专题01 不等式性质的应用（专项训练）数学苏教版2019必修第一册

专题01 不等式性质的应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用作差法与作商法比较大小 1 题型二、利用不等式性质判断命题的真假 3 题型三、利用不等式性质证明不等式 6 题型四、利用不等式性质求代数式的范围 8 B综合攻坚・能力跃升 12 题型一、利用作差法与作商法比较大小 1．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2．（23-24高一上·云南玉溪·期中）（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）作差法得出差值为负； （2）作差并因式分解得出即可判断正负. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）， 因为，， 所以，， 所以， 所以． 3．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①； ②； ③； 【分析】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】解： ① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 题型二、利用不等式性质判断命题的真假 4．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过举反例可判断A、C、D是假命题；利用作差法比较大小可判断B正确. 【详解】对于A，当时，，故A是假命题； 对于B，若，则， 由于不同时为0，所以，故B是真命题； 对于C，当时，，故C是假命题； 对于D，当时，不成立，故D是假命题； 故选：B 5．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C. 【详解】对A：若，，则有，， 此时，故A错误； 对B：若，，则有，， 此时，故B错误； 对C：， 由，故，，，故， 即，故C正确； 对D：若，，则，， 此时，故D错误. 故选：C. 6．（多选）（24-25高一上·湖北武汉·期末）下列几种说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】取特例判断A，根据作差法判断BC，利用不等式性质判断D. 【详解】当时，满足，但不成立，故A错误； 因为，所以，即，故B正确； 因为，所以，即，故C正确； 因为，所以，所以， 又，所以，故D正确. 故选：BCD 7．（多选）（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】应用作差法判断A、B、D，根据不等式的性质判断C. 【详解】A：，又， 所以，则，即，对； B：，且，而符号不定， 所以符号不定，错； C：由题设，若，则，错； D：，则，对. 故选：AD 题型三、利用不等式性质证明不等式 8．已知三个不等式：①a，b，x均为正数  ②  ③ 请你以其中两个作为条件，余下一个为结论组成一个不等式命题，并判断其真假，若真请给出证明，若假请举出反例说明. 【答案】答案见解析 【分析】结合不等式的性质即可证明. 【详解】方案一：条件：①②  结论：③ 若a，b，x均为正数，且，则，真命题 证明： ∵a，b，x均为正数， ∴， ∴，即 方案二：条件①③  结论：② 若a，b，x均为正数，且，则，真命题 证明：∵即化简得 又∵a，b，x均为正数 ∴ ∴即 方案三：条件②③  结论：① 若，且，则a，b，x均为正数，假命题 例如：，，，满足且，但a，b，x并不全为正数. 三种方案选一种作答即可. 9．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据不等式的性质证明； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 10．（2023高一·上海·专题练习）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解. 【详解】（1）因为，可得，所以， 又因为，可得. （2）因为，所以， 又因为，所以，可得， 因为，根据不等式的性质，可得，即以. （3）因为，要证，只需证明， 展开得，即，即， 又因为，所以. 11．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 题型四、利用不等式性质求代数式的范围 12．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】因为，，则，可得， 由不等式的基本性质可得. 故选：A. 13．（多选）（24-25高一上·浙江温州·期中）已知，，则（   ） A．的最小值是4 B．的最小值是1 C．的最大值是8 D．的最大值是 【答案】BCD 【分析】通过不等式的性质来分别分析每个选项中的表达式的取值范围即可得到结果. 【详解】对于A，，则，又， 所以，所以的最小值是5，故该选项错误； 对于B，，则，又， 所以，所以的最小值是1，该选项正确； 对于C，因为，，所以，即， 所以的最大值是8，该选项正确； 对于D，，则，又，所以， 所以，所以的最大值是，该选项正确； 故选：BCD. 14．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知对于实数x，y，满足，，则的最大值为 ． 【答案】7 【分析】先得到，根据得到答案. 【详解】因为，，所以， 设， 故，所以， ， 由于， 故， 即. 故答案为：7 15．（24-25高一上·重庆·期中）已知． (1)求的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用不等式的性质和齐次化可求的取值范围； （2）利用待定系数法结合不等式的性质可求的范围. 【详解】（1）因为，所以，所以； 因为，所以，则，所以 （2）令，所以， 所以，则，所以. 因为，所以， 所以. 16．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数，满足，． (1)求实数，的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）用已知式子表示，利用不等式的性质求解范围即可； （2）用已知式子表示，利用不等式的性质求解范围即可. 【详解】（1）由，， 所以， 即， 所以， 即实数的取值范围为． 因为， 由，所以，又， 所以， 所以， 即， 即实数的取值范围为． （2）设， 则，解得， ， ，． ，， ∴， 即的取值范围为． 1．已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形三边关系列不等式组，结合不等式性质求的取值范围. 【详解】由已知及三角形三边关系得， 所以，则，两式相加得， 所以. 故选：C 2．（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意得，进而求得即可求解. 【详解】因为，所以，即， 所以，则， 所以. 故选：D. 3．（24-25高一上·上海宝山·期末）设实数、、、满足条件：，，，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质求范围. 【详解】令. 因为，所以或. 又. 因为，所以， 因为，所以. 又. 因为，，所以， 所以.所以原式的取值范围为. （当，，，时取到最小值0，当，，，时取到最大值2）. 故答案为：. 4．(2024·石家庄二模)若实数x，y，z≥0，且x＋y＋z＝4，2x－y＋z＝5，则M＝4x＋3y＋5z的取值范围是____________． 【答案】[15，19] 【分析】利用已知条件，将x，y用z表示，再根据不等式的性质求解. 【详解】因为x＋y＝4－z，2x－y＝5－z，所以x＝3－，y＝1－. 由x，y，z≥0得解得0≤z≤3， 故M＝4x＋3y＋5z＝4＋3＋5z＝＋15∈[15，19]. 5．(2024·九省联考)用max M表示数集M中最大的数．设0＜a＜b＜c＜1，已知b≥2a或a＋b≤1，则max{b－a，c－b，1－c}的最小值为________． 【答案】 【分析】方法一：利用换元法，令b－a＝m，c－b＝n，1－c＝p，将a，b用m，n，p表示，进而根据不等式的性质求解. 方法二：利用不等式的性质，结合配凑法求解. 【详解】方法一：令b－a＝m，c－b＝n，1－c＝p，其中m，n，p＞0，所以 令M＝max{b－a，c－b，1－c}＝max{m，n，p}． 若b≥2a，则1－n－p≥2(1－m－n－p)，故2m＋n＋p≥1. 因为所以4M≥2m＋n＋p≥1，则M≥. 若a＋b≤1，则1－n－p＋1－m－n－p≤1，即m＋2n＋2p≥1. 因为所以5M≥m＋2n＋2p≥1，则M≥， 当且仅当m＋2n＋2p＝1且max{m，n，p}＝时等号成立，如取m＝n＝p＝时等号成立． 综上可知，max{b－a，c－b，1－c}的最小值为. 方法二：设t＝max{b－a，c－b，1－c}， 若b≥2a，则b－a≥a，因此 故4t≥(b－a)＋(c－b)＋(1－c)＋a＝1，即t≥，当且仅当b－a＝c－b＝1－c＝a＝时取等号． 若a＋b≤1，则b－a≥2b－1，由得 故＋2t≥b＋(c－b)＋(1－c)＝1，即t≥，当且仅当2b－1＝c－b＝1－c＝时取等号． 综上可知，max{b－a，c－b，1－c}的最小值为. 6．（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【详解】（1）由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以①， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以②， 综合①②，得. 7．（24-25高一上·山东·阶段练习）（1）设，求证：； （2）设，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）方法一：由，利用， 对进行放缩，即可证明； 方法二：由，利用， 对进行放缩，即可证明； 方法三：由，利用，即可证明； 方法四：几何法，构造符合题意的几何图形； 方法五：构造一次函数， 证明对于，都有即可； （2）方法一：由，利用，即可证明； 方法二：由，利用，即可证明； 方法三：构造一次函数，，证明对，都有即可. 【详解】（1）方法一：，， ， ． 方法二：， ． 方法三： ， ， ， 即． 方法四：几何法 如图，做边长为的正方形，分别在边上分别取点， 使得， 过做交于，交于， 过做交于，交于， 直线与交于点， 则长方形的面积， 长方形的面积， 正方形的面积， 由图可知， 所以． 方法五：设． 将看做内的常数，则函数为一次函数， 又， ． 对于，都有， 即． ． （2）方法一：， ， ， ． ， . 方法二：， ， ， ， ． ， ． 方法三：设． 将看做内的常数，对于一次函数， 有， ． ∴对于，都有， 即． ． 8．对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若ad＜bc，那么称点(a，b)是点(c，d)的“下位点”． (1) 点(3，11)是点(2，7)的“下位点”吗？请简单说明理由； (2) 若点(a，b)是点(c，d)的“下位点”，试判断，，之间的大小关系； (3) 设正整数n满足条件：对集合{m|0＜m＜2 024，m∈N*}内的每个m，总存在正整数k，使得(m，2 024)是(k，n)的“下位点”，且(k，n)是(m＋1，2 025)的“下位点”，求正整数n的最小值． 【答案】(1) 是；(2) ＜＜；(3) 4 049 【详解】(1) 根据定义，易知3×7＜11×2， 所以点(3，11)是点(2，7)的“下位点”． (2) 因为(a，b)是(c，d)的“下位点”，所以ad＜bc． 由(a，b)和(c，d)都是第一象限内的点，可知a，b，c，d均为正数， 故－＝＞0，即－＞0，所以＞． 同理可得－＝＜0，即＜． 综上，＜＜． (3) 由已知得 因为m，n，k为正整数，故 所以2 024(mn＋n－1)≥2 024×2 025k≥2 025(mn＋1)，解得n≥． 该式对集合{m|0＜m＜2 024}内的每一个m∈N*都成立， 所以n≥＝4 049， 所以正整数n的最小值为4 049． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 不等式性质的应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用作差法与作商法比较大小 1 题型二、利用不等式性质判断命题的真假 2 题型三、利用不等式性质证明不等式 3 题型四、利用不等式性质求代数式的范围 4 B综合攻坚・能力跃升 5 题型一、利用作差法与作商法比较大小 1．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·云南玉溪·期中）（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 3．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 题型二、利用不等式性质判断命题的真假 4．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（   ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（24-25高一上·湖北武汉·期末）下列几种说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（多选）（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三、利用不等式性质证明不等式 8．已知三个不等式：①a，b，x均为正数  ②  ③ 请你以其中两个作为条件，余下一个为结论组成一个不等式命题，并判断其真假，若真请给出证明，若假请举出反例说明. 9．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 10．（2023高一·上海·专题练习）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 11．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 题型四、利用不等式性质求代数式的范围 12．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（多选）（24-25高一上·浙江温州·期中）已知，，则（   ） A．的最小值是4 B．的最小值是1 C．的最大值是8 D．的最大值是 14．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知对于实数x，y，满足，，则的最大值为 ． 15．（24-25高一上·重庆·期中）已知． (1)求的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围． 16．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数，满足，． (1)求实数，的取值范围； (2)求的取值范围． 1．已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海宝山·期末）设实数、、、满足条件：，，，，则的取值范围是 ． 4．（2024·石家庄二模）若实数x，y，z≥0，且x＋y＋z＝4，2x－y＋z＝5，则M＝4x＋3y＋5z的取值范围是____________． 5．（2024·九省联考）用max M表示数集M中最大的数．设0＜a＜b＜c＜1，已知b≥2a或a＋b≤1，则max{b－a，c－b，1－c}的最小值为________． 6．（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 7．（24-25高一上·山东·阶段练习）（1）设，求证：； （2）设，求证：． 8．对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若ad＜bc，那么称点(a，b)是点(c，d)的“下位点”． (1) 点(3，11)是点(2，7)的“下位点”吗？请简单说明理由； (2) 若点(a，b)是点(c，d)的“下位点”，试判断，，之间的大小关系； (3) 设正整数n满足条件：对集合{m|0＜m＜2 024，m∈N*}内的每个m，总存在正整数k，使得(m，2 024)是(k，n)的“下位点”，且(k，n)是(m＋1，2 025)的“下位点”，求正整数n的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$