2.2.1 直线的点斜式方程 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019） 选择性必修第一册

2.2.1 直线的点斜式方程 【温故知新 引入新课】 1.倾斜角α的定义及其取值范围； 答：直线的倾斜角的取值范围是:[0°，180°). 在平面直角坐标系内，如果给定一条直线l经过的一个点P0 ( x0，y0)和斜率k，能否将直线上所有的点的坐标(x，y)满足的关系表示出来呢？ 一 直线的点斜式方程 【新知学习 合作探究】 一 推导：由斜率公式得 直线的点斜式方程 直线l上每一点的坐标(x，y)都满足关系式y－y0=k(x－x0). 坐标满足关系式y－y0=k(x－x0)的每一个点都在直线l上. 把满足上述两条的方程y－y0=k(x－x0)称为过点(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程. 一 直线的点斜式方程 方程y－y0=k(x－x0)由直线上一点及其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 一 思考 （1）当直线l的倾斜角为0°时直线的方程是什么？ 当直线l的倾斜角为0°时，即tan0°=0． 这时直线l与x轴平行或重合，l的方程 就是 ，即 直线的点斜式方程 一 当直线l的倾斜角为90°时，直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．这时，直线l上每一点的横坐标都等于x0 ，所以它的方程就是 ，即 直线的点斜式方程 （2）当直线l的倾斜角为90°时直线的方程是什么？ 思考 一 例1.直线l经过点P0(－2，3)，且倾斜角α=45°，求该直线的点斜式方程，并画出直线l． 直线的点斜式方程 解：直线l经过点P0(－2，3)，斜率k=tan45°=1，代入点斜式方程得y－3=x＋2. 画图时，只需在找出直线l上的另一点P1(x1，y1)， 例如取x1=1，则y1=4，得点的坐标为(－1，4)， 过P0， P1两点的直线即为所求. 如果直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，代入直线的点斜式方程，得：y－b=k(x－0)， 也就是：y=kx＋b. 我们把直线与y轴交点的纵坐标b叫做直线在轴上的截距. 该方程由直线的斜率与它在y轴上的截距确定，所以该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 二 直线的斜截式方程 观察方程y=kx＋b，它的形式具有什么特点？ 我们发现，左端y的系数恒为1，右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义： k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距． 问题 注：（1）斜截式是点斜式的特例，只适用于斜率存在的情形. （2）直线在坐标轴上的横、纵截距及求法：截距的值是实数，它是坐标值，不是距离 二 直线的斜截式方程 方程y=kx＋b与我们学过的一次函数的表达式类似．我们知道，一次函数的图象是一条直线．你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx＋b ？一次函数中k和b的几何意义是什么？ 你能说出一次函数y=2x－1，y=3x及y=－x=3图象的特点吗？ 二 直线的斜截式方程 思考 二 解：（1）若l1∥l2，则k1＝k2 ，此时l1，l2与y轴的交点不同，即b1≠b2 ；反之，若k1＝k2 ，且b1≠b2 ，则l1∥l2 ． （2）若l1⊥l2 ，则k1k2 =－1；反之，若k1k2 =－1，l1⊥l2 ． 例2.已知直线l1：y= k1x＋b1， l2：y=k2 x＋b2，试讨论： （1） l1∥l2的条件是什么？ （2） l1⊥l2的条件是什么？ 直线的斜截式方程 二 直线的斜截式方程 总结：由例2可以得到， 对于直线l1：y= k1x＋b1， l2：y=k2 x＋b2， （1） l1∥l2⇔k1＝k2 ， 且b1≠b2 . （2） l1⊥l2⇔k1k2 =－1. 【归纳小结·提高认识】 1.直线的点斜式方程： y－y0=k(x－x0) 2.直线的斜截式方程： y=kx＋b 教材：P61练习1，2，3，4题 【布置作业·检测目标】 $$