2.2.1 直线的点斜式方程（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 人教A版2019选择性必修第一册·高二 2.2 直线的方程 2.2.1 直线的点斜式方程 章节导读 确定直线位置的几何要素：点、方向 直线的倾斜角和斜率 直线的点斜式方程 直线的两点式方程 直线的一般式方程 点到直线、两平行直线间的距离 两条直线间的位置关系 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 确定圆的几何要素：圆心、半经 圆的标准方程 圆的一般方程 两点间的距离公式 两条直线平行和垂直的判定 学 习 目 标 1 2 3 掌握直线方程的点斜式和斜截式,并会用它们求直线方程,提升数学运算的核心素养 了解直线的斜截式方程与一次函数的关系,提升逻辑推理的核心素养 会用直线的斜截式方程解决直线的平行与垂直问题. 旧知回顾 1. 如何求直线的斜率？ k=tanα （x1≠x2） (α≠90°) 2. 如何判断直线的平行与垂直？ (1) 当斜率存在时, 设直线l1, l2的斜率分别为k1, k2, 则有 (2) 当斜率不存在时, 它们的倾斜角都为90°, 显然有l1 // l2. 当直线l1或l2的倾斜角为90°时, 若l1⊥l2, 则另一条直线的倾斜角为0°; 反之亦然. 新知导入 问题1 如何确定一条直线？ 已知两点可以确定一条直线。 已知直线上的一点和直线的倾斜角（斜率）可以确定一条直线。 在直角坐标系中，给定一个点P0(x0,y0)和斜率 k ，就能唯一确定一条直线.也就是说这条直线上任意一点的坐标P(x, y)与P0的坐标(x0, y0)和斜率k 之间的关系是完全确定的. 这一关系如何表示呢？ 那么，接下来我们来探究点P0(x0,y0)和斜率 k（或倾斜角）之间的关系。 新知探究 问题2 如图,直线 l 经过点P0(x0，y0),且斜率为k,设点P (x，y)是直线l上不同于点P0 的任意一点，试问 x 与 y 之间满足怎样的关系式？ x y O P0(x0, y0) P(x, y) l 由斜率公式得 即 追问1 直线l上每一个点的坐标(x，y)满足关系式y-y0=k(x-x0)吗？ ? 新知探究 追问2 坐标满足关系式y-y0=k(x-x0)的每一点是否都在过点P0(x0,y0)，斜率为 k的直线l上？ 追问 方程 y－y0＝k(x－x0)与方程 等价吗？ 定义新知 我们把方程 称为过点P0(x0，y0),且斜率为k的直线l的方程。 方程 y－y0 = k(x－x0)由直线上一个定点P0(x0, y0)及该直线的斜率k确定, 我们把它叫做直线的点斜式方程, 简称点斜式. x y O P0(x0, y0) P(x, y) l 不是等价的，前者表示整条直线，后者表示去掉点P(x0, y0)的一条直线． 新知探究 问题2.1 当直线的倾斜角为0°时，直线的方程是什么？为什么？ 问题2.2 当直线的倾斜角为90°时，直线的方程是什么？为什么？ 特别地 x轴的方程为y =0. 特别地 y轴的方程为x =0. 当直线l的倾斜角为0°时, tan0°=0, 即k=0, 这时直线l与x轴平行或重合, 直线l的方程为 当直线l的倾斜角为90°时, 直线l的斜率不存在，这时l与y轴平行或重合, 直线l的方程不能用点斜式表示, 此时直线l的方程为 结论：直线的点斜式方程不能表示所有的直线， 不能表示垂直于x轴的直线（因为斜率不存在） 典例分析 例1 直线l经过点P0(－2, 3), 倾斜角α=45°,求这条直线的方程, 并画出直线l. x y O P0(-2,3) • l • P1(-1,4) 课后练习 课本练习 1. 写出下列直线的点斜式方程: (1) 经过点A(3, －1), 斜率是 ; (2) 经过点B(－ , 2), 倾斜角是30°; (3) 经过点C(0, 3), 倾斜角是0° ; (4) 经过点D(－4,－2), 倾斜角是 (5) 经过点Q(3,－2), 方向向量 2.填空题： (1) 已知直线的点斜式方程是y-2=x-1, 那么此直线的斜率是___, 倾斜角是____ ; (2) 已知直线的点斜式方程是y+2= (x+1). 那么此直线的斜率是___, 倾斜角是___. 45° 60° 新知探究 问题3 下面我们看点斜式的一种特殊情形：如果斜率为k的直线l过点P0(0, b), 这时P0 是直线l与y轴的交点, 此时方程该如何表示？ x y O P0(0,b) • l 将点P0(0, b)代入直线的点斜式方程, 得 即 我们把直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距. 方程 y=kx+b由直线的斜率与它在 y轴上的截距确定，所以该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. k的几何意义: b的几何意义: 直线的斜率 直线在y轴上的截距 截距不是距离，因为截距表示直线与坐标轴交点的对应坐标，分为纵截距和横截距, 它们可以是正,负或零, 是实数; 而距离指长度, 为非负数. 追问 截距是距离吗? 课后练习 课本练习 3. 写出下列直线的斜截式方程: (1) 斜率是 ，在y轴上的截距是－2; (2) 斜率是－2，在y轴上的截距是4. 补充 (3) 在y轴上的截距是4,且与x轴平行; (4) 倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (5) 斜率为2，与x轴的交点为(5,0); (6) 斜率为2，与y轴的交点到原点的距离为5. 问题4.1 方程y=kx+b与我们学过的一次函数表达式类似. 我们知道，一次函数的图像是一条直线，你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx+b? 新知探究 问题4.2 你能说出一次函数y=2x-1、y=3x及y=-x+3图像的特点吗? 分析：一次函数的解析式与直线的斜截式方程的形式一致，对于y=kx+b， 从函数的角度看，表示的是自变量x与因变量y之间的对应关系； 从直线方程的角度看，表示的是平面直角坐标系中一条直线上点的坐标所满足的代数关系. 一次函数是直线斜截式方程. 但是直线方程不一定是一次函数. 对于斜截式, 直线方程里斜率可以是0, 但一次函数斜率不能为0(否则就不是一次函数). 例如: 对于直线方程y= kx+ b(斜截式), 当k≠0(即斜率不为0)时, 这个直线方程就是一次函数, 当k=0(即斜率为0)时，这个直线方程就不能称一次函数了. 一次函数y=2x-1、y=3x及y=-x+3图像所对应的三条直线， 斜率不同，分别为2，3，-1； 在y轴的截距也不同，分别为-1，0，3 典例分析 例2 已知直线l1: y=k1x+b1，l2: y=k2x+b2，试讨论: (1) l1//l2的条件是什么? (2) l1⊥l2的条件是什么? 结论：我们得到，对于直线l1: y=k1x+b1, l2: y=k2x+b2. 课后练习 课本练习 4. 判断下列各对直线是否平行或垂直: (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ 补充 直线的点斜式方程 题型一 题型探究 【例1】 已知直线的方程是 ,则( @8@ ) A. 直线经过点 ，斜率为2 B. 直线经过点 ，斜率为 C. 直线经过点 ，斜率为 D. 直线经过点 ，斜率为 C [解析] 方程可化为 <m></m> ， 所以直线过点 <m></m> ，斜率为 <m></m> .故选C. 直线的点斜式方程 题型一 题型探究 【例2】根据条件写出下列直线的点斜式方程. （1）经过点,倾斜角为 （2）经过点,且与 轴平行; （3）直线绕着其上一点逆时针旋转后得到的直线 . [解析] 因为直线的倾斜角为,所以斜率 又直线过点,所以直线的方程为 [解析] 由题意知,直线的斜率,所以直线的方程为 [解析] 直线的斜率,所以倾斜角为 所以直线的倾斜角为 , 所以直线的斜率 又点在直线上,由点斜式方程知,直线的方程为 直线的点斜式方程 题型一 题型探究 提分笔记 用点斜式求直线的方程时，首先要确定直线的斜率和该直线上的一个点 的坐标.注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线的方程，若斜率不存在，则直线的方程为x=. 直线的斜截式方程 题型二 题型探究 【例3】(1) 直线 在 轴上的截距为( @18@ ) A. B. C. D. A [解析] 令 <m></m> ，则 <m></m> ，解得 <m></m> .故选A. 【例3】(2)倾斜角为 ，在 轴上的截距为 的直线的斜截式方程是( @25@ ) A. B. C. D. D [解析] 由题意得，直线的斜率为 <m></m> ， ∴直线的斜截式方程为 <m></m> . 直线的斜截式方程 题型二 题型探究 【例4】写出下列直线的斜截式方程. (1)在 <m></m> 轴上的截距为4，且与 <m></m> 轴平行； (2)倾斜角为 <m></m> ，与 <m></m> 轴的交点到原点的距离为3. [解析] 由题意得直线的方程为 <m></m> . [解析] 由题意得直线的斜率为 <m></m> ， 因为直线与 <m></m> 轴的交点到原点的距离为3， 所以直线在 <m></m> 轴上的截距为3或 <m></m> ， 故所求直线的斜截式方程为 <m></m> 或 <m></m> . 直线的斜截式方程 题型二 题型探究 (3)求斜率为2,与轴的交点为 的直线的方程; [解析] 因为直线过点 ,直线的斜率为2, 所以由直线的点斜式方程可知所求直线的方程为 , 即斜截式方程为 (4)求斜率为2,与 轴的交点到原点的距离为5的直线的方程. [解析] 因为直线与轴的交点到原点的距离为5, 所以直线在 轴上的截距为5或-5, 又直线的斜率为2,所以直线的斜截式方程为或 直线的斜截式方程 题型二 题型探究 解题感悟 1.已知直线的斜率与直线在 <m></m> 轴上的截距,可直接写出直线的斜截式方程. 2.已知直线的斜截式方程,可得直线的斜率与直线在 <m></m> 轴上的截距. 直线的斜截式方程的应用 题型三 题型探究 【例4】(1)当 <m></m> 为何值时，直线 <m></m> 与直线 <m></m> 平行？ [解析] 由题意可知，直线 <m></m> 的斜率为 <m></m> ，直线 <m></m> 的斜率为 <m></m> ， <m></m> ， ∴ <m></m> 解得 <m></m> . 故当 <m></m> 时，直线 <m></m> 与直线 <m></m> 平行. 直线的斜截式方程的应用 题型三 题型探究 (2)当 <m></m> 为何值时，直线 <m></m> 与直线 <m></m> 垂直？ [解析] 由题意可知，直线 <m></m> 的斜率为 <m></m> ，直线 <m></m> 的斜率为4， <m></m> ， <m></m> ，解得 <m></m> . 故当 <m></m> 时，直线 <m></m> 与直线 <m></m> 垂直. 直线的斜截式方程的应用 题型三 题型探究 解题感悟 已知含参数的两条直线平行或垂直求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系也要注意考虑 课堂达标 1. 方程 表示( @36@ ) A. 过点 的所有直线 B. 过点 的所有直线 C. 过点 且不垂直于 轴的所有直线 D. 过点 且除去 轴的所有直线 C [解析] <m></m> 即 <m></m> , 当 <m></m> 存在时，直线 <m></m> 恒过点 <m></m> . 直线 <m></m> 也过点 <m></m> ，但不能用 <m></m> 表示，故选C. 课堂达标 2.下列直线中过第一、二、四象限的是( ) C A. B. C. D. [解析] 若直线过第一、二、四象限,则 ,故选C. 课堂达标 3. 当 <m></m> 为何值时，直线 <m></m> 与直线 <m></m> 垂直？ [解析] 直线 <m></m> 的斜率为 <m></m> ,直线 <m></m> 的斜率为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，解得 <m></m> . 故当 <m></m> 时，直线 <m></m> 与直线 <m></m> 垂直. 课堂达标 4. 当 <m></m> 为何值时，直线 <m></m> 与直线 <m></m> 平行？ [解析] 直线 <m></m> 的斜率为 <m></m> ,在 <m></m> 轴上的截距为 <m></m> ，直线 <m></m> 的斜率为5，在 <m></m> 轴上的截距为 <m></m> ， <m></m> , ∴ <m></m> 解得 <m></m> . 故当 <m></m> 时，直线 <m></m> 与直线 <m></m> 平行. 课堂小结 形式 条件 直线方程 应用范围 点斜式 直线过点(x0, y0), 且斜率为k 斜截式 在y轴上的截距为b,且斜率为k 注：在使用这两种形式求解直线方程时，若斜率存在与否难以确定，应分“斜率存在”和“斜率不存在”这两种情况分别考虑，以免丢解. 斜率k存在 斜率k存在 x轴所在直线的方程是: y=0 y轴所在直线的方程是: x=0 感谢聆听! $$