第2章 特殊三角形 单元提优卷 2025-2026学年浙教版八年级数学上册

第 1页，共 6页 第 2 章 特殊三角形 单元提优卷 一、选择题：本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在��技术迅猛发展的当下，语言模型成为了行业焦点，下列热门��语言模型的标识中，其文字上方的图 形是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2.已知等腰三角形的两边长分别为�，�，且�，�满足 � − 3 + � − 4 = 0，则此等腰三角形的周长为( ) A. 7 B. 10 C. 11 D. 10 或 11 3.如图，在△ ���中，�� = ��，用尺规作图的方法作出射线��和直线��，设��交��于点�，连结��，��， 则下列结论中不一定成立的是( ) A. �� ⊥ �� B. ��平分∠��� C. �� = �� D. �� = �� + �� 4.如图，在△ ���中，�� ⊥ ��，�为��的中点，则下列结论中，错误的是( ) A. △ ��� ≌△ ��� B. ∠� = ∠� C. ��是∠���的平分线 D. △ ���是等边三角形 5.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有��，��，��，��四条线段，其中能构成一个直角三角形三 边的线段是( ) A. ��，��，�� B. ��，��，�� C. ��，��，�� D. ��，��，�� 6.如图，�，�分别是��，��上的点，作�� ⊥ ��于点�，作�� ⊥ ��于点�，若�� = ��，�� = ��，下面 三个结论：①�� = ��.②��//��.③▵��� ≌ ▵���.其中正确的结论是 ( ) A.①③ B.②③ C.①② D.①②③ 第 3 题 第 4题 第 5 题 第 6 题 7.如图，△ ���中，�� = 20��，�� = 12��，点�从点�出发以 3��/�的速度向点�运动，点�从点�同时 出发以 2��/�的速度向点�运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△ ���是以∠� 为顶角的等腰三角形时，运动的时间是( ) 第 2页，共 6页 A. 2.5� B. 3� C. 3.5� D. 4� 8.如图，△ ���中，∠��� = 45°，��平分∠���，�� ⊥ ��于�，�是��边的中点，连接��与��相交于点�， ①�� = 12��；②∠� = 67.5°；③ △ ���是等腰三角形； ④�四边形���� = �四边形����.正确的有(    )个． A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 9.如图，在▵���中，�是��边上的中点，连结��，把▵���沿��翻折，得到▵���′，��′与��交于 点�，连结��′，若�� = ��′ = 2，�� = 3，则点�到��′的距离为( ) A. 3 32 B. 3 21 7 C. 7 D. 13 10.如图，在▵���中，�� = ��，�� = 4，面积是 12，��的垂直平分线��分别交��，��边于点�，�.若 点�为��边的中点，点�为线段��上一动点，则▵���周长的最小值为( ) A. 8 B. 3 C. 6 D. 4 第 7 题 第 8题 第 9 题 第 10 题 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。 11.命题“如果� > 0，� > 0，那么�� > 0”的逆命题是 (填“真”或“假”)命题． 12.等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为 12 和 18 两部分，则腰长为 ． 13.如图，△ ���中，点�在边��上，�� = ��，∠� = 2∠���，��垂直于��的延长线于点�，�� = 8，�� = 11， 则边��的长为______． 14.如图，在等腰三角形���中，�� = ��，点�，�在等腰三角形���的内部，连接��，��，��，使∠��� = ∠��� = 60°，且��平分∠���.若�� = 8，�� = 5，则�� =______． 15.如图，正方形网格中每个小正方形边长为 1，则△ ���中��边上的高与��边上的高的差为______． 16.如图，在��▵���中，∠� = 90∘，�� = 3，�� = 4，点�在边��上，以��为折线将▵���折叠得到▵��′�， ��′与边��交于点�.若▵���′为直角三角形，则��的长为 ． 第 3页，共 6页 第 13 题 第 14 题 第 15 题 第 16 题 三、解答题：本题共 8 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题 8 分)如图，在每个小正方形的边长都为 1 的正方形网格中，已知△ ���的三个顶点都在格点上． (1)画出△ ���关于直线��的轴对称图形△ �1�1�1； (2)在直线��上找一点�，使�点到点�，�的距离和最小，并在图中描出点�的位置(请保留画图痕迹)； (3)求△ ���的面积． 18.(本小题 8 分)如图，已知在▵���中，�� = �� = ��，∠��� = ∠�． 求证：▵���是等腰三角形． 第 4页，共 6页 19.(本小题 8 分)利用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理证明以下命题： 已知：如图，�� = ��，�� = ��，点�在��上。求证：�� = ��。 20.(本小题 8 分)如图，在▵���中，∠� = 90∘，∠� = 30∘，�� = 4��。动点�，�分别从�，�两点同时出 发，各在��，��边上匀速移动，它们的速度分别为�� = 2��/�，�� = 1��/�。当点�到达点�时，�，� 两点同时停止运动，设点�运动的时间为� � 。 (1)当�为何值时，▵���是等边三角形？ (2)当�为何值时，▵���是直角三角形？ 21.(本小题 8 分)拉杆箱是人们出行的日常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松。如图，已知某种拉杆 箱箱体长�� = 65��，拉杆最大伸长距离�� = 35��，在箱体底端装有一圆形滚轮。当拉杆拉到最长时， 滚轮的圆心在图中的�处，点�到地面的距离�� = 3��。当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移 55��到�′处，求拉杆把手�离地面的距离(假设�点的位置保持不变)。 第 5页，共 6页 22.(本小题 8 分)如图，在��▵���中，∠� = 90∘，��是��▵���的一条角平分线，点�，�，�分别在��， ��，��上，且四边形����是正方形． (1)求证：点�在∠���的平分线上． (2)若�� = 5，�� = 12，求��的长． 23.(本小题 8 分)已知，▵���为等腰三角形，�� = ��，点�是边��上一点(不与端点重合)，作直线��， 点�关于直线��的对称点为点�，连接��，直线��与��交于点�． (1)如图 1，求证：∠��� = ∠���； (2)如图 2，若▵���为等边三角形，点�在��边上，且�� = ��，连接��交��于点�，求证：�� = ��； (3)如图 3，若∠� = 90 ∘，点�是射线��上一点(不与点�，�重合)，其余条件不变，过点�作�� ⊥ ��于点�， 连接��，猜想线段��，��，��之间的数量关系，并说明理由．(注：有一个角为 45 ∘的直角三角形是等腰 直角三角形) 第 6页，共 6页 24.(本小题 8 分)已知▵���为等边三角形． (1)如图 1，点�为边上一点，以��为边作等边三角形���，连接��，求证：▵��� ≌ ▵���； (2)如图 2，以为��腰作等腰直角三角形���，取斜边��的中点�，连接��，交��于点�.求证：�� = �� + ��； (3)如图 3，若�� = 3，点�是边上一定点且�� = 1，若点�为射线��上一动点，以��为边向右侧作等边▵���， 连接��，��，求�� + ��的最小值． 第2章 特殊三角形 单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在技术迅猛发展的当下，语言模型成为了行业焦点，下列热门语言模型的标识中，其文字上方的图形是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.已知等腰三角形的两边长分别为，，且，满足，则此等腰三角形的周长为(    ) A. B. C. D. 或 3.如图，在中，，用尺规作图的方法作出射线和直线，设交于点，连结，，则下列结论中不一定成立的是(    ) A. B. 平分 C. D. 4.如图，在中，，为的中点，则下列结论中，错误的是(    ) A. B. C. 是的平分线 D. 是等边三角形 5.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有，，，四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6.如图，，分别是，上的点，作于点，作于点，若，，下面三个结论：其中正确的结论是  (    ) A. B. C. D. 第3题 第4题 第5题 第6题 7.如图，中，，，点从点出发以的速度向点运动，点从点同时出发以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为顶角的等腰三角形时，运动的时间是(    ) A. B. C. D. 8.如图，中，，平分，于，是边的中点，连接与相交于点，；；是等腰三角形；正确的有个． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9.如图，在中，是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，与交于点，连结，若，，则点到的距离为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为(    ) A. B. C. D. 第7题 第8题 第9题 第10题 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.命题“如果，，那么”的逆命题是          填“真”或“假”命题． 12.等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为和两部分，则腰长为          ． 13.如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为______． 14.如图，在等腰三角形中，，点，在等腰三角形的内部，连接，，，使，且平分若，，则______． 15.如图，正方形网格中每个小正方形边长为，则中边上的高与边上的高的差为______． 16.如图，在中，，，，点在边上，以为折线将折叠得到，与边交于点若为直角三角形，则的长为          ． 第13题 第14题 第15题 第16题 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分如图，在每个小正方形的边长都为的正方形网格中，已知的三个顶点都在格点上． 画出关于直线的轴对称图形； 在直线上找一点，使点到点，的距离和最小，并在图中描出点的位置请保留画图痕迹； 求的面积． 18.本小题分如图，已知在中，，． 求证：是等腰三角形． 19.本小题分利用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理证明以下命题： 已知：如图，，，点在上。求证：。 20.本小题分如图，在中，，，。动点，分别从，两点同时出发，各在，边上匀速移动，它们的速度分别为，。当点到达点时，，两点同时停止运动，设点运动的时间为。 当为何值时，是等边三角形？ 当为何值时，是直角三角形？ 21.本小题分拉杆箱是人们出行的日常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松。如图，已知某种拉杆箱箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体底端装有一圆形滚轮。当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的处，点到地面的距离。当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移到处，求拉杆把手离地面的距离假设点的位置保持不变。 22.本小题分如图，在中，，是的一条角平分线，点，，分别在，，上，且四边形是正方形． 求证：点在的平分线上． 若，，求的长． 23.本小题分已知，为等腰三角形，，点是边上一点不与端点重合，作直线，点关于直线的对称点为点，连接，直线与交于点． 如图，求证：； 如图，若为等边三角形，点在边上，且，连接交于点，求证：； 如图，若，点是射线上一点不与点，重合，其余条件不变，过点作于点，连接，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．注：有一个角为的直角三角形是等腰直角三角形 24.本小题分已知为等边三角形． 如图，点为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：； 如图，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点，连接，交于点求证：； 如图，若，点是边上一定点且，若点为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，，求的最小值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 特殊三角形 单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在技术迅猛发展的当下，语言模型成为了行业焦点，下列热门语言模型的标识中，其文字上方的图形是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； B、选项图形是轴对称图形，符合题意； C、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； D、选项图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题关键． 2.已知等腰三角形的两边长分别为，，且，满足，则此等腰三角形的周长为(    ) A. B. C. D. 或 【答案】D  【解析】略 3.如图，在中，，用尺规作图的方法作出射线和直线，设交于点，连结，，则下列结论中不一定成立的是(    ) A. B. 平分 C. D. 【答案】A  【解析】略 4.如图，在中，，为的中点，则下列结论中，错误的是(    ) A. B. C. 是的平分线 D. 是等边三角形 【答案】D  【解析】略 5.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有，，，四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B  【解析】设每个正方形的边长为，则由勾股定理可得，，，，易得，即能构成一个直角三角形三边的线段是，，故选B． 6.如图，，分别是，上的点，作于点，作于点，若，，下面三个结论：其中正确的结论是  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】连结图略，  因为，所以是的平分线，  所以，  所以，正确．  因为，所以，  所以，正确．  只是过点，并没有固定，显然不一定成立． 7.如图，中，，，点从点出发以的速度向点运动，点从点同时出发以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为顶角的等腰三角形时，运动的时间是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：设运动的时间为， 在中，，， 点从点出发以的速度向点运动，点从点同时出发以的速度向点运动， 当是以为顶角的等腰三角形时，， 又因为， ， 解得． 故选D． 8.如图，中，，平分，于，是边的中点，连接与相交于点，；；是等腰三角形；正确的有个． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B  【解析】解：平分， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 即，故正确； ，， ，故正确； ，是边的中点， ， ， ，， ， 是等腰三角形，故正确； ≌， ， 又和的面积不一定相等， ，故错误； 即正确的个数是， 故选：． 根据角平分线的定义求出，求出，根据全等三角形的判定推出≌，≌，根据全等三角形的性质得出，，再逐个判断即可． 本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 9.如图，在中，是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，与交于点，连结，若，，则点到的距离为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】如图，连结，交于点，过点作于点，因为，是边上的中点，所以，由翻折知，，垂直平分，所以，，，所以，所以为等边三角形，所以因为，所以在中，，，所以，，所以在中，因为，所以，所以． 10.如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，连接，。由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】连接，，  ，点是边的中点，  ，  ， ， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 当三点共线时，即的长为的最小值， 的周长最短， 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.命题“如果，，那么”的逆命题是          填“真”或“假”命题． 【答案】假  【解析】略 12.等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为和两部分，则腰长为          ． 【答案】或  【解析】设腰长为，  若是腰长与腰长的一半的和，则，  解得，此时，底边长，  ，，能组成三角形；  若是腰长与腰长的一半的和，则，  解得，此时，底边长，  ，，能组成三角形．  综上所述，该等腰三角形的腰长是或． 13.如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为______． 【答案】  【解析】解：延长到，使得， ， 是等腰三角形， ， ， ， 过点点作，交于点 ，， ，， ， ， ，， ， ， 在中， 由勾股定理可知：， 在中， ， 故答案为： 延长到，使得，根据等腰三角形的性质与判定，勾股定理即可求出答案． 本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质与判定，本题属于中等题型． 14.如图，在等腰三角形中，，点，在等腰三角形的内部，连接，，，使，且平分若，，则______． 【答案】  【解析】解：如图，延长交于点，延长交于点， ， 是等边三角形，， ， ， ， ，平分， ，， ， ， ， ． 即的值为， 故答案为：． 延长交于点，延长交于点，可得是等边三角形，，进而知，然后可得，再利用等腰三角形的性质可得，，从而可得，进而在中，利用含度角直角三角形的性质可得，据此进行计算即可解答． 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题关键是添加辅助线，能洞察到特殊角在求边长中的用法． 15.如图，正方形网格中每个小正方形边长为，则中边上的高与边上的高的差为______． 【答案】  【解析】解：由题意得：， ， ， ， 是直角三角形， ， 中边上的高为， 设边上的高的为， 在中，，，， ， ， 解得：， ， 中边上的高与边上的高的差为， 故答案为：． 先利用勾股定理的定理证明是直角三角形，从而可得，进而可得中边上的高为，然后设边上的高的为，再利用面积法进行计算可求出的长，最后进行计算即可解答． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键． 16.如图，在中，，，，点在边上，以为折线将折叠得到，与边交于点若为直角三角形，则的长为          ． 【答案】或  【解析】当时，如图所示： 当时，此时点与点重合，如图所示． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在每个小正方形的边长都为的正方形网格中，已知的三个顶点都在格点上． 画出关于直线的轴对称图形； 在直线上找一点，使点到点，的距离和最小，并在图中描出点的位置请保留画图痕迹； 求的面积． 【答案】见解答．   见解答．   ．  【解析】如图，即为所求． 如图，连接，交直线于点，连接， 此时，为最小值， 则点即为所求． 的面积为． 根据轴对称的性质作图即可． 连接，交直线于点，则点即为所求． 利用割补法求三角形的面积即可． 本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 18.本小题分 如图，已知在中，，． 求证：是等腰三角形． 【答案】证明：， ，， ． ，． 在和中， ，， 是等腰三角形．   【解析】略 19.本小题分 利用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理证明以下命题： 已知：如图，，，点在上。求证：。 【答案】证明：， 点在线段的垂直平分线上， ， 点都在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线． 点在的上， ．  【解析】略 20.本小题分 如图，在中，，，。动点，分别从，两点同时出发，各在，边上匀速移动，它们的速度分别为，。当点到达点时，，两点同时停止运动，设点运动的时间为。 当为何值时，是等边三角形？ 当为何值时，是直角三角形？ 【答案】(1)  (2)1或  【解析】 略  略 21.本小题分 拉杆箱是人们出行的日常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松。如图，已知某种拉杆箱箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体底端装有一圆形滚轮。当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的处，点到地面的距离。当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移到处，求拉杆把手离地面的距离假设点的位置保持不变。 【答案】  【解析】略 22.本小题分 如图，在中，，是的一条角平分线，点，，分别在，，上，且四边形是正方形． 求证：点在的平分线上． 若，，求的长． 【答案】(1)证明：过点作于点，正方形， ， 于点，于点， 平分，于点， ，点在的平分线上.   (2)解：中，，，，. 由（1）易得，， 又，，，，. ，即，，.   【解析】 略  略 23.本小题分 已知，为等腰三角形，，点是边上一点不与端点重合，作直线，点关于直线的对称点为点，连接，直线与交于点． 如图，求证：； 如图，若为等边三角形，点在边上，且，连接交于点，求证：； 如图，若，点是射线上一点不与点，重合，其余条件不变，过点作于点，连接，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．注：有一个角为的直角三角形是等腰直角三角形 【答案】(1)证明：由对称的性质可知 又∵， ∴， ∴；   (2)证明: 连接，如图， ∵为等边三角形， ∴，， 由对称的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；   (3)解:，理由如下： 当在线段上时，设交于，连接，如图， 由对称的性质可知，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（）知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在延长线上时，设交于，如图： 同理可得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴，  ， 综上所述，．   【解析】  根据对称的性质以及等腰三角形的性质求证即可；   连接，由为等边三角形，得，，通过对称的性质可知，，然后证明，则，再证明为等边三角形，所以，最后证明，通过全等三角形性质即可；   根据所在位置分类讨论，当在线段上时，当在延长线上时，利用三角形全等和等腰直角三角形的性质得出结论即可． 24.本小题分 已知为等边三角形． 如图，点为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：； 如图，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点，连接，交于点求证：； 如图，若，点是边上一定点且，若点为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，，求的最小值． 【答案】(1)解：证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴；   (2)证明：∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴平分， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接，则是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；   (3)解：把绕点逆时针旋转得到，则， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， 又∵由旋转可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∴点的轨迹是射线， 作点关于直线的对称点，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为．   【解析】  本题属于三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，四边形的内角和，轴对称的性质，旋转的性质，三角形的三边性质，正确作出辅助线是解题的关键． 由等边三角形的性质可得，再利用即可证明；   由为等腰直角三角形可得，，进而得到，又根据为的中点，可得，即可得，在上取一点，使，可得是等边三角形，得到，故得，再证明，得到，即可求证；   把绕点逆时针旋转得到，由旋转可得为等边三角形，得到点的轨迹是射线，作点关于直线的对称点，连接，则有，根据即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$