精品解析：江苏省宿迁市沭阳县南湖初级中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试卷

2023~2024学年度第二学期月度反馈练习一八年级数学 （分值：150分时长：120分钟） 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列选项中的事件，属于随机事件的是（ ） A. 在一个只有白球的袋中，摸出红球 B. 任选一个频道，正在播放动画片 C. 有一匹马奔跑的速度是米/秒 D. 太阳每天从东边升起 3. 如图，把绕点C顺时针旋转，得到，交于点D．若，则（ ） A B. C. D. 4. 石家庄市某中学为了解八年级1200名学生期中数学考试情况，从中抽取了200名学生的数学成绩进行统计．给出下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②1200名学生是总体；③每名学生的数学成绩是个体；④200名学生是总体的一个样本；⑤200是样本容量．其中正确的判断有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，在中，，，，则的周长是（ ） A. 21 B. 22 C. 25 D. 32 6. 如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，中，．点D是边上的动点，过点D作边的垂线，垂足分别为E，F、连接，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 8. 如图，在正方形中，是的中点，是上一点，．有下列结论：①；②射线是的角平分线；③；④．其中正确结论的为（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ②④ 二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．） 9. 在整数中，数字“0”出现的频率是________ 10. 小明在农贸市场购买葡萄，为了解葡萄的甜度，他取了一颗品尝．这种了解方式属于_______（填“普查”或“抽样调查”） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 12. 有下列图形：①线段，②三角形，③平行四边形，④正方形，⑤圆．其中不是中心对称图形的是_______． 13. 如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，请添加条件________，使得菱形为正方形．（只能添加一个条件） 14. 在平面直角坐标系中，的对角线交于点O．若点A的坐标为，则点C的坐标为______． 15. 如图，△ABC中，AC=，BC=4，AB=3，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是___________． 16. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD＝6，则EF＝______． 17. 点 P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，AB=3，AD=4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是_____ 18. 如图，是边长为1的等边三角形，分别取、边的中点D、E，连接，作得到四边形，它的周长记作；分别取，的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作，照此规律作下去，则等于_______． 三、解答题（本大题有10小题，共96分，解答时应写出文字说明或演算步骤．） 19. 已知：如图，在平行四边形中，E，F是对角线上两点，连接，，求证：． 20. 当取什么值时，分式． （1）分式有意义； （2）分式的值为0． 21. 为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了“书香校园”的读书活动，活动中，为了解学生对书籍种类（A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D：体育类）的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项）将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图． （1）这次调查中，一共调查了___________名学生； （2）在扇形统计图中，“D”部分所对应的圆心角的度数为___________度；并补全条形统计图． （3）若全校有4800名学生，请估计喜欢B（科技类）的学生有多少名？ 22. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共30个，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.52 0.69 0.593 0.604 0.60 0599 0.601 （1）若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为____________；（精确到） （2）盒子里白色的球有____________个； （3）若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求m的值． 23. 如图，矩形的对角线、相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的长为，求菱形的对角线的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，； （1）平移，得到，若点A的对应点的坐标为，请画出，并写出点的坐标； （2）将以点为旋转中心旋转后得到，请画出，并写出点的坐标； （3）已知将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心P点的坐标． 25. 如图，在中，，过点D作交的延长线于点E，连接交于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求长． 26. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）． （1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ （2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？ （3）分别求出（2）中菱形AQCP周长和面积． 27. 如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，得到矩形FGCE，使得点E落在边AB上，AB的延长线交EG于H，连接DE，DH． （1）求证：ED平分； （2）求证：EC与DH互相平分； （3）设EC与DH相交于点O，，求点O到DC的距离． 28. 阅读下面材料： 我遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． 请回答：在图2中，的度数是______． 参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形中，，，，是上一点，若，，求的长度． （2）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当______时，线段 有最大值，并求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度第二学期月度反馈练习一八年级数学 （分值：150分时长：120分钟） 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形及中心对称图形的定义，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A、是轴对称图形而不是中心对称图形； B、既是轴对称图形也是中心对称图形； C、是轴对称图形而不是中心对称图形； D、是轴对称图形而不是中心对称图形； 故选：B． 2. 下列选项中的事件，属于随机事件的是（ ） A. 在一个只有白球的袋中，摸出红球 B. 任选一个频道，正在播放动画片 C. 有一匹马奔跑的速度是米/秒 D. 太阳每天从东边升起 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握概念是解题的关键，“在一定条件下，一定发生的事件叫做必然事件；一定不发生的事件叫做不可能事件；可能发生也可能不发生的事件为不可能事件。”根据概念逐一判断即可． 【详解】解：A、在一个只有白球的袋中，摸出红球，是不可能事件； B、任选一个频道，正在播放动画片，是随机事件； C、有一匹马奔跑的速度是米/秒，是不可能事件； D、太阳每天从东边升起，是必然事件； 故选：B． 3. 如图，把绕点C顺时针旋转，得到，交于点D．若，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了旋转地性质；图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．解题的关键是正确确定对应角． 根据旋转的性质，可得知，，求出的度数，进而可求出的度数． 【详解】∵三角形绕着点C顺时针旋转，得到 ∴， ∵ ∴， ∴； 故选C． 4. 石家庄市某中学为了解八年级1200名学生期中数学考试情况，从中抽取了200名学生的数学成绩进行统计．给出下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②1200名学生是总体；③每名学生的数学成绩是个体；④200名学生是总体的一个样本；⑤200是样本容量．其中正确的判断有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象,从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：①这种调查方式是抽样调查故①正确； ②1200名学生的数学成绩是总体，故②错误； ③每名学生的数学成绩是个体，故③正确； ④200名学生的数学成绩是总体的一个样本，故④错误； ⑤200是样本容量，故⑤正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 5. 如图，在中，，，，则的周长是（ ） A. 21 B. 22 C. 25 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边相等，对角线互相平分．根据平行四边形的性质可得，，然后可得的周长． 【详解】解：四边形是平行四边形，，，， ，， 的周长是：， 故选：A． 6. 如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了基本作图、菱形的判定与性质．利用基本作图得到，则可判断四边形为菱形，根据菱形的面积公式得到，从而可求出的长． 【详解】解：根据作图，， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得． 故选：B． 7. 如图，中，．点D是边上的动点，过点D作边的垂线，垂足分别为E，F、连接，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键，连接，由勾股定理求出，再证明四边形是矩形，得到，由垂线段最短可知，当时，线段最小，则线段的值最小，进而由三角形的面积求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可知，当时，线段最小，则线段的值最小， 此时，即 ， 的最小值为， 故选：B． 8. 如图，在正方形中，是的中点，是上一点，．有下列结论：①；②射线是的角平分线；③；④．其中正确结论的为（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】①根据题目中的条件和正方形的性质，利用锐角三角函数可以得到是否等于； ②根据题目中的条件，可以求得和的正切值，从而可以得到射线是否为的角平分线； ③根据前面的推论，可以得到和的关系，从而可以判断是否成立； ④根据题目中的条件和全等三角形的判定与性质，可以得到是否成立． 【详解】解：在正方形中，是的中点， ，， ， ， ，故①错误； ，， ，， ， ， ， ， 设，则，， ，，， ， ，即射线是的角平分线，故②正确； ，， ，故③错误； 作于点，如图所示： 平分，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， ，故④正确， 综上所述，②④正确，正确的个数为2， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．） 9. 在整数中，数字“0”出现的频率是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频率计算，根据公式计算即可． 【详解】整数中，数字“0”出现的频率是， 故答案为：． 10. 小明在农贸市场购买葡萄，为了解葡萄甜度，他取了一颗品尝．这种了解方式属于_______（填“普查”或“抽样调查”） 【答案】抽样调查 【解析】 【分析】本题考查普查和抽样调查的含义，普查即全面调查，抽样调查指的是全部数据中抽出部分调查，根据定义即可选出本题答案． 【详解】解：∵为了解葡萄的甜度，他取了一颗品尝， ∴更适用抽样调查， 故答案为：抽样调查． 11. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键．根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 有下列图形：①线段，②三角形，③平行四边形，④正方形，⑤圆．其中不是中心对称图形的是_______． 【答案】② 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟知把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键．根据中心对称图形的定义，逐个分析判断即可得出答案． 【详解】解：①线段是中心对称图形， ②三角形不是中心对称图形， ③平行四边形是中心对称图形， ④正方形是中心对称图形， ⑤圆是中心对称图形， 综上所述，不是中心对称图形的是②． 故答案为：②． 13. 如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，请添加条件________，使得菱形为正方形．（只能添加一个条件） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】依据正方形的判定定理进行判断即可. 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴当有一个内角是直角时，为正方形， ∴当时，为正方形， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查的是菱形和正方形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键. 14. 在平面直角坐标系中，的对角线交于点O．若点A的坐标为，则点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对角线互相平分． 根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：， ， 的对角线相交于点O，， ∴点的坐标为， 故选：C． 15. 如图，△ABC中，AC=，BC=4，AB=3，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明四边形CEBD是平行四边形，然后利用勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明四边形CEBD是菱形，进而可以解决问题． 【详解】解：∵EB∥CD，EC∥AB， ∴四边形CEBD是平行四边形， 在△ABC中， ∵AC=，BC=4，AB=3， ∴（）2+42=2+16=18=（3）2， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB=90°， ∵点D是AB的中点， ∴DC=AD=DB=AB=， ∴四边形CEBD是菱形， 四边形CEBD的周长=4DB=4×=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了菱形判定与性质、勾股定理逆定理、直角三角形斜边上的中线，熟练掌握菱形的判定与性质，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键． 16. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD＝6，则EF＝______． 【答案】3 【解析】 【分析】连接CF并延长交AB于G，证明△FDC≌△FBG，根据全等三角形的性质得到BG＝DC＝6，CF＝FG，求出AG，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【详解】解：连接CF并延长交AB于G， ∵AB∥CD， ∴∠FDC＝∠FBG， 在△FDC和△FBG中， ， ∴△FDC≌△FBG(ASA) ∴BG＝DC＝6，CF＝FG， ∴AG＝AB﹣BG＝12﹣6＝6， ∵CE＝EA，CF＝FG， ∴EF＝AG＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 17. 点 P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，AB=3，AD=4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是_____ 【答案】 【解析】 【详解】过P点作PE⊥AC，PF⊥BD，连结OP. ∵AD=4，CD=3， ∴AC==5， 又∵矩形的对角线相等且互相平分， ∴AO=OD=2.5cm， ∴S△APO+S△POD=×2.5⋅PE+×2.5⋅PF=×2.5(PE+PF)= ×3×4， ∴PE+PF=. 故答案为：. 18. 如图，是边长为1的等边三角形，分别取、边的中点D、E，连接，作得到四边形，它的周长记作；分别取，的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作，照此规律作下去，则等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质、菱形的性质与判定，熟练掌握三角形中位线定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．利用三角形中位线定理、等边三角形的性质，证出四边形是菱形，可求出的值，同理可得出、、的值，找出规律即可得出的值． 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∵D、E分别是、边的中点， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴四边形的周长；， ∵，分别是，边的中点， ∴， 同理可得：，，…… ∴依此类推，（为正整数）， 当时，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题有10小题，共96分，解答时应写出文字说明或演算步骤．） 19. 已知：如图，在平行四边形中，E，F是对角线上两点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，根据已知条件证明，即可得出． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ． 20. 当取什么值时，分式． （1）分式有意义； （2）分式的值为0． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件、分式值为零的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件是分子为零且分母不为零是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件即可求解； （2）根据分式值为零的条件即可求解． 【小问1详解】 解：∵分式有意义， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 21. 为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了“书香校园”的读书活动，活动中，为了解学生对书籍种类（A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D：体育类）的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项）将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图． （1）这次调查中，一共调查了___________名学生； （2）在扇形统计图中，“D”部分所对应的圆心角的度数为___________度；并补全条形统计图． （3）若全校有4800名学生，请估计喜欢B（科技类）的学生有多少名？ 【答案】（1）200 （2），见解析 （3）1680名 【解析】 【分析】（1）根据A类的人数和所占的百分比，即可求出总人数； （2）用整体1减去A、C、D类所占的百分比，即可求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数以及B所占的百分比；用总人数乘以所占的百分比，求出C的人数，从而补全图形； （3）总人数乘以样本中B所占百分比即可得． 【小问1详解】 解：40÷20%＝200（名）， 答：调查的总学生是200名； 【小问2详解】 解：D所占百分比为， 扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数为：； B所占的百分比是， C的人数是：（名）， 补图如下： 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计喜欢B（科技类）的学生大约有1680名． 【点睛】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的应用，正确利用条形统计图得出正确信息是解题关键． 22. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共30个，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.52 0.69 0.593 0.604 0.60 0.599 0.601 （1）若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为____________；（精确到） （2）盒子里白色的球有____________个； （3）若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求m的值． 【答案】（1） （2）18 （3） 【解析】 【分析】（1）根据从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的频率稳定在左右，即可得到答案； （2）利用黑、白两种颜色的球总数乘以（1）中白球的概率的估计值即可得到答案； （3）根据“随机摸出1个球是白球的概率是”列出方程，解方程并检验即可得到答案． 【小问1详解】 解：从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的频率稳定在左右， ∴摸到白球的概率的估计值为， 故答案为： 小问2详解】 （个）， 即盒子里白色的球有个； 【小问3详解】 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的根． ∴m的值为． 【点睛】此题考查了频率估计概率、分式方程的应用等知识，熟练掌握频率估计概率是解题的关键． 23. 如图，矩形的对角线、相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的长为，求菱形的对角线的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）的长为cm． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定等等： （1）先证明四边形是平行四边形，再由矩形的性质得到，据此即可证明结论； （2）先由矩形的性质得到，再证明是等边三角形，得到，据此利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， ，， 是等边三角形， ， 在中， ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，； （1）平移，得到，若点A的对应点的坐标为，请画出，并写出点的坐标； （2）将以点为旋转中心旋转后得到，请画出，并写出点的坐标； （3）已知将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心P点的坐标． 【答案】（1）作图见解析，点坐标为 （2）作图见解析，坐标为 （3）旋转中心P点的坐标 【解析】 【分析】本题主要考查了平移、旋转作图，求旋转中心，解题的关键是作出对应点的位置． （1）先作出点A、B、C平移后的对应点、、，然后顺次连接即可，根据图形写出点的坐标； （2）先作出点A、B、C旋转后的对应点、、，然后顺次连接即可，根据图形写出点的坐标； （3）根据图形得出旋转中心P点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形，点坐标为； 【小问2详解】 解：如图，即为所求，坐标为； 【小问3详解】 解：如图，连接、、交于一点，该点为旋转中心P，其坐标为． 25. 如图，在中，，过点D作交的延长线于点E，连接交于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长是 【解析】 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，可得，再证，即可证明四边形是平行四边形，又，可证明四边形是矩形； （2）根据四边形是矩形得出，，，证明是等边三角形，再根据勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形，点E在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，，， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 的长是． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质． 26. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）． （1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ （2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？ （3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积． 【答案】（1）4s （2）3s （3）菱形AQCP的周长是20cm，面积是20cm2 【解析】 【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，据此求得t的值； （2）当四边形AQCP是菱形时，AQ=AC，列方程求得运动的时间t； （3）菱形的四条边相等，则菱形的周长等于边长乘以4，面积等于底乘以高，即可求解． 【小问1详解】 解：设点P、Q运动的时间为t（s），则BQ=t，DP=t， ∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=8， ∴CD=AB=4，AD=BC=8， ∴AP=8-t， 当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP， ∴t=8-t， 解得：t=4， 答：当t=4s时，四边形ABQP是矩形； 【小问2详解】 解：∵AB=4，BQ=t，∠B=90°， ∴， 当四边形AQCP是菱形时，AP=AQ， ∴， 解得：t=3， 答：当t=3s时，四边形AQCP菱形； 【小问3详解】 由（2）可知：当t=3时，BQ=3， ∴CQ=BC-BQ=5， ∴菱形AQCP的周长为4CQ=4×5=20（cm）， 菱形AQCP的面积为CQ·AB=5×4=20（cm2） 答：菱形AQCP的周长是20cm，面积是20cm2． 【点睛】本题考查了菱形、矩形的判定与性质，利用结合方程的思想解题是解题的关键． 27. 如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，得到矩形FGCE，使得点E落在边AB上，AB的延长线交EG于H，连接DE，DH． （1）求证：ED平分； （2）求证：EC与DH互相平分； （3）设EC与DH相交于点O，，求点O到DC的距离． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（１）首先利用矩形的性质可以得到，然后利用旋转的性质和等腰三角形的性质可以证明结论． （２）连接HC，利用矩形的性质证明，然后利用全等三角形的性质证明四边形EHDC为平行四边形即可求解． （３）过点O作于M，延长MO交AB于N，利用已知条件可以证明，接着证明四边形ADMN是矩形即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵矩形ABCD ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ED平分 【小问2详解】 解：连接HC ∵矩形EFGC ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴平行四边形EHDC ∴EC与DH互相平分 【小问3详解】 解：过点O作于M，延长MO交AB于N ∵， ， ∴ ∴ ∵，， ∴四边形ADMN是矩形 ∴ ∴ 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，平行四边形的判定． 28. 阅读下面材料： 我遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． 请回答：在图2中，的度数是______． 参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形中，，，，是上一点，若，，求的长度． （2）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当______时，线段 有最大值，并求出的最大值． 【答案】；（1）；（2） ，CD最大值为 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系属于综合题，仔细审题，理解题意是解决问题的关键． 阅读材料：根据旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，然后求出，再根据计算即可得解； 过点A作交的延长线于点，可得四边形是正方形，然后设，根据上面的结论表示出，再求出、，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解； 过点作，取，连接，，由勾股定理可求的长，由可证，可得，由三角形的三边关系可得． 【详解】解：阅读材料： 根据旋转， ，， ，， ，即； 过点作交的延长线于点， ，， ， ， 四边形是正方形， ， 根据上面结论，可知， 设， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故； 过点作，取， 连接，， ， ， ， 又，， ， ， 线段有最大值时，只需最大即可， 在中，， 当、、三点共线时， 取最大值，此时， 在等腰直角三角形中，， ， ， 最大为：，此时， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$