精品解析：山东省德州市庆云县渤海中学2024-2025学年八年级下学期3月份月考数学试题

渤海中学八年级阶段性调研 数学试题 2025年3月 （考试时间为120分钟，满分150分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，共48分；第Ⅱ卷为非选择题，共102分，满分150分，考试时间为120分钟。 2．把第Ⅰ和Ⅱ卷中的各小题答案填写在所给设计的数学答题卡的对应处（完成试卷后，只交答题卡）。 第Ⅰ卷（选择题，共48分） 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 0.3，0.4，0.5 C. 13，14，15 D. 8，15，17 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，当无人机从地面的A处竖直上升30米时，与地面上B处的距离为50米，若A，B在一条直线上，则A，B之间的距离为（ ） A. 80米 B. 60米 C. 45米 D. 40米 5. 设，，则用含a，b的式子表示，可得（　　） A. B. C. D. 6. 在中，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 7. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，以所在的直线为轴，边上的高所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，以作为坐标系的单位长度，点B的坐标是，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是（ ）. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 10. 对于任意的正数m，n定义运算※为：m※n＝计算(3※2)×(8※12)的结果为( ) A. 2－4 B. 2 C. 2 D. 20 11. 如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ） A. B. C. D. 12. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5且a2＝b2+c2﹣bc，则△ABC的面积为（　　） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共102分） 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 13. 在中，，，则以为边的正方形的面积为______． 14. 最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为______． 15. 已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：_________． 16. 比较大小：__________（填“”、“=”、“”）． 17. 如图，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为4，3，2，则图中阴影部分的面积为________． 18. 如图，已知中，，，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，线段的长为____________________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 19 计算： （1） （2） 20. 已知x＝2＋，求代数式(7－4)x2＋(2－)x＋值． 21. 如图是一张直角三角形纸片，直角边，斜边，现将折叠，使点与点重合，折痕为，求线段的长． 22. 如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度． 23. 为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，阴影部分是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且． （1）试说明：； （2）该校计划此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 24. 在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话． 小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如的三边长分别是，和2，因为，所以是“类勾股三角形”． 小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！ 根据对话回答问题： （1）判断：小璐的说法___________（填“正确”或“错误”） （2）已知的其中两边长分别为1，，若为“类勾股三角形”，则另一边长为___________； （3）如果是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且，z为斜边长），用只含有x的式子表示其周长和面积． 25. 阅读下列两则材料，回答问题 材料一：我们将与称为一对“对偶式”，因为所以构造“对偶式”相乘可以将与中的“”去掉．例如：已知，求的值． ∵，∴ 材料二：如图，点，点，以AB为斜边作Rt△ABC， 则，，，所以；反之，可将代数式值看作点到点的距离，例如：， ∴可将的值看作点到点的距离． （1）利用材料一，解关于x方程：，其中； （2）利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时x与y的关系式，写出x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渤海中学八年级阶段性调研 数学试题 2025年3月 （考试时间为120分钟，满分150分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，共48分；第Ⅱ卷为非选择题，共102分，满分150分，考试时间为120分钟。 2．把第Ⅰ和Ⅱ卷中的各小题答案填写在所给设计的数学答题卡的对应处（完成试卷后，只交答题卡）。 第Ⅰ卷（选择题，共48分） 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，先根据二次根式有意义的条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故选：A． 2. 下列各组数，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 0.3，0.4，0.5 C. 13，14，15 D. 8，15，17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数是指能构成直角三角形三边的一组正整数，由此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、， 1，2，3不是勾股数，故不符合题意； B、不是正整数， 不是勾股数，故不符合题意； C、， 13，14，15不是勾股数，故不符合题意； D、， 8，15，17是勾股数，故符合题意； 故选：D． 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查最简二次根式，最简二次根式应满足的条件：①被开方数的因数是整数,因式是整式；②被开方数的因式的指数必须小于根指数，据此判断． 【详解】解：A、是最简二次根式； B、不是最简二次根式； C、，不符合题意； D、不是最简二次根式； 故选：A． 4. 如图，当无人机从地面的A处竖直上升30米时，与地面上B处的距离为50米，若A，B在一条直线上，则A，B之间的距离为（ ） A. 80米 B. 60米 C. 45米 D. 40米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：∵，米，米， ∴（米）， 即，之间的距离为40米． 故选：D． 5. 设，，则用含a，b的式子表示，可得（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简及二次根式的乘法计算．计算a，b的值，然后将进行化简，从而求解． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 6. 在中，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，则是直角三角形，故本选项不符合题意； B、，则是直角三角形，故本选项不符合题意； C、设，则，不能构成三角形，故本选项符合题意； D、若，则，则是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C 7. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，由数轴可知：，则，化简所求代数式即可．由数轴得到是解题的关键． 详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 故选：B． 8. 如图，中，，，以所在的直线为轴，边上的高所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，以作为坐标系的单位长度，点B的坐标是，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、坐标与图形性质等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理求出，再由勾股定理求出，再确定点C的坐标即可解答． 【详解】解：∵点B的坐标是， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴点C的坐标是． 故选：D． 9. 如图所示，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是（ ）. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理，在直角三角形中，若a,b是直角边，c是斜边，那么a2+b2=c2，可知，以直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积. 【详解】根据勾股定理，可知，以直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积. 即：SA+SB+SC+SD=SE=2+5+1+2=10 故选B 【点睛】勾股定理在面积中运用. 10. 对于任意的正数m，n定义运算※为：m※n＝计算(3※2)×(8※12)的结果为( ) A. 2－4 B. 2 C. 2 D. 20 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵3＞2， ∴3※2=， ∵8＜12， ∴8※12==， ∴（3※2）×（8※12）=（）×=2． 故选B． 11. 如图，已知圆柱底面周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形， 则这圈金属丝的周长最小为的长度 圆柱底面的周长为，圆柱高为 ， 这圈金属丝的周长最小为 故选：A 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 12. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5且a2＝b2+c2﹣bc，则△ABC的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用配方法对b2+c2=2b+4c-5变形配方，从而求得b，c的值，再将其代入a2=b2+c2-bc，求出a，再由勾股定理的判定定理得出△ABC为直角三角形，从而其面积易得． 【详解】∵b2+c2＝2b+4c﹣5 ∴（b2﹣2b+1）+（c2﹣4c+4）＝0 ∴（b﹣1）2+（c﹣2）2＝0， ∴b﹣1＝0，c﹣2＝0， ∴b＝1，c＝2． 又∵a2＝b2+c2﹣bc， ∴a2＝1+4﹣2＝3， ∴或（舍） ∵， ∴△ABC是以1和为直角边的直角三角形， ∴△ABC的面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了应用配方法进行变形，以及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理，三角形的面积计算等基础内容，本题难度中等． 第Ⅱ卷（非选择题，共102分） 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 13. 在中，，，则以为边的正方形的面积为______． 【答案】或##65或33 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，分为斜边和为斜边两种情况，利用勾股定理求出即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当为斜边时，， 此时以为边的正方形的面积为； 当为斜边时，， 此时以为边的正方形的面积为； ∴以为边的正方形的面积为或， 故答案为：或． 14. 最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据同类二次根式的根指数、被开方数相同可得出方程，解出即可得出答案． 【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同类二次根式知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类二次根式的根指数、被开方数相同． 15. 已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据数a、b在数轴上位置确定，，，的符号，再根据二次根式的性质进行化简，再合并同类项． 【详解】根据数轴，得， ，， 故答案为：． 16. 比较大小：__________（填“”、“=”、“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据，结合，得到，解答即可． 本题考查了二次根式的大小比较，比较被开方数的大小是解题的关键． 【详解】解：根据，又，故， 故答案为：． 17. 如图，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为4，3，2，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用．先表示出三个正方形的边长，然后用一个长为，宽为2的矩形的面积减去两个正方形的面积，可得到图中阴影部分的面积． 【详解】解：由题意得三个正方形的边长分别为，，2， 图中阴影部分的面积：． 故答案为：． 18. 如图，已知中，，，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，线段的长为____________________． 【答案】4或 【解析】 【分析】由为直角三角形，分两种情况进行讨论：①；②．分别依据含角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到的长． 【详解】解：分两种情况： 如图，当时，是直角三角形， 在中，，，， ，， 由折叠可得，， ， ， ， ， 如图，当时，是直角三角形， 由题可得，，， ，， ，， 设，则，， 又， ， 解得：， ，， 故答案为：4或． 【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键在于掌握二次根式的性质，二次根式的乘除运算法则． （1）根据二次根式混合运算的法则计算求解，即可解题； （2）根据二次根式的乘法，以及平方差公式计算求解，即可解题． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 已知x＝2＋，求代数式(7－4)x2＋(2－)x＋的值． 【答案】2＋ 【解析】 【分析】把已知数据代入原式,根据平方差公式计算即可. 【详解】解：当时, 原式= = =49-48+4-3+ =2+. 21. 如图是一张直角三角形纸片，直角边，斜边，现将折叠，使点与点重合，折痕为，求线段的长． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，折叠的性质，在中勾股定理求得，进而由翻折得，利用直角三角形，勾股定理即可求得长． 【详解】解：在中，，， 由题意得； 设，则， 在中， ，即， 解得； 即． ∴ 22. 如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度． 【答案】钟摆的长度 【解析】 【分析】本题主要考查了利勾股定理的应用，正确构造直角三角形利用勾股定理列方程是解题的关键． 先说明，设，则，再根据勾股定理可知列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知：，， ∴， 设，则， ∵， ∴，即，解得：． 答：钟摆的长度． 23. 为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，阴影部分是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且． （1）试说明：； （2）该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【答案】（1）见解析 （2）7200元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，即可说明； （2）过A作于点E，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，然后求出阴影部分的面积，即可解决问题． 【小问1详解】 解：，，， ， 是直角三角形，其中是斜边， ； 【小问2详解】 解：如图，过A作于点E， ，，， ， ， ， ， ， （元）， 此块空地全部种植花卉共需花费7200元． 24. 在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话． 小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如的三边长分别是，和2，因为，所以是“类勾股三角形”． 小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！ 根据对话回答问题： （1）判断：小璐的说法___________（填“正确”或“错误”） （2）已知的其中两边长分别为1，，若为“类勾股三角形”，则另一边长为___________； （3）如果是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且，z为斜边长），用只含有x的式子表示其周长和面积． 【答案】（1）正确 （2）2或 （3）周长为：，面积为：． 【解析】 【分析】（1）将其三边长的平方写出来，看能否写成两边的平方等于第三边平方的两倍即可； （2）分三种情况讨论求解并进行验证即可； （3）根据勾股定理和类勾股三角形的性质将y、z用x表示，即可求出结果． 【小问1详解】 解：设等边三角形三边长分别是a，b，c，则， ∴， ∴等边三角形是“类勾股三角形”， ∴小璐的说法正确， 故答案为：正确； 【小问2详解】 解：设另一边长为x， ①，解得，符合题意； ②，解得，符合题意； ③，无解； 故答案为：2或； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴周长为：， 面积为：． 【点睛】本题考查勾股定理，理解题目中的新定义及掌握勾股定理是解题关键． 25. 阅读下列两则材料，回答问题 材料一：我们将与称为一对“对偶式”，因为所以构造“对偶式”相乘可以将与中的“”去掉．例如：已知，求的值． ∵，∴ 材料二：如图，点，点，以AB为斜边作Rt△ABC， 则，，，所以；反之，可将代数式的值看作点到点的距离，例如：， ∴可将的值看作点到点的距离． （1）利用材料一，解关于x的方程：，其中； （2）利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时x与y的关系式，写出x的取值范围． 【答案】（1） （2）最小值为5， 【解析】 【分析】（1）由阅读部分的提示可得到再把得到的方程与原方程相加即可得到答案； （2）把原式化为 可得的含义表示点与点之间的距离与点与之和，再利用数形结合的方法可得答案． 【小问1详解】 解： ， 即 两个方程相加可得： 解得： 经检验符合题意． 【小问2详解】 ∴的含义表示点与点之间的距离与点与之和，如图示： 即， 所以，当Q在线段EF上时，QE+QF最短，即最小， 最小值为： 设直线EF为 解得： EF为： 【点睛】本题属于阅读题，考查学生的自主学习的能力，同时考查了二次根式的性质，方程组是解法，勾股定理的应用，两点之间，线段最短，完全平方式的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，综合性较强，对学生的学习能力要求较高． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $