某支球队7场比赛皆取得胜利，总积分是18分，则这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数是　3　 ． 【解答】解：设这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数是x，则这支球队在常规时间内获胜的场数是（7﹣x）， 根据题意得：3（7﹣x）+2x＝18， 解得：x＝3， ∴这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数是3． 故答案为：3． 16．一列火车正在匀速行驶，它先用26秒的时间通过了长256米的隧道甲（即从火车头进入入口到车尾离开出口），又用16秒的时间通过了长96米的隧道乙．则下列结论： ①这列火车长160米． ②这列火车的行驶速度为每秒16米． ③若保持原速度不变，则这列火车通过长160米的隧道丙需用时10秒． ④若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间将变为原来的一半． 其中正确的结论是 　①②④　 ．（填写所有正确结论的序号） 【解答】解：①设这列火车的长度为x米， 依题意得：， 解得：x＝160， 即这列火车长度为160米，故①正确； ②这列火车的行驶速度为：（160+96）÷16＝16（米/秒），故②正确； ③这列火车通过长160米的隧道丙需用时：（160+160）÷16＝20（秒），故③错误； ④（160+256）÷16＝26（秒），（160+256）÷（16×2）＝13（秒）， 即若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间将变为原来的一半，故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题预习（46分） 17．今年“双十一”活动期间，某种皮装的单价是某种时装单价的1.4倍，5件时装比3件皮装贵600元，求时装和皮装的单价分别为多少元． 【解答】解：设时装的单价为x元，则皮装的单价为1.4x元， 根据题意得：5x﹣3×1.4x＝600， 解得：x＝750， ∴1.4x＝1.4×750＝1050（元）． 答：时装的单价为750元，皮装的单价为1050元． 18．一本书的定价是75元，售出后可获利50%，如果按定价的七折出售，则可获利多少元？ 【解答】解：设这本书的成本价为x元， 根据题意得：75﹣x＝50%x， 解得：x＝50， ∴75×0.7﹣x＝75×0.7﹣50＝2.5（元）． 答：可获利2.5元． 19．某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为x． （1）请用含x的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除； （2）若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出x的值． 【解答】解：（1）∵设原两位数的个位数字为x，十位数字与个位数字之和为9， ∴原两位数的十位数字为9﹣x， ∴得到的新的两位数为10x+（9﹣x）＝9x+9， ∵9x+9＝9（x+1），且x+1为整数， ∴这个新的两位数能被9整除； （2）根据题意得：10（9﹣x）+x+45＝9x+9， 解得：x＝7． 答：x的值为7． 20．中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展，提高了人们的生活水平．某市招标建设一段长为14千米的无桥梁高速公路路基，现有A，B两家公司竞标了这项工程，已知A公司每天能修建路基0.5千米，B公司每天能修建路基1千米，若由A，B两家公司合作完成任务，且B公司的工作时间比A公司工作时间的2倍多4天，则A公司的工作时间为多少天？ 【解答】解：设A公司的工作时间为x天，则B公司的工作时间为（2x+4）天， 根据题意得：0.5x+（2x+4）＝14， 解得：x＝4． 答：A公司的工作时间为4天． 21．某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题： （1）求小明原计划购买文具袋多少个？ （2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计272元．问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？ 【解答】解：（1）设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了（x+1）个， 由题意得：10（x+1）×0.85＝10x﹣17． 解得：x＝17； 答：小明原计划购买文具袋17个； （2）设小明可购买钢笔y支，则购买签字笔（50﹣y）支， 由题意得：[8y+6（50﹣y）]×80%＝272， 解得：y＝20， 则：50﹣y＝30． 答：小明购买了钢笔20支，签字笔30支． 22．某服装批发商促销一种裤子和T恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，T恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一件裤子送一件T恤； 方案二：裤子和T恤都按定价的80%付款． 现某客户要购买裤子30件，T恤x件（x＞30）： （1）按方案一，购买裤子和T恤共需付款　（50x+1500）　 （用含x的式子表示）； （2）计算一下，购买多少件T恤时，两种优惠方案付款一样？ （3）若两种优惠方案可同时使用，当x＝40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？ 【解答】解：（1）根据题意得100×30+50（x﹣30）＝50x+1500， 故按方案一，购买裤子和T恤共需付款（50x+1500）； 故答案为：（50x+1500）； （2）按方案一，购买裤子和T恤共需付款（100×30+50x）×80%＝40x+2400， ∴50x+1500＝40x+2400， ∴x＝90， 答：购买90件T恤时，付款一样； （3）能，用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，共需付款 30×100+50×（40﹣30）×80%＝3400（元）， ∴共需付款3400元． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第五章 一元一次方程 3. 一元一次方程的应用 知识点预习 一、解决实际问题的标准化流程（课本图5-4） 1. 抽象建模 将实际问题转化为 一元一次方程 关键：识别问题中的 已知量 和 未知量 2. 寻找等量关系 提炼 核心等量关系（通常隐含在问题描述中） 问题类型 ： 等积变形—— 变形前后 体积/容积不变 几何图形 —— 周长/面积公式  古代算题—— 物品总价不变 行程问题 ——路程关系（追及/相遇） 3. 解方程 4. 验证与解释 二、辅助解题工具 工具 作用 教材应用 表格法 对比不同方案中的变量关系 古代算题 线段图 直观展示行程问题中的位置关系 爸爸追小明 阅读材料 跨学科解释现象（生物+数学） 蒙眼绕圈行走原理 三、核心能力要求 5. 提炼等量关系：从文字描述中锁定关键等式（如“容积不变”“路程相等”）。 6. 合理设未知数： 7. 直接设元：设所求量为 xx（如设新高度 xx） 8. 间接设元：设关联量为 xx（如设人数 xx，推导物价） 9. 解决问题步骤 1. 设未知数：设...为； 2. 找等量关系：根据...得 ； 3. 列方程：写出方程 4. 解方程： 5. 作答：写出实际答案。 四、总结 本节通过 等积变形、古代算题、行程问题、几何应用 四大经典题型，培养学生从实际问题抽象方程、规范求解并验证结果的能力。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．小王第一天做了x个零件，第二天比第一天多做5个，第三天做的零件是第二天的2倍，若三天共做零件75个，则第一天做了（　　）个． A．15 B．14 C．10 D．20 2．（平均数问题）有四个数，其中每三个数的和分别是45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是（　　） A．12 B．18 C．36 D．45 3．一双鞋子，如果卖169元可赚30%；如果卖104元，就要亏（　　） A．20% B．25% C．30% D．33.3% 4．一件衣服原价288元，先降价10%，后来又在降价的基础上涨价10%．现在的价格与原来的价格相比（　　） A．降低了 B．升高了 C．没有变 D．不能确定 5．某商店出售两件衣服，每件卖了200元，其中一件赚了25%，而另一件赔了20%，那么商店在这次交易中（　　） A．赚了10元 B．亏了10元 C．赚了20元 D．亏了20元 6．我国古代数学名著《张丘建算经》中有许多涉及买卖的方程问题．某人用钱买物，若买9件，剩余3钱；若买11件，不足4钱．求每件物品的价格．设每件物品的价格为x钱，根据题意，可列方程为（　　） A．9x﹣3＝11x﹣4 B．9x﹣4＝11x+3 C．9x+3＝11x﹣4 D．9x+3＝11x+4 7．中国古代名著《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其译文为：“每三人乘一车，最终剩余2辆空车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问人与车各有多少？”，设有车x辆，则根据题意，可列出方程（　　） A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x﹣2）＝2x+9 C．3（x+2）＝2x+9 D．3（x﹣2）＝2x﹣9 8．某农场要对一块麦田施底肥，现有化肥若干千克．如果每公顷施肥400千克，那么余下化肥800千克；如果每公顷施肥500千克，那么缺少化肥300千克．若设现有化肥x千克，则可列方程为（　　） A． B． C．800300 D．800300 9．九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为18cm；供水6小时，箭尺读数为42cm．设开始高度为x cm，根据题意可列方程为（　　） A．2（18﹣x）＝6（42﹣x） B．2（18+x）＝6（42+x） C． D． 10．某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元，有下列结论： ①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多； ②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少； ③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题预习（24分） 11．小明的妈妈今年44岁，是小明年龄的3倍还大2岁，设小明今年x岁，则可列出方程：　 　 ． 12．从一个直径为12cm的圆柱形茶壶向一个直径为6cm，高12cm的圆柱形茶杯倒水，茶杯中水满后，茶壶中水的高度下降了　 　 cm． 13．将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则x的值为　 　 ． 14．如图的数阵是由77个偶数排成： 小颖用一平行四边形框出四个数（如图中示例），计算出四个数的和是436，那么这四个数中最小的一个是 　 　 ． 15．2025年第四届中国青少年足球联赛（福建赛区）暨福建青少年足球联赛男子初中年龄段U13组比赛，南安代表队问鼎省级联赛冠军．在本次足球联赛中，常规时间内胜一场得3分，负一场得0分；若常规时间内打平，则采取直接互罚球点球的方式决定该场胜负，点球胜一场得2分，负一场得0分．已知某支球队7场比赛皆取得胜利，总积分是18分，则这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数是　 　 ． 16．一列火车正在匀速行驶，它先用26秒的时间通过了长256米的隧道甲（即从火车头进入入口到车尾离开出口），又用16秒的时间通过了长96米的隧道乙．则下列结论： ①这列火车长160米． ②这列火车的行驶速度为每秒16米． ③若保持原速度不变，则这列火车通过长160米的隧道丙需用时10秒． ④若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间将变为原来的一半． 其中正确的结论是 　 　 ．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题预习（46分） 17．今年“双十一”活动期间，某种皮装的单价是某种时装单价的1.4倍，5件时装比3件皮装贵600元，求时装和皮装的单价分别为多少元． 18．一本书的定价是75元，售出后可获利50%，如果按定价的七折出售，则可获利多少元？ 19．某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为x． （1）请用含x的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除； （2）若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出x的值． 20．中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展，提高了人们的生活水平．某市招标建设一段长为14千米的无桥梁高速公路路基，现有A，B两家公司竞标了这项工程，已知A公司每天能修建路基0.5千米，B公司每天能修建路基1千米，若由A，B两家公司合作完成任务，且B公司的工作时间比A公司工作时间的2倍多4天，则A公司的工作时间为多少天？ 21．某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题： （1）求小明原计划购买文具袋多少个？ （2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计272元．问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？ 22．某服装批发商促销一种裤子和T恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，T恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一件裤子送一件T恤； 方案二：裤子和T恤都按定价的80%付款． 现某客户要购买裤子30件，T恤x件（x＞30）： （1）按方案一，购买裤子和T恤共需付款　 　 （用含x的式子表示）； （2）计算一下，购买多少件T恤时，两种优惠方案付款一样？ （3）若两种优惠方案可同时使用，当x＝40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $$