专题11 平方根与立方根的六类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024八年级上册

专题11 平方根与立方根的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用算术平方根的非负性解题 类型二、利用平方根和立方根的定义解方程 类型三、求算术平方根的整数部分和小数部分 类型四、与算术平方根有关的规律探索题 类型五、与立方根有关的规律探索题 类型六、平方根与立方根的综合 压轴专练 类型一、利用算术平方根的非负性解题 1. 明确非负性性质：算术平方根具有双重非负性，即≥0（a≥0），被开方数a是非负数，算术平方根本身也是非负数。这是解题的核心依据，任何基于算术平方根的等式或不等式，都必须满足该性质。 2. 常见应用场景：在方程+ =0中，因为两个非负的算术平方根相加为0，则每一项都为0，即x - 2 = 0且y + 3 = 0，从而求解未知数；在函数y=中，根据被开方数非负确定自变量x的取值范围x≥ 。 3. 解题注意事项：分析题目时，要全面考虑所有算术平方根的非负条件；求解后需检验所得结果是否满足被开方数非负的前提，避免增根。同时，善于将其他非负量（如绝对值、平方数）与算术平方根结合，利用“若几个非负数和为0，则每个非负数为0”的性质综合解题。 例1. 已知，则 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，根据算术平方根的非负性得到，求出，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】已知实数满足，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了非负数的性质，负整数指数幂的意义等知识，先根据非负数的性质求出x、y的值，然后代入并结合负整数指数幂的意义求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：2． 【变式1-2】若与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，以及二元一次方程组的解法，根据几个非负数的和等于0，则每一个数都等于0列式是解题的关键． 先根据互为相反数的和等于0列式，再根据非负数的性质列出二元一次方程组，最后解二元一次方程组求出、的值，然后代入求解即可． 【详解】与互为相反数， ， ， 解得 ∴． 故答案为：． 【变式1-3】若实数，满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，代数式求值，先利用非负数的性质求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 类型二、利用平方根和立方根的定义解方程 1. 平方根定义：若x²=a（a≥0），则x=±√a，解方程时需注意被开方数非负，解有两个（互为相反数）。 2. 立方根定义：若x³=a，则x=³√a，被开方数可为任意实数，解唯一。 3. 应用要点：先将方程化为x²=a或x³=a的形式，再用对应定义求解，注意平方根的双重性与立方根的唯一性。 例2. 求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根与立方根的应用，熟练掌握平方根与立方根的概念，对等式进行变形是解决本题的关键． （1）先两边同时除以3，再根据平方根的概念求解即可． （2）先移项，再两边同时除以2，再根据立方根的概念求解即可． 【详解】（1）解：方程为， 两边同时除以3可得，， 所以， 即，， 解得，． （2）解：方程为， 移项可得， 两边同时除以2可得，， 所以， 解得． 【变式2-1】求下列各式中的 (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查的是利用平方根的含义解方程，利用立方根的含义解方程，掌握“平方根与立方根的含义”是解本题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）直接利用立方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解： 或 或； （2）解： ． 【变式2-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了立方根和平方根的应用，理解平方根和立方根的定义是解题关键． （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：，； （2）解：， ， 解得：． 【变式2-3】解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根，立方根定义求解方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）先整理为，再利用平方根定义解方程即可； （2）先整理为 ，再利用立方根定义解方程即可； 【详解】（1）解：由 得 所以 所以 或 解得 或 （2）解：由 得 所以 所以 解得 类型三、求算术平方根的整数部分和小数部分 1.确定整数部分：通过比较法，找出与被开方数相邻的两个完全平方数。例如求的整数部分，由于16<17<25，即<<，所以4<<5，从而确定的整数部分是4。这种方法的关键在于快速找到合适的完全平方数进行大小比较。 2.计算小数部分：根据“一个数 = 整数部分 + 小数部分”，可知小数部分 = 该数 - 整数部分。如已确定的整数部分是4，那么它的小数部分就是-4 。 3.应用与拓展：在实际问题中，可利用算术平方根整数与小数部分的结果进行估算和近似计算；对于复合根式，同样先确定整体的整数部分，再计算小数部分，并且在计算过程中要注意根式的运算规则和性质，确保结果的准确性。 例3. 若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 【答案】 【分析】根据首先确定的值，则小数部分即可确定． 【详解】解：， ， 则． 故答案是：3，． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 【变式3-1】的整数部分是 ．小数部分是 ． 【答案】 3 【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为； 故答案为3，． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键． 【变式3-2】已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 【变式3-3】已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为 ． 【答案】． 【分析】先求出介于哪两个整数之间，即可求出它的整数部分，再用减去它的整数部分求出它的小数部分，再代入即可. 【详解】∵9＜13＜16， ∴3＜＜4， ∴a=3，b=﹣3， ∴2a﹣b=2×3﹣（﹣3）=6﹣+3=． 故答案为． 【点睛】此题考查的是带根号的实数的整数部分和小数部分的求法，利用平方找到它的取值范围是解决此题的关键. 类型四、与算术平方根有关的规律探索题 1. 观察数据特征：对含有算术平方根的数列、算式或图形，需观察被开方数的变化规律，如递增、递减的模式，是等差、等比或特殊规律；分析算术平方根与其他数字间的运算关系，以及系数、指数的变化特征，从局部到整体把握数据共性，为规律探索提供方向。 2. 归纳总结规律：从简单、特殊的例子入手，通过计算、对比和推理，尝试用代数式或语言描述规律。利用不完全归纳法，总结数字、符号、根式结构的变化趋势，形成一般性结论，并通过更多实例验证规律的普适性，确保结论可靠。 3. 应用与拓展规律：将总结的规律用于计算未知项、预测后续变化或解决拓展问题。应用时注意规律适用的条件和范围，结合算术平方根的性质与运算法则进行计算，还可逆向思考规律的变形与应用，提升对规律探索问题的综合解题能力。 例4. 按要求填空： （1）填表并观察规律： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______． 【答案】（1）见解析；（2）； 【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，根据解题过程找出一般规律是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据计算找出规律即可得到答案． 【详解】解：（1），，，， 填表如下： a （2）由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍， ； ， ， ∵， ． 【变式4-1】（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 ___________ ___________ ___________ ___________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则___________； ②已知，则___________． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】（1）0.08，0.8，8，80；（2）①5800；②0.001225；（3）求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的 【分析】本题考查算术平方根中的规律探究： （1）根据算术平方根的定义，填表即可； （2）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，进行求解即可； （3）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，作答即可． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.0064 0.64 64 6400 0.08 0.8 8 80 （2）①，则：； 故答案为：5800； ②已知，则； 故答案为：0.001225； （3）由表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的． 【变式4-2】先填写表，通过观察后再回答问题∶ a … 1 … … x 1 y … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题∶ ①已知，则________； ②已知，若，用含m的式子表示b，则________； (3)试比较与a的大小． 【答案】(1)，； (2)①；②； (3)见解析 【分析】本题考查了求算术平方根及算术平方根的规律： （1）根据算术平方根定义直接求解即可得到答案； （2）①根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍求解即可得到答案；②根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍求解即可得到答案； （3）分，，，四类讨论即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意得， ，， 故答案为：，； （2）解：由表格及（1）得， 被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍， ①∵， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：当时， ， 当时， ， 当，时， ． 类型五、与立方根有关的规律探索题 1. 观察数据特征：针对涉及立方根的数列、算式，重点观察被开方数的变化规律，如相邻数差值、倍数关系或特殊数列特征；分析立方根与系数、指数等的关联，留意正负号变化规律。例如，观察数列中被开方数是否为立方数序列，或存在特定运算逻辑，为寻找规律奠定基础。 2. 归纳总结规律：从简单特殊情形出发，通过计算对比，用代数式或文字概括规律。利用不完全归纳法，总结立方根运算中数字、符号及运算形式的共性。如发现被开方数扩大n3倍时，立方根扩大n倍等规律，并代入更多数据验证，确保结论准确。 3. 应用拓展规律：运用总结的规律计算未知项、推导后续变化。应用时明确规律适用条件，结合立方根性质和运算法则求解。同时，思考规律在不同题型中的变形应用，如结合方程、几何问题等，提升综合运用能力。 例5. 观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1)0.01，100 (2) (3)当或时，；当或或时，；当或时， 【知识点】与立方根有关的规律探索、求一个数的立方根 【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． （1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：（1）；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：0.01、100； （2）已知，若，用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3），，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或或时，； 当或时，． 【变式5-1】根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 【答案】2，，0，，；；当为偶数时，；当为奇数时， 【分析】此题考查立方根的定义及性质，求一个数的立方根，探究实数的计算规律，正确求出一个数的立方根是解题的关键． 先根据立方根定义填空，以此总结出的结果；对于式子（是整数）需要分为偶数和奇数进行讨论，得到偶次方根和奇次方根的结果． 【详解】解：；；；；， 则对于实数； 对于式子（是整数）， 当为偶数时，； 当为奇数时，． 【变式5-2】（1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 由表你发现了：被开方数的小数点向右(或左)移动 位，其立方根的小数点向右(或左)移动 位； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． （3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为立方米，需要多大面积的铁皮？ 【答案】（1）填表见解析，三，一；（2）①；②；（3）需要大约平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义，先将表格填完整，根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （2）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可； （3）设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 规律：数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位； （2）解：①∵， ∴； ②∵ ∴； （3）解：设正方体的棱长为米，则， ， （平方米）， 答：需要大约平方米的铁皮． 类型六、平方根与立方根的综合 1. 明确概念与性质差异：平方根中，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；立方根中，任何实数都有唯一的立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0。需准确区分两者性质，避免混淆。 2. 掌握运算规则与关系：平方根运算需注意双重结果（正数情况），立方根运算则按实数性质直接求解。对于综合问题，常需结合两者运算规则，如化简含平方根与立方根的混合根式时，分别依据对应性质计算，注意运算顺序与符号处理。 3. 实际应用与解题策略：在方程求解中，若同时出现平方根与立方根，需根据等式关系逐步化简；在实际问题里，如体积与面积转换问题，结合平方根和立方根的意义建模。解题时要检验结果是否符合两者的非负性或唯一性要求，确保答案准确性。 例6. 已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题； （2）根据平方根的定义解决此题． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4 ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∴的平方根为：． 【变式6-1】已知的立方根是，的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、平方根的意义、解二元一次方程组等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义求出a，b，c的值； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）∵的立方根是，的算术平方根是4， ∴， 解得： ∵c是正数且算术平方根等于本身 ∴； （2）∵，， ∴ ∴的平方根为． 【变式6-2】已知的算术平方根是2，的立方根是2，是的整数部分． (1)求的值； (2)若是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根概念， （1）根据平方根，立方根的定义，估算求出的，，的值，代入计算即可得出答案； （2）先得出的值，即可得出结果； 【详解】（1）∵的算术平方根是2， ∴，解得： ∵的立方根是2 ∴，解得： ∵是的整数部分，而， ∴， ∴； （2）由（1）可知，的整数部分是， ∵是的小数部分， ∴， ∴， ∴的平方根是． 【变式6-3】已知的平方根是，的立方根是1，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值 (2)请直接写出的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查的是平方根与立方根的综合题，无理数的整数部分的含义，本题由平方根与立方根的含义再建立方程即可得到a，b的值，再估算出，从而可得答案； （2）本题考查的是求解一个数的算术平方根，把a，b，c的值代入，再求解算术平方根即可，熟练的求解非负数的算术平方根是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ∵c是的整数部分 而 则 ， ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ 的算术平方根为： 3． 一、单选题 1．如果，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质，平方项和算术平方根均为非负数，它们的和为零时，各自必须为零．由此建立方程组求解x和y的值，再计算． 【详解】解：由题意，， 则，， 即． 解得， 故． 故选A． 2．设的整数部分是，小数部分是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，二次根式的混合运算，夹逼法求出的范围，进而求出的值，再根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 3．嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（    ） A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 4．已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可． 【详解】解：， ∴， 故选B． 二、填空题 5．的整数部分是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．先利用夹逼法估算的取值范围，即可得出的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴的整数部分是3， 故答案为：3． 6．若与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数和算术平方根、绝对值的性质，掌握非负数的性质是解题的关键． 根据算术平方根、绝对值非负性，可知两个非负数互为相反数，这两个数均为0，由此得出关于x，y方程组，进而解题． 【详解】解：依题意得： ∵ 和 ， ∴， ∴ ，即 ． 故答案为 6． 7．如下表，被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定规律．若，，则的值为 ． ... 0.0001 0.01 1 100 10000 ... ... 0.01 0.1 1 10 100 ... 【答案】0.0441/ 【分析】本题考查了算术平方根的规律探索，掌握被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律是解决此题的关键．由表可知，被开方数的小数点向左（右）移动（为正整数）位，则它的算术平方根的小数点向左（右）移动位，据此即可求解． 【详解】解：由表可知，被开方数的小数点向左（右）移动（为正整数）位，则它的算术平方根的小数点向左（右）移动位， ∵210的小数点向左移动3位，可以得到，且，， ∴44100的小数点向左移动6位，可以得到， ∴的值为0.0441． 故答案为：0.0441． 8．下表是部分正数x的平方和立方． x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 65.61 67.24 68.89 70.56 72.25 531.441 551.368 571.787 592.704 614.125 根据上表的数据，可得： ； ； ． 【答案】 8.3 8.2 85.85 【分析】本题主要考查平方根和立方根，根据表格中的数据找出开平方和开立方规律解答即可． 【详解】解：根据表格中的数据可得： ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：8.3；8.2；85.85 三、解答题 9．求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键． （1）先移项，再开立方，继而求解； （2）先移项，再开平方，继而求解． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， 解得：或． 10．已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查的是算术平方根以及立方根的意义，无理数的估算，掌握立方根的定义、算术平方根的定义和平方根的定义是解决此题的关键．利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】解： 27的立方根是3， ， ； 12的算术平方根是， ， ； ， ， c是的整数部分， ； ， 的平方根为． 11．已知一个正数的两个不相等的平方根分别是和，且，的立方根是． (1)求的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用平方根的性质求出的值即可求解； （）利用算术平方根和立方根的意义求出，再根据算术平方根的意义解答即可； 本题考查了平方根，算术平方根和立方根，掌握平方根、算术平方根和立方根的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵正数的两个不相等的平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵的立方根是， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 即的算术平方根为． 12．已知的平方根为，的立方根为． (1)求，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)5 【分析】本题考查立方根、平方根及算术平方根的计算，熟练掌握相关计算方法是解题关键． （1）根据平方根及立方根得出，，然后求解即可； （2）将（1）中结果代入，然后求算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根为， ∴，， ∴，． （2）解：由（1）知，， ∴， ∵25的算术平方根为， ∴的算术平方根是5． 13．已知，表示的算术平方根，，表示的立方根． (1)求m、n的值； (2)求M和N的值； (3)求的平方根． 【答案】(1)， (2) (3)4 【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义，即可得出m和n的值； （2）将m和n的值代入M和N即可求解； （3）将（2）中得出的M和N的值相加即可． 【详解】（1）解：∵表示的算术平方根， ∴， 解得：， ∵表示的立方根， ∴， 把代入得：， 解得：， 综上：，； （2）解：∵，， ∴，， 综上：； （3）解：∵， ∴． 【点睛】本题考查了平方根和立方根，明确平方根和立方根的意义，熟练运用相关知识求解是解题关键． 14．请阅读材料：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即那么正数就叫做a的算术平方根，记作（即），如，3叫做9的算术平方根． (1)计算下列各式的值________，________，________； (2)观察（1）中的结果，，，之间存在怎样的关系？________； (3)由（2）的猜想：________； (4)根据（3）计算：________，________． 【答案】(1)2；4；8 (2) (3) (4)10； 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，正确理解题意是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求解； （2）根据（1）的结果即可求解； （3）根据（2）所得的关系即可求解； （4）根据（3）所得猜想计算即可． 【详解】（1）解：，，； （2）解：由（1）得，，， ∴； （3）解：由（2）得， ∴猜想：； （4）解：由（3）可得解：，． 15．【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【答案】[发现]（1），（2）；[应用] 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案. 【详解】解：（1）（答案不唯一） （2）归纳可得：当时，则； （3）由（2）知， ∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴， ∴. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 平方根与立方根的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用算术平方根的非负性解题 类型二、利用平方根和立方根的定义解方程 类型三、求算术平方根的整数部分和小数部分 类型四、与算术平方根有关的规律探索题 类型五、与立方根有关的规律探索题 类型六、平方根与立方根的综合 压轴专练 类型一、利用算术平方根的非负性解题 1. 明确非负性性质：算术平方根具有双重非负性，即≥0（a≥0），被开方数a是非负数，算术平方根本身也是非负数。这是解题的核心依据，任何基于算术平方根的等式或不等式，都必须满足该性质。 2. 常见应用场景：在方程+ =0中，因为两个非负的算术平方根相加为0，则每一项都为0，即x - 2 = 0且y + 3 = 0，从而求解未知数；在函数y=中，根据被开方数非负确定自变量x的取值范围x≥ 。 3. 解题注意事项：分析题目时，要全面考虑所有算术平方根的非负条件；求解后需检验所得结果是否满足被开方数非负的前提，避免增根。同时，善于将其他非负量（如绝对值、平方数）与算术平方根结合，利用“若几个非负数和为0，则每个非负数为0”的性质综合解题。 例1. 已知，则 【变式1-1】已知实数满足，则 ． 【变式1-2】若与互为相反数，则 ． 【变式1-3】若实数，满足，则的值为 ． 类型二、利用平方根和立方根的定义解方程 1. 平方根定义：若x²=a（a≥0），则x=±√a，解方程时需注意被开方数非负，解有两个（互为相反数）。 2. 立方根定义：若x³=a，则x=³√a，被开方数可为任意实数，解唯一。 3. 应用要点：先将方程化为x²=a或x³=a的形式，再用对应定义求解，注意平方根的双重性与立方根的唯一性。 例2. 求下列各式中的值： (1)； (2)． 【变式2-1】求下列各式中的 (1)； (2) 【变式2-2】计算： (1)； (2)． 【变式2-3】解下列方程： (1)； (2) 类型三、求算术平方根的整数部分和小数部分 1.确定整数部分：通过比较法，找出与被开方数相邻的两个完全平方数。例如求的整数部分，由于16<17<25，即<<，所以4<<5，从而确定的整数部分是4。这种方法的关键在于快速找到合适的完全平方数进行大小比较。 2.计算小数部分：根据“一个数 = 整数部分 + 小数部分”，可知小数部分 = 该数 - 整数部分。如已确定的整数部分是4，那么它的小数部分就是-4 。 3.应用与拓展：在实际问题中，可利用算术平方根整数与小数部分的结果进行估算和近似计算；对于复合根式，同样先确定整体的整数部分，再计算小数部分，并且在计算过程中要注意根式的运算规则和性质，确保结果的准确性。 例3. 若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 【变式3-1】的整数部分是 ．小数部分是 ． 【变式3-2】已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【变式3-3】已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为 ． 类型四、与算术平方根有关的规律探索题 1. 观察数据特征：对含有算术平方根的数列、算式或图形，需观察被开方数的变化规律，如递增、递减的模式，是等差、等比或特殊规律；分析算术平方根与其他数字间的运算关系，以及系数、指数的变化特征，从局部到整体把握数据共性，为规律探索提供方向。 2. 归纳总结规律：从简单、特殊的例子入手，通过计算、对比和推理，尝试用代数式或语言描述规律。利用不完全归纳法，总结数字、符号、根式结构的变化趋势，形成一般性结论，并通过更多实例验证规律的普适性，确保结论可靠。 3. 应用与拓展规律：将总结的规律用于计算未知项、预测后续变化或解决拓展问题。应用时注意规律适用的条件和范围，结合算术平方根的性质与运算法则进行计算，还可逆向思考规律的变形与应用，提升对规律探索问题的综合解题能力。 例4. 按要求填空： （1）填表并观察规律： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______． a 【变式4-1】（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 ___________ ___________ ___________ ___________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则___________； ②已知，则___________． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． a 0.0064 0.64 64 6400 0.08 0.8 8 80 【变式4-2】先填写表，通过观察后再回答问题∶ a … 1 … … x 1 y … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题∶ ①已知，则________； ②已知，若，用含m的式子表示b，则________； (3)试比较与a的大小． 类型五、与立方根有关的规律探索题 1. 观察数据特征：针对涉及立方根的数列、算式，重点观察被开方数的变化规律，如相邻数差值、倍数关系或特殊数列特征；分析立方根与系数、指数等的关联，留意正负号变化规律。例如，观察数列中被开方数是否为立方数序列，或存在特定运算逻辑，为寻找规律奠定基础。 2. 归纳总结规律：从简单特殊情形出发，通过计算对比，用代数式或文字概括规律。利用不完全归纳法，总结立方根运算中数字、符号及运算形式的共性。如发现被开方数扩大n3倍时，立方根扩大n倍等规律，并代入更多数据验证，确保结论准确。 3. 应用拓展规律：运用总结的规律计算未知项、推导后续变化。应用时明确规律适用条件，结合立方根性质和运算法则求解。同时，思考规律在不同题型中的变形应用，如结合方程、几何问题等，提升综合运用能力。 例5. 观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【变式5-1】根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 【变式5-2】（1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 由表你发现了：被开方数的小数点向右(或左)移动 位，其立方根的小数点向右(或左)移动 位； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． （3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为立方米，需要多大面积的铁皮？ a 0.001 1 1000 1000000 1 10 规律：数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位； （2）解：①∵， 类型六、平方根与立方根的综合 1. 明确概念与性质差异：平方根中，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；立方根中，任何实数都有唯一的立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0。需准确区分两者性质，避免混淆。 2. 掌握运算规则与关系：平方根运算需注意双重结果（正数情况），立方根运算则按实数性质直接求解。对于综合问题，常需结合两者运算规则，如化简含平方根与立方根的混合根式时，分别依据对应性质计算，注意运算顺序与符号处理。 3. 实际应用与解题策略：在方程求解中，若同时出现平方根与立方根，需根据等式关系逐步化简；在实际问题里，如体积与面积转换问题，结合平方根和立方根的意义建模。解题时要检验结果是否符合两者的非负性或唯一性要求，确保答案准确性。 例6. 已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【变式6-1】已知的立方根是，的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【变式6-2】已知的算术平方根是2，的立方根是2，是的整数部分． (1)求的值； (2)若是的小数部分，求的平方根． 【变式6-3】已知的平方根是，的立方根是1，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值 (2)请直接写出的算术平方根． 一、单选题 1．如果，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 2．设的整数部分是，小数部分是，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（    ） A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3 4．已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 二、填空题 5．的整数部分是 ． 6．若与互为相反数，则 ． 7．如下表，被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定规律．若，，则的值为 ． ... 0.0001 0.01 1 100 10000 ... ... 0.01 0.1 1 10 100 ... 8．下表是部分正数x的平方和立方． x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 65.61 67.24 68.89 70.56 72.25 531.441 551.368 571.787 592.704 614.125 根据上表的数据，可得： ； ； ． 三、解答题 9．求下列各式中的值： (1) (2) 10．已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 11．已知一个正数的两个不相等的平方根分别是和，且，的立方根是． (1)求的值． (2)求的算术平方根． 12．已知的平方根为，的立方根为． (1)求，的值； (2)求的算术平方根． 13．已知，表示的算术平方根，，表示的立方根． (1)求m、n的值； (2)求M和N的值； (3)求的平方根． 14．请阅读材料：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即那么正数就叫做a的算术平方根，记作（即），如，3叫做9的算术平方根． (1)计算下列各式的值________，________，________； (2)观察（1）中的结果，，，之间存在怎样的关系？________； (3)由（2）的猜想：________； (4)根据（3）计算：________，________． 15．【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$