精品解析：湖北省潜江市曹禺中学2024-2025学年八年级下学期第一次阶段质量考试数学试卷

曹禺中学2024－2025学年八年级下学期第一阶段考试数学试卷 一、单选题（30分） 1. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，为的三边长，在下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 3. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在四边形中，，添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，，点，分别是，的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 已知实数，，在数轴上对应点如图所示，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 8. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，在中，，，，将边沿翻折，点B落在点E处，连接交于点F，则最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，，为中点，于点，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（18分） 11. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是______． 12. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 13. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 _________尺． 14. 如图，将放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A的坐标是，点C的坐标是，则点B的坐标是 __________． 15. 我国南宋时期数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即若已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，如图，的边长分别为，，则此三角形面积为________． 16. 如图，在中，对角线、相交于，，、、分别是、、的中点，下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④平分．其中正确的是_______．(填序号) 三、解答题（72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． （1）求云梯顶端C与墙角O的距离的长； （2）现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端水平方向向右滑动的距离为多少米． 19. 如图，每个小正方形边长都为1，的三个顶点都在格点上． （1）求的周长； （2）求的面积． 20. 已知a，b，m都是实数，若，则称a与b是关于1的“平衡数”． （1）与________是关于1“平衡数”； （2）若，判断与是不是关于1的“平衡数”． 21. 如图，在四边形中，连接，交于点O，，且，E为线段上一点，连接并延长交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，，求平行四边形面积． 22. 如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动时间为． （1）在点，运动过程中，___________，___________； （2）连接，，若与互相平分，求此时值； （3）在点，运动过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由． 23. 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明从未停止过探索，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，．试证明． 【知识运用】（2）如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距24千米，、为两个村庄（看作两个点），，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接写答案）． （3）在（2）条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． 【知识迁移】（4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 24. 如图所示，四边形为平行四边形，点P是边上一点，连接、，且和分别平分和． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，如果，求的周长． （3）如图3，点E、F在线段上，连接、，若，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 曹禺中学2024－2025学年八年级下学期第一阶段考试数学试卷 一、单选题（30分） 1. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式．先化简原数，然后根据同类二次根式的定义即可求出答案． 【详解】解：A．，与不是同类二次根式，故A不符合题意； B．，与是同类二次根式，故B符合题意； C．，与不是同类二次根式，故C不符合题意； D．，与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 2. 已知，，为的三边长，在下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理．根据三角形内角和定理可得A、D选项；根据勾股定理逆定理可判断出B、C选项． 【详解】解：A. ，且，，故为直角三角形，故该选项不符合题意； B. ，故为直角三角形，故该选项不符合题意； C. ，故为直角三角形，故该选项不符合题意； D. ，，故不能判定是直角三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，以及二次根式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则进行判断．由二次根式的加减运算、二次根式的性质分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、、不能合并，故C错误； D、，故D错误； 故选：B． 4. 在四边形中，，添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查添加条件使四边形为平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，或两组对边分别平行的四边形为平行四边形，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，四边形是平行四边形；故选项B符合题意； 当时，四边形是平行四边形； 当时，无法判定四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； 当时，无法判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； 当，则：，无法判定四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选B 5. 如图，在平行四边形中，，点，分别是，的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的判定与性质，理解以上性质是解题的关键． 根据题意知为的中位线，再根据平行四边形的性质求得，从而求得． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 点，分别，的中点， ； 故选：B 6. 已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值，数轴上实数大小的比较等知识，掌握二次根式的性质是解题的关键；由数轴知，从而可确定的符号，由二次根式的性质及绝对值可化简． 【详解】解：由数轴知：， ∴， ∴ ； 故选：A． 7. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 8. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理，由勾股定理可得，作于，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 如图，作于， ， 由作图可得：平分， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，在中，，，，将边沿翻折，点B落在点E处，连接交于点F，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题、垂线段最短，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，则当的值最小时，取得最大值，然后根据垂线段最短可得当时，的值最小，利用三角形的面积公式可求出的最小值，由此即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴当的值最小时，取得最大值， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， 此时， ∴， ∴的最大值为， 故选：C． 10. 如图，在平行四边形中，，为中点，于点，连接，若，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键． 过作交于，根据平行四边形的性质得到，求得，得到，，根据已知条件得到，求得，根据平行线的性质得到，得到，于是得到结论． 【详解】解：过作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵为中点， ∴，， ∵于，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题（18分） 11. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列出不等式计算即可． 【详解】解：二次根式有意义，则， ∴． 故答案为：． 12. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 13. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 _________尺． 【答案】14.5 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 设秋千的绳索长尺，由题意知：尺，尺，尺，根据勾股定理列方程即可得出结论． 【详解】解：设秋千的绳索长为x尺， 由题意知：尺，尺，尺， 在中，， ∴， 解得：， 答：绳索长为14.5尺． 故答案为：14.5． 14. 如图，将放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A的坐标是，点C的坐标是，则点B的坐标是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．由平行四边形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：延长交y轴于点D， ∵点A的坐标是， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点C的坐标是， ∴，， ∴， ∴点B的坐标是， 故答案为：． 15. 我国南宋时期数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即若已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，如图，的边长分别为，，则此三角形面积为________． 【答案】12 【解析】 【分析】先计算，代入公式计算即可． 本题考查了二次根式的应用，熟练掌握公式，精准化简二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：12． 16. 如图，在中，对角线、相交于，，、、分别是、、的中点，下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④平分．其中正确的是_______．(填序号) 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断②错误，由，可证四边形是平行四边形，可得③正确．由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确． 【详解】解：四边形是平行四边形 ，，，， 又， ，且点 是中点， ， 故①正确， 、分别是、的中点， ，， 点是斜边上的中点， ， ，无法证明， 故②错误， ， 四边形是平行四边形 故③正确， ， ， ， ， ， 平分，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 三、解答题（72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，利用完全平方公式去掉括号，再合并即可求解； （2）先计算乘除，化简二次根式再计算加减即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． （1）求云梯顶端C与墙角O的距离的长； （2）现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端水平方向向右滑动的距离为多少米． 【答案】（1）云梯顶端与墙角的距离的长为 （2）云梯底端在水平方向上滑动的距离为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理即可得到求解； （2）在中，根据勾股定理求出，即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：； 答：云梯顶端与墙角的距离的长为； 【小问2详解】 解：，， ， 在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：， ， ． 答：云梯底端在水平方向上滑动的距离为． 19. 如图，每个小正方形边长都为1，的三个顶点都在格点上． （1）求的周长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）9.5 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，利用网格求三角形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用勾股定理算出每个边长，再加起来，即可作答． （2）运用割补法求面积，即可作答． 【小问1详解】 解： ∴的周长； 【小问2详解】 解：的面积． 20. 已知a，b，m都是实数，若，则称a与b是关于1的“平衡数”． （1）与________是关于1的“平衡数”； （2）若，判断与是不是关于1的“平衡数”． 【答案】（1） （2）不是 【解析】 【分析】（1）根据平衡数的定义和题意，可以列出相应的方程，然后即可求得关于1的“平衡数”； （2）根据，可以先求出m的值，然后即可计算出与的和，再看是否等于2即可． 本题考查一元一次方程的应用、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键会用新定义解答问题． 【小问1详解】 解：设与x是关于1的“平衡数”， 则， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得， ∴ ， ∴与不是关于1的“平衡数”． 21. 如图，在四边形中，连接，交于点O，，且，E为线段上一点，连接并延长交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，，求平行四边形面积． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定． （1）依据，即可得出，再根据，即可得到，进而判定四边形是平行四边形； （2）依据是等腰直角三角形，即可得到的长，再根据的面积，即可得出的面积，进而由平行四边形面积得出结果． 【小问1详解】 证明：∵，交于点O， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴的面积=， 平行四边形面积． 22. 如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动时间为． （1）在点，运动过程中，___________，___________； （2）连接，，若与互相平分，求此时的值； （3）在点，运动过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）存在，有两种情况； 点在线段上， 点在线段的延长线上， 【解析】 【分析】（1）根据，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，列出代数式即可解决； （2）根据与互相平分，得四边形是平行四边形，所以，得，解方程即可解答； （3）有两种情况：点在线段上，点在线段的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方程解答即可． 【小问1详解】 解：，点从点出发，以的速度向点运动， ， ， ，点从点出发，沿着射线以的速度向右运动， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：若与互相平分，则是平行四边形， ， 即， 解得：； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 点在线段上， 当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， 即， 解得； 点在线段的延长线上， 当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， 即， 解得； 综上所述，存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间为或． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰梯形的性质、列代数式、解一元一次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 23. 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明从未停止过探索，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，．试证明． 【知识运用】（2）如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距24千米，、为两个村庄（看作两个点），，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接写答案）． （3）在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． 【知识迁移】（4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】（1）见解析（2）25千米（3）6.3125千米（4）20． 【解析】 【分析】（1）利用梯形面积，直角三角形的面积等证明即可． （2）连接，过点C作于点E，结合，得到矩形，结合千米，千米，千米，得到千米， 千米，千米，利用勾股定理解答即可． （3）作的垂直平分线，交与点P，连接，则，设，则千米，由，根据勾股定理，得，解答即可． （4）根据题意，令，，，设，则，根据勾股定理，得， 要求的最小值就转化为的和的最小值，于是延长到点F，使得，连接，交于点P，此时的点P位置就是使得和最小，过点F作交的延长线于点E，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）连接， ∵，，，． ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ． （2）解：连接，过点C作于点E， ∵， ∴矩形， ∴千米，千米，千米， ∴千米， 千米，千米， ∴（千米）， 故答案为：25． （3）解：作的垂直平分线，交与点P，连接，则， 设，则千米， 由，根据勾股定理，得， ∴， ∴， 解得， 故的长为千米． （4）解：根据题意，令，，，设，则， 根据勾股定理，得， 要求的最小值就转化为的和的最小值， ∴延长到点F，使得， 连接，交于点P，此时的点P位置就是使得和最小， 过点F作交的延长线于点E， ∴四边形矩形， ∴， ， ∴， 故的最小值为20， 故代数式的最小值为20． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，矩形的判定和性质，线段和最小的计算，线段垂直平分线的应用，熟练掌握勾股定理，线段和的最小计算，矩形的判定和性质是解题的关键． 24. 如图所示，四边形为平行四边形，点P是边上一点，连接、，且和分别平分和． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，如果，求的周长． （3）如图3，点E、F在线段上，连接、，若，求的长度． 【答案】（1） （2）24 （3）28 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出，再根据平行线的性质得出角之间的关系，再根据角平分线的意义求解即可； （2）根据角平分线意义和平行四边形的性质进而得出，，再由勾股定理得出长度，进而求解即可； （3）在上截取，连接，在上截取，连接，连接，过点M作，交延长线于点Q，先证明四边形是平行四边形，继而得出，再证明，继而得出，再利用含30度的直角三角形的性质及勾股定理求出长度，再由平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为； 【小问3详解】 如图，在上截取，连接，在上截取，连接，连接，过点M作，交延长线于点Q， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵和分别平分和， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，等边对等角，角平分线的意义等，熟练掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$