专题12 勾股定理与逆定理的八类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024八年级上册

专题12 勾股定理与逆定理的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、已知直角三角形的两边，求第三边长 类型二、等面积法求斜边上的高问题 类型三、勾股定理与网格问题 类型四、勾股定理的验证方法 类型五、判断三边能否构成直角三角形 类型六、在网格中判断直角三角形 类型七、利用勾股定理的逆定理求解 类型八、勾股定理逆定理的实际应用 压轴专练 类型一、已知直角三角形的两边，求第三边长 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²（c为斜边，a、b为直角边）。 2.分类讨论：已知两边需判断是否为直角边。若均为直角边，直接用勾股定理求斜边；若一边为斜边，用斜边平方减已知直角边平方求另一边。 3.注意事项：边长为正数，计算后需验证结果合理性，避免忽略斜边与直角边的区别导致漏解。 例1．已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则第三边长的平方是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形，解题的关键是确定直角边和斜边．根据勾股定理，已知直角三角形的两条直角边长，第三条边即斜边长的平方为两条直角边的平方和． 【详解】解：直角三角形的两直角边长分别为3和4， 根据勾股定理，第三条边即斜边长的平方为； 故答案为：． 【变式1-1】直角三角形的两条直角边长分别是6，8，则第三边长是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边的长的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是6，8， ∴第三边长是， 故答案为：． 【变式1-2】计算图中线段的长： ， ． 【答案】 12 26 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，，， 故答案为：12；26． 【变式1-3】在中，已知其中两边分别为6和8，则第三边为 ． 【答案】10或 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理．本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：设第三边为x，则 （1）若8是直角边，则第三边x是斜边， 由勾股定理得，，解得：； （2）若8是斜边，则第三边x为直角边， 由勾股定理得，，解得． 所以第三边长为10或． 故答案为：10或． 类型二、等面积法求斜边上的高问题 1.核心原理：直角三角形面积可通过两直角边表示（S=1/2ab），也可通过斜边与斜边上的高表示（S=1/2ch），利用面积相等建立等式。 2.公式推导：由1/2ab=1/2ch，得斜边上的高h=ab/c（a、b为直角边，c为斜边）。 3.应用前提：需先明确直角三角形的直角边和斜边，若斜边未知，需先用勾股定理求出斜边长度再计算高。 例2．若直角三角形的两直角边长分别为6，12，则该直角三角形的斜边上的高为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，与三角形的高有关的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得出斜边长为，设斜边上的高为再由等面积法计算即可得解． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为6，12， ∴斜边长为， 设斜边上的高为 由题意得， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】直角三角形两直角边长分别为3和，则斜边上的高为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理求斜边长，然后根据直角三角形的面积列式计算求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，斜边长为， 设斜边上的高为， 则 解得 故答案为：． 【变式2-2】如图，在中，是斜边上的高，如果，，那么 ． 【答案】1 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，根据勾股定理求出，根据等积法求出的值，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：在中，根据勾股定理得 ， ， ， ∵是斜边上的高， ∴， ∴． 故答案为：1． 【变式2-3】睿明同学在学习勾股定理后深入思考发现求一个三角形面积的方法：如图，是的高，高是和的公共直角边，由勾股定理得，，设，可建立关于的方程，求得，进而通过计算就可求出的面积．根据睿明同学的方法，若，，，则的面积为 ． 【答案】84 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，由题意可得，再由勾股定理求出，最后由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：由题意可得， ， ， 故答案为：． 类型三、勾股定理与网格问题 1. 网格特性：网格中线段长度可通过水平、垂直方向格点数计算，水平（垂直）距离为格点差的绝对值，利用勾股定理求斜线长度（√(水平²+垂直²)）。 2. 图形构造：网格中直角三角形可通过找直角边（水平/垂直线段）确定，多边形面积可分割为直角三角形或矩形计算。 3. 验证应用：利用网格边长整数特性，直观验证勾股定理，或通过计算线段长度判断三角形是否为直角三角形。 例3．如图所示的网格是正方形网格，则 °（点A，B，C是网格线交点）． 【答案】45 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 根据网格作出等腰直角三角形即可解答． 【详解】解：如图：取格点D，则， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：45． 【变式3-1】在的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则边上的高为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，首先求出的面积，再根据勾股定理可求出的长，进而根据面积公式即可求得边上的高的长． 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴中边上的高长． 故答案为：． 【变式3-2】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上．以点为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，则的长为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查网格中求线段长，涉及勾股定理，由题中条件及网格可知在中，，，，由勾股定理代值求解即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，，， 在中，，则由勾股定理可得， 故答案为：． 【变式3-3】在边长为1的正方形网格中，均为格点， (1)___________，___________ (2)求中边上的高 【答案】(1)， (2) 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理解三角形是解题的关键． （1）对和直接运用勾股定理即可求解； （2）先由割补法求出的面积，再由即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴由勾股定理得：， ， 故答案为：，； （2）解：由图可得：， ∵，， ∴， ∴． 类型四、勾股定理的验证方法 1.拼图验证：通过割补正方形或直角三角形，如赵爽弦图，将图形面积用两种方式表示，推导a²+b²=c²，体现数形结合思想。 2.面积法：构造以斜边为边的正方形，结合周围直角三角形面积，建立总面积等式，化简得勾股定理，核心是面积守恒。 3.几何证明：利用全等三角形或相似三角形性质，通过对应边成比例或面积关系推导，需掌握三角形全等/相似判定及性质。 例4．（1）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形，弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边为c，结合图①，验证勾股定理； （2）如图②，将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起，形成飞镖状，已知外围轮廓的周长为24，，求该飞镖状图案的面积． 【答案】（1）见解析；（2）该飞镖状图案的面积是24 【知识点】勾股定理的证明方法、以弦图为背景的计算题 【分析】此题考查了勾股定理与弦图，完全平方公式， （1）根据，，进行推理验证即可； （2）求出直角三角形的边长，设，依题意有，求出x，再根据直角三角形的面积去求． 【详解】解：（1）， 即 则； （2） 设 依题意有 解得 ． 故该飞镖状图案的面积是24． 【变式4-1】现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理， (1)请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________． (2)当时，求空白部分的面积． 【答案】(1) (2)13 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键． （1）根据题意和图形即可求解； （2）根据空白部分的面积等于以c为边的正方形的面积减去2个直角三角形的面积可得空白部分的面积为，再把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积为：， 即最后化简为； 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为； 根据面积相等，得：， 化简最后结果是， 故答案为：； （2）解：根据题意得：空白部分的面积为：， 当时，原式． 【变式4-2】【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图①所示的方式摆放，连接，的三边长分别为a，b，c（），四边形的面积可以表示为或，从而推导出． 【探究】（1）淇淇将从图①的位置开始沿向左移动，直到点F与点B重合时停止，如图②所示，与交于点O，下面是淇淇利用图②证明勾股定理的过程．请将淇淇的探究过程补充完整． 证明：连接，． ______； __________________． 由，可得到______；整理得：______． 【应用】（2）在图②的基础上，若四边形的面积为200，的长为12，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）16． 【知识点】勾股定理的证明方法、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理的证明和应用： （1）利用两种不同的方法表示出四边形的面积，即可得证； （2）分割法表示四边形的面积，进而求出的值，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1）证明：连接，． ， 如图1所示，，则由平移的性质可得在图2中， ， ， ， ； （2）， ， ， ， 或（舍去）， ． 类型五、判断三边能否构成直角三角形 1.勾股定理逆定理：若三角形三边a、b、c（c为最长边）满足a²+b²=c²，则为直角三角形，反之不是。 2.步骤要点：先确定最长边，计算最长边平方与另两边平方和，比较是否相等。 3.注意事项：需先判断三边能否构成三角形（两边之和大于第三边），再用逆定理验证，避免忽略三边关系前提。 例5．已知，，是的三条边，则下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理，熟练应用勾股定理逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A．由，设，则，即，能判定不是直角三角形，不合题意； B．由可得，能判定是直角三角形，符合题意； C．由可得，不能判定是直角三角形，不合题意； D．由可得，不能判定是直角三角形，不合题意． 故选：B． 【变式5-1】已知，，，，则下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐一分析各选项是否能判定为直角三角形． 【详解】解：．设三边分别为、、，则，满足勾股定理，是直角三角形，故该选项不符合题意； ．由三角形内角和为，得，即，故，是直角三角形，故该选项不符合题意； ．，，（对应，，）．最长边为，若为直角三角形，则需满足，即，不满足勾股定理，故不能判定为直角三角形，故该选项符合题意； ．．设角分别为，，，则，解得，最大角，是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式5-2】下列条件中，不能判定为直角三角形是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理进行判定即可选项A；根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断选项B；根据三角形的内角和为度，计算出的值即可判断选项C；根据角的比值和三角形的内角和为度求出各角的度数，即可判断选项D． 【详解】A、当，，， ，故是直角三角形， B、当时，设，，， 则，故是直角三角形， C、当时，∵，则，故是直角三角形， D、当时，∵，则最大角为，故不是直角三角形， 故选：D． 【变式5-3】满足下列条件的，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、由得符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； B、由，及得，故不是直角三角形； C、由三角形三个角度数和是及解得，故是直角三角形． D、由得符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； 故选：B． 类型六、在网格中判断直角三角形 1. 网格边长计算：利用网格水平、垂直方向格点距离，求线段长度（水平/垂直为格数差，斜线用勾股定理得√(m²+n²)，m、n为格数）。 2. 逆定理应用：算出三边长度后，找最长边，验证其平方是否等于另两边平方和，判断是否为直角三角形。 3. 直角顶点判断：网格中直角常出现在水平与垂直线段交点，可通过观察边的垂直关系辅助判断，简化计算。 例6．如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，均在网格的格点上，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、三角形的面积，利用勾股定理求线段长度是解题的关键．根据勾股定理求出、、，利用勾股定理的逆定理推出，再利用割补法求出，结合选项即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 结合选项可得，A、B、C选项结论正确，D选项结论不正确． 故选：D． 【变式6-1】如图，小正方形的边长均为，、、在小正方形的格点上，连接，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数． 【详解】解：根据勾股定理可得： ，， ，即， 是等腰直角三角形． ． 故选：A． 【变式6-2】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 【答案】C 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可． 【详解】解：A、，本选项结论正确，不符合题意； B、，，， ， ， 本选项结论正确，不符合题意； C、，本选项结论错误，符合题意； D、点A到的距离，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 【变式6-3】如图所示的网格是正方形网格，点、、、、都是网格线交点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题主要考查勾股定理与网格，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，理解图示，掌握勾股定理与网格，全等三角形的判定和性质是关键． 如图，连接、，由勾股定理逆定理得到是等腰直角三角形，，再证明，得到，由即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 由勾股定理得：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故选：B． 类型七、利用勾股定理的逆定理求解 1. 定理内容：若三角形三边a、b、c（c为最长边）满足a²+b²=c²，则该三角形为直角三角形，c所对的角为直角。 2. 应用步骤：先确定最长边，计算其平方与另两边平方和，比较是否相等，相等则为直角三角形。 3. 关联知识：需结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）先判断能否构成三角形，再用逆定理，常用于判断三角形形状或证明垂直关系。 例7．如图，已知在中，，，，平分，则的面积为 ．    【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查角平分线的性质定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； 作于，根据，证明为直角三角形，进而求得的长，根据面积法求解即可； 【详解】解：如图，作于， ，，， ， ， 平分，，， ，设， ， ， ， ， ； 故答案为： 【变式7-1】如图，在中，点D为边上的中点，，，，则边上的高的长为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再根据点D为边上的中点即可得出是等腰三角形，故可得出的长；再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵点D为边上的中点，， ∴， ∵中，，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-2】在中，，，，点D为外一点，，，则、、、围成的四边形的面积为 ． 【答案】36或24/24或36 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式计算即可．注意分点B在外部与内部两种情况讨论． 【详解】解：中，，，， ，， ， 是直角三角形， ， 分两种情况，当点B在外部时，如图： 、、、围成的四边形的面积为：； 当点B在内部时，如图： 、、、围成的四边形的面积为：； 故答案为：36或24． 【变式7-3】如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，． (1)________； (2)记的面积为，的面积为，则的值为________． 【答案】(1)90 (2)66 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积公式．勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形． （1）根据题意得到，进而得到，利用勾股定理的逆定理来求解； （2）根据三角形的面积公式易得到，，表示出，再结合题意求出和的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为：90． （2）∵，， ∴，， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：66． 类型八、勾股定理逆定理的实际应用 1. 问题转化：将实际场景中的距离、长度转化为三角形三边，通过测量或计算得边长。 2. 判定应用：找出最长边，验证其平方是否等于另两边平方和，确定是否为直角三角形。 3. 场景适配：适用于判断墙角、支架等是否垂直，或规划路线是否构成直角路径，需结合实际提取几何模型。 例8．如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 【答案】(1) (2)米 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练的掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，则米，由线段垂直平分线的性质得到米，在中，根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ∴； （2）解：设米，则米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米， 在中，由勾股定理得， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离的长）为米． 【变式8-1】劳动教育能够提升学生的创造力，强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长为24米，边长为7米，蔬菜区的边长为20米，边长为15米，． (1)求小路的长； (2)求的度数和蔬菜区的面积． 【答案】(1)小路的长为25米 (2)的度数为，蔬菜区的面积为150平方米 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）由勾股定理的逆定理求的度数，再根据三角形面积求解． 【详解】（1）解：∵，米，米， ∴(米)， 答：小路的长为25米． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴(平方米) ． 答：的度数为，蔬菜区的面积为150平方米． 【变式8-2】如图，某景区内有一个露营区，湖边上原有两个观景台和，且，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台（、、在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题： (1)试判断步道是否是露营区到湖边的最短路径，并说明理由； (2)求观景台与观景台之间距离的长． 【答案】(1)是，见解析； (2)观景台与观景台之间距离的长为． 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）在中，∵，， ∴ ∴，即 根据垂线段最短， ∴是露营区到湖边的最短路径； （2）∵ ∴ ∴在中，由勾股定理得 解得： 答：观景台与观景台之间距离的长为． 【变式8-3】如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且． (1)求的度数． (2)若直线为工厂的车辆进出道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，求被监控到的道路长度为多少米？（精确到1m，参考数据，） 【答案】(1) (2)被监控到的道路长度为． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理逆定理解答即可； （2）根据轴对称的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：连接， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， 在中，， 是直角三角形，， ； （2）解：过点作于，作点关于的对称点，连接， ， 由轴对称的性质，得：，， 由（1）知，， ， 是等腰直角三角形，， ∴， ， ， 被监控到的道路长度为． 一、单选题 1．在中，，，，则的长是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，直角三角形的性质．过C作于D，证明，可得，再利用直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，过C作于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 2．下列说法错误的是（     ） A．在中，若，则为直角三角形 B．在中，若，则为直角三角形 C．在中，若， ，则为直角三角形 D．在中，若， ，，则为直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握直角三角形的判定定理是解题的关键 分别根据直角三角形两锐角互余及勾股定理进行逐一解答即可． 【详解】A． 若，则三角形中最大角为则为直角三角形，原说法正确，故该选项不符合题意； B． 若，则，所以，则为直角三角形，原说法正确，故该选项不符合题意； C． 若， ，由勾股定理的逆定理可得：，则为直角三角形，原说法正确，故该选项不符合题意； D． ， ，，，，，则不是直角三角形，原说法正确，故该选项符合题意； 故选：D． 3．如图，在中，，，且，，则的长是（   ） A．4.8 B．8 C．9.6 D．10 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 根据等腰三角形的性质得，然后在中，由勾股定理即可求出的长，再由，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选C． 4．如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（   ） A． B．0．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与无理数．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 如图，连接，则，由图可知，，由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，连接，则， 由图可知，， 由勾股定理得，， ， 故选：D． 5．如图，O是等边三角形内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④．其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】连接，作交的延长线于点E，由等边三角形的性质得，，由旋转得，，则是等边三角形，，可证明，则可以由绕点B逆时针旋转得到，可判断①正确；因为，所以点O与的距离为4，可判断②正确；因为，，所以，则，而，则，可判断③正确；因为，则，所以，则，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作交的延长线于点E， ∵是等边三角形， ∴，， ∵将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段， ∴， ∴是等边三角形，， 在和中， ， ∴， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到， 故①正确； ∴， ∴点O与的距离为4， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， ∴， 故④错误， 故选：C． 【点睛】此题重点考查等边三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 二、填空题 6．如图，在，，则 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了勾股定理以及含角的直角三角形的性质，熟练应用勾股定理是解题关键． 首先根据直角三角形的性质得出，再利用勾股定理得出的长． 【详解】解：在中，， 则， 由勾股定理得，，即， 解得：． 故答案为：1． 7．如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，则的形状为 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握相关内容是解题的关键．根据三角形网格求出三角形的边长，再根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ， ， ∴， ∴的形状为直角三角形． 故答案为：直角三角形． 8．如图，在中，， ， ，则点C 到斜边的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等面积法求三角形的高，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 先利用勾股定理求出，再利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点到斜边的距离为， 故答案为：． 9．若是的三边，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积，先根据绝对值、平方、二次根式的非负性求出的值，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积公式计算即可，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， 解得，，， ∵， ∴是直角三角形， ∴的面积， 故答案为：． 10．如图，在中，，，分别为，边上的高，连接，若， ，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形三线合一、直角三角形斜边中线性质、勾股定理．解题关键是通过等腰三角形三线合一确定为中点，再利用直角三角形斜边中线性质得出与的数量关系，最后借助勾股定理算出的长度．本题围绕等腰三角形和直角三角形的性质展开．已知是等腰三角形、为高，需借助直角三角形斜边中线性质，建立与的联系，再结合勾股定理求解． 【详解】解：∵， ∴是的中点． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在 中，，． ， 故答案为：． 三、解答题 11．如图，在中，，是边上的高． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）若点是的中点，则垂直平分可得，进而得到，则是等边三角形，即可证明结论； （2）设，则，可得，利用勾股定理求出，在中，运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵点D是的中点，是边上的高． ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． （2）解：设，则， ∴， ∵是边上的高， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）， ∴． 12．已知，，是的三边，且，，． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行计算即可求解； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由： ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且是直角； （2）解：的面积． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 13．如图，每个小正方形的边长为1．    (1)求四边形的面积和周长； (2)是直角吗？请说明理由． 【答案】(1)四边形的面积为，周长为 (2)是直角，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理；勾股定理逆定理，数形结合是解题的关键； （1）根据勾股定理直接求解及割补法求解即可得到答案； （2）根据勾股定理逆定理直接判断即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ，，，， 则四边形的周长为 由图形可得，   ； （2）解：是直角，理由如下， 由勾股定理得，   ， ∵， ∴是直角． 14．如图，四边形 中， 平分 为 上一点， ． (1)判断 的形状，并说明理由； (2)求 的长． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要应用勾股定理的逆定理判断三角形形状，以及利用角平分线的性质求解线段长度． ()根据勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长满足(为最长边)，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角；得出是直角三角形即可； ()根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；得出即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴ 即：， ∴是直角三角形； （2）∵是直角三角形， ∴ ， ∵，平分，， ∴． 15．如图，在中，，，． (1)点P在上， ①如图1，当时， ； ②如图2，当点P在的平分线上时，求的长； (2)如图3，点M在上，若为等腰三角形，直接写出的长． 【答案】(1)①；②25 (2)的长为20或25或14 【分析】（1）①根据勾股定理求出，根据等腰三角形的判定得出，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可； ②过点作于，设，则，根据角平分线的性质得出，证明，得出，根据勾股定理得出，求出x的值即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ， ， ， 设，则，， 在Rt中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即的长为； ②如图1，过点作于，设，则， 点在的平分线上，且，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， 的长为25． （2）解：若为等腰三角形，有三种情况： 当时，如图2， ； 当时，如图3， ， ，， ， ， ， ． 当时，如图4， 过点作于点， ， ， ， 解得：， 在中，由勾股定理得： ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 16．综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)A，C (2)建造绿化地的费用为11400元 (3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为700元． 17．阅读材料，解决问题：      (1)如图 ① 等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为5，12，13，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出　 　； (2)请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题，已知如图②，中，，E、F为上的点且，求证： ； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质可得为等边三角形，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，从而求出答案； （2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转证明，再根据等腰三角形的性质求出，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意知旋转角， ∴为等边三角形， ， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴； （2）证明：如图，把绕点A逆时针旋转得到，      由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，                                           …. ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 18．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．    (1)如图②，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)原路长6.5千米 【分析】本题主要考查勾股定理及等积法，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据梯形面积为或，则有等式，然后问题可求解； （2）设千米，则千米，然后根据勾股定理可得方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴梯形的面积为或， ∴， ∴， 即； （2）解：设千米，则千米， 在中，，即， 解得，即， 答：原路长千米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 勾股定理与逆定理的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、已知直角三角形的两边，求第三边长 类型二、等面积法求斜边上的高问题 类型三、勾股定理与网格问题 类型四、勾股定理的验证方法 类型五、判断三边能否构成直角三角形 类型六、在网格中判断直角三角形 类型七、利用勾股定理的逆定理求解 类型八、勾股定理逆定理的实际应用 压轴专练 类型一、已知直角三角形的两边，求第三边长 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²（c为斜边，a、b为直角边）。 2.分类讨论：已知两边需判断是否为直角边。若均为直角边，直接用勾股定理求斜边；若一边为斜边，用斜边平方减已知直角边平方求另一边。 3.注意事项：边长为正数，计算后需验证结果合理性，避免忽略斜边与直角边的区别导致漏解。 例1．已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则第三边长的平方是 ． 【变式1-1】直角三角形的两条直角边长分别是6，8，则第三边长是 ． 【变式1-2】计算图中线段的长： ， ． 【变式1-3】在中，已知其中两边分别为6和8，则第三边为 ． 类型二、等面积法求斜边上的高问题 1.核心原理：直角三角形面积可通过两直角边表示（S=1/2ab），也可通过斜边与斜边上的高表示（S=1/2ch），利用面积相等建立等式。 2.公式推导：由1/2ab=1/2ch，得斜边上的高h=ab/c（a、b为直角边，c为斜边）。 3.应用前提：需先明确直角三角形的直角边和斜边，若斜边未知，需先用勾股定理求出斜边长度再计算高。 例2．若直角三角形的两直角边长分别为6，12，则该直角三角形的斜边上的高为 ． 【变式2-1】直角三角形两直角边长分别为3和，则斜边上的高为 ． 【变式2-2】如图，在中，是斜边上的高，如果，，那么 ． 【变式2-3】睿明同学在学习勾股定理后深入思考发现求一个三角形面积的方法：如图，是的高，高是和的公共直角边，由勾股定理得，，设，可建立关于的方程，求得，进而通过计算就可求出的面积．根据睿明同学的方法，若，，，则的面积为 ． 类型三、勾股定理与网格问题 1. 网格特性：网格中线段长度可通过水平、垂直方向格点数计算，水平（垂直）距离为格点差的绝对值，利用勾股定理求斜线长度（√(水平²+垂直²)）。 2. 图形构造：网格中直角三角形可通过找直角边（水平/垂直线段）确定，多边形面积可分割为直角三角形或矩形计算。 3. 验证应用：利用网格边长整数特性，直观验证勾股定理，或通过计算线段长度判断三角形是否为直角三角形。 例3．如图所示的网格是正方形网格，则 °（点A，B，C是网格线交点）． 【变式3-1】在的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则边上的高为 ． 【变式3-2】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上．以点为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，则的长为 ． 【变式3-3】在边长为1的正方形网格中，均为格点， (1)___________，___________ (2)求中边上的高 类型四、勾股定理的验证方法 1.拼图验证：通过割补正方形或直角三角形，如赵爽弦图，将图形面积用两种方式表示，推导a²+b²=c²，体现数形结合思想。 2.面积法：构造以斜边为边的正方形，结合周围直角三角形面积，建立总面积等式，化简得勾股定理，核心是面积守恒。 3.几何证明：利用全等三角形或相似三角形性质，通过对应边成比例或面积关系推导，需掌握三角形全等/相似判定及性质。 例4．（1）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形，弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边为c，结合图①，验证勾股定理； （2）如图②，将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起，形成飞镖状，已知外围轮廓的周长为24，，求该飞镖状图案的面积． 【变式4-1】现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理， (1)请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________． (2)当时，求空白部分的面积． 【变式4-2】【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图①所示的方式摆放，连接，的三边长分别为a，b，c（），四边形的面积可以表示为或，从而推导出． 【探究】（1）淇淇将从图①的位置开始沿向左移动，直到点F与点B重合时停止，如图②所示，与交于点O，下面是淇淇利用图②证明勾股定理的过程．请将淇淇的探究过程补充完整． 证明：连接，． ______； __________________． 由，可得到______；整理得：______． 【应用】（2）在图②的基础上，若四边形的面积为200，的长为12，求的长． 类型五、判断三边能否构成直角三角形 1.勾股定理逆定理：若三角形三边a、b、c（c为最长边）满足a²+b²=c²，则为直角三角形，反之不是。 2.步骤要点：先确定最长边，计算最长边平方与另两边平方和，比较是否相等。 3.注意事项：需先判断三边能否构成三角形（两边之和大于第三边），再用逆定理验证，避免忽略三边关系前提。 例5．已知，，是的三条边，则下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知，，，，则下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D． 【变式5-2】下列条件中，不能判定为直角三角形是（   ） A．，， B． C． D． 【变式5-3】满足下列条件的，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 类型六、在网格中判断直角三角形 1. 网格边长计算：利用网格水平、垂直方向格点距离，求线段长度（水平/垂直为格数差，斜线用勾股定理得√(m²+n²)，m、n为格数）。 2. 逆定理应用：算出三边长度后，找最长边，验证其平方是否等于另两边平方和，判断是否为直角三角形。 3. 直角顶点判断：网格中直角常出现在水平与垂直线段交点，可通过观察边的垂直关系辅助判断，简化计算。 例6．如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，均在网格的格点上，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，小正方形的边长均为，、、在小正方形的格点上，连接，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 【变式6-3】如图所示的网格是正方形网格，点、、、、都是网格线交点，则（ ） A． B． C． D． 类型七、利用勾股定理的逆定理求解 1. 定理内容：若三角形三边a、b、c（c为最长边）满足a²+b²=c²，则该三角形为直角三角形，c所对的角为直角。 2. 应用步骤：先确定最长边，计算其平方与另两边平方和，比较是否相等，相等则为直角三角形。 3. 关联知识：需结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）先判断能否构成三角形，再用逆定理，常用于判断三角形形状或证明垂直关系。 例7．如图，已知在中，，，，平分，则的面积为 ．    【变式7-1】如图，在中，点D为边上的中点，，，，则边上的高的长为 ． 【变式7-2】在中，，，，点D为外一点，，，则、、、围成的四边形的面积为 ． 【变式7-3】如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，． (1)________； (2)记的面积为，的面积为，则的值为________． 类型八、勾股定理逆定理的实际应用 1. 问题转化：将实际场景中的距离、长度转化为三角形三边，通过测量或计算得边长。 2. 判定应用：找出最长边，验证其平方是否等于另两边平方和，确定是否为直角三角形。 3. 场景适配：适用于判断墙角、支架等是否垂直，或规划路线是否构成直角路径，需结合实际提取几何模型。 例8．如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 【变式8-1】劳动教育能够提升学生的创造力，强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长为24米，边长为7米，蔬菜区的边长为20米，边长为15米，． (1)求小路的长； (2)求的度数和蔬菜区的面积． 【变式8-2】如图，某景区内有一个露营区，湖边上原有两个观景台和，且，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台（、、在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题： (1)试判断步道是否是露营区到湖边的最短路径，并说明理由； (2)求观景台与观景台之间距离的长． 【变式8-3】如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且． (1)求的度数． (2)若直线为工厂的车辆进出道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，求被监控到的道路长度为多少米？（精确到1m，参考数据，） 一、单选题 1．在中，，，，则的长是（   ） A．2 B． C．3 D． 2．下列说法错误的是（     ） A．在中，若，则为直角三角形 B．在中，若，则为直角三角形 C．在中，若， ，则为直角三角形 D．在中，若， ，，则为直角三角形 3．如图，在中，，，且，，则的长是（   ） A．4.8 B．8 C．9.6 D．10 4．如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（   ） A． B．0．8 C． D． 5．如图，O是等边三角形内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④．其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．如图，在，，则 ． 7．如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，则的形状为 ． 8．如图，在中，， ， ，则点C 到斜边的距离为 ． 9．若是的三边，且，则的面积为 ． 10．如图，在中，，，分别为，边上的高，连接，若， ，则的长为 ． 三、解答题 11．如图，在中，，是边上的高． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，，求的长． 12．已知，，是的三边，且，，． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 13．如图，每个小正方形的边长为1．    (1)求四边形的面积和周长； (2)是直角吗？请说明理由． 14．如图，四边形 中， 平分 为 上一点， ． (1)判断 的形状，并说明理由； (2)求 的长． 15．如图，在中，，，． (1)点P在上， ①如图1，当时， ； ②如图2，当点P在的平分线上时，求的长； (2)如图3，点M在上，若为等腰三角形，直接写出的长． 16．综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 17．阅读材料，解决问题：      (1)如图 ① 等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为5，12，13，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出　 　； (2)请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题，已知如图②，中，，E、F为上的点且，求证： ； 18．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．    (1)如图②，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$