精品解析：黑龙江省哈尔滨旭东中学2024—2025学年八年级下学期数学开学数学试卷

旭东中学八年级开学测试数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. （ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求算术平方根．根据算术平方根的性质解答，即可． 【详解】解：． 故选：A 2. 第九届亚洲冬季运动会是继北京冬奥会后我国举办的又一重大综合性国际冰雪运动盛会，也是自1996年后哈尔滨第二次承办亚冬会．目前已有34个国家和地区奥委会报名参加第九届亚冬会，有望创历届之最．其中单板滑雪大跳台是比赛项目之一，下面的比赛项目图标组成的四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查同底数幂的除法、二次根式的加减、幂的乘方、完全平方公式的运算，解题的关键是熟知运算法则． 详解】解：A、 ，计算正确； B、不能合并，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算错误； 故选A． 4. 故宫博物院北院区在建设时使用了混凝土仿生自修复技术，模仿生物组织损伤愈合的机能来提高建筑寿命，当出现不足0.0006米的裂缝时，这种混凝土可以“自愈”．将0.0006用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：0.0006用科学记数法表示应为． 故选C． 5. 生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边长是4米，那么苗圃的另外两边长分别是（ ） A. 4米，4米 B. 4米，10米 C. 7米，7米 D. 7米，7米，或4米，10米 【答案】C 【解析】 【分析】根据米分别为底和腰进行分类讨论，综合利用三角形的三边关系分析求解即可． 【详解】解：当米为底时，腰长为米，另两边为7米、7米，，符合三角形三边关系，能组成三角形； 当米为腰时，底边为，另两边为4米、10米，，不符合三角形三边关系，故不能组成三角形． ∴另两边为7米、7米． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义及三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 6. 定义一种新运算（且），若，则c的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，新定义等知识，根据运算“⊗”的定义将方程转化为一般式，然后解分式方程即可，注意解分式方程要检验． 【详解】解：∵（且）， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为， 故选：B． 7. 如图，已知，以点O为圆心，长为半径画弧，分别交于点B、A．连结，用尺规作图法依据图中的作图痕迹作射线交于点C，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、等边三角形的性质，熟练掌握角平分线的作图方法、等边三角形的性质是解答本题的关键． 由作图痕迹可知，射线为的平分线，，则为等边三角形，即可得，即． 【详解】解：由作图痕迹可知，射线为的平分线，， ， 为等边三角形， ， ． 故选：C． 8. 如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，，则的周长最小是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、轴对称、最短路线问题等知识，将周长的最小值转化为是解题的关键． 连接，由是的垂直平分线，得，则，由两点之间线段最短可知的最小值为，即可得出答案． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， 点三点在一条直线上时，的最小，最小值为， 最小值为，此时点与点重合， 周长的最小值为， 故选：C． 9. 我们可以利用图形的面积来解释一些代数恒等式．如图，能够使用其中阴影部分面积说明的等式是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图中信息可得阴影面积的表达式，逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，该阴影部分的面积面积为或， ， 故选B． 【点睛】本题考查了平方差的几何背景问题，正确的计算阴影面积是解决本题的关键． 10. 如图，将沿折叠得到，再将沿折叠得到，连接，交于点，连接，与相交于点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角定理，三角形的外角性质，由折叠得，得出，利用外角性质求出结论． 【详解】解：由折叠的性质得， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴ ， 故答案为：C． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 如果分式有意义，则的取值范围为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，理解并掌握分式的分母不能为0是解题的关键． 根据题意可得，结合不等式的性质求解即可． 【详解】解：， 解得，， 故答案为： ． 12. 分解因式：__________ 【答案】 【解析】 【分析】首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解： ＝b（a2−1） ＝b（a＋1）（a−1）． 故答案为b（a＋1）（a−1）． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键． 13. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，先根据二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的加法即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标，关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．由此即可得出答案． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 15. 如图，在等腰中，平分，点C在的垂直平分线上．若的周长为，则的长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识点，由题意得的周长，根据点C在的垂直平分线上得，即可求解； 【详解】解：∵平分， ∴， ∴的周长， ∴， ∵点C在的垂直平分线上． ∴， ∴， 故答案为： 16. __________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据负整数指数幂，零指数幂公式解答即可． 本题考查了负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握公式是解题的关键 【详解】解： ． 故答案：3． 17. 在平面直角坐标系中，点的坐标满足，，，，若，直线轴，则点的坐标是__________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、坐标与图形综合，先根据二次根式有意义的条件求出，结合题意可得点在直线上，即点的横坐标为，求出，由此计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴轴， ∵直线轴， ∴点在直线上，即点的横坐标为， ∵，， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴点的坐标是或， 故答案为：或． 18. 如图，为△ABC的中线，为△的中线，为△的中线，……按此规律，为△的中线．若△ABC的面积为8，则△的面积为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的中线性质，可得△的面积=，△的面积=，……，进而即可得到答案． 【详解】由题意得：△的面积=，△的面积=，……，△的面积==． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分，是解题的关键． 19. 如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，设，则，，证明，得出，，再证明，得出，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 已知，如图，为等边三角形，D、G为边上两点，，连接、，，过点D作，交延长线于点E，F为延长线上一点，连接，且，若，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，证明，则，在中，，则，故，那么，继而． 【详解】解，过点作于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角的直角三角形的性质，三角形的外角定理等知识点，解决本题的关键在于． 三、解答题（共60分） 21. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，整式的计算． （1）先算二次根式，零指数幂，绝对值，再算加减； （2）先去括号，再合并同类项． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 22. 先化简代数式，然后从，，1，2中选一个你喜欢的数代入求值． 【答案】；1 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法，再从，，1，2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ∵当或时，原分式无意义， ∴， 当时，原式 23. 如图，平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，； （1）作出点关于轴对称点，连接交轴于点，在坐标系中画出图形； （2）在（1）的条件下，在轴下方找一点，使的面积是面积的2倍，且是以为底的等腰三角形，利用坐标系网格画出图形，并直接写出点坐标． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析，点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质画出点，再连接即可； （2）结合等腰三角形的性质即可确定点，从而得解． 【小问1详解】 解：如图，点、点，线段即为所求； 【小问2详解】 解：∵在轴下方找一点，使的面积是面积的2倍， ∴点到的距离为点到的距离的倍， ∵是以为底的等腰三角形， ∴点在轴上， 如图，即为所求， 由图可得，点的坐标为． 24. 如图，点B、C、D在同一条直线上，，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据证明即可； （2）根据，得出，，根据等腰三角形的性质求出，再求出结果即可． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴(垂直的定义)， ∴， ∴（同角的余角相等）， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 25. 为庆祝建党103周年，某校开展了以“青春心向党”为主题的演讲比赛活动，学校决定购买、两种奖品，用于表彰在此次活动中表现突出的学生．已知奖品比奖品每件多10元，用400元购买奖品的件数恰好与用300元购买奖品的件数相同． （1）求每件、奖品的单价； （2）学校决定购买、两种奖品共60件，实际购买时，奖品的售价打九折，奖品的售价不变，学校用于购买两种奖品的总费用不超过2100元，最多可购买多少件奖品？ 【答案】（1）奖品的单价是40元/件，奖品的单价是30元/件 （2）最多可购买50件奖品 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设奖品的单价是元/件，则奖品的单价是元/件，依题意：列式，再解出，最后验根，即可作答． （2）先设购买件奖品，则购买件奖品，再结合题意得，最后解不等式，即可作答． 小问1详解】 解：设奖品的单价是元/件，则奖品的单价是元/件， 根据题意得： 解得， 经检验，是原方程的解，也符合题意， . 奖品的单价是40元/件，奖品的单价是30元/件； 【小问2详解】 解：设购买件奖品，则购买件奖品， 根据题意得： ， 解得， 最多可购买50件奖品. 26. 如图1，在中，为上一点，连接，交延长线于点，交于点，． （1）求证：点是的中点； （2）如图2，若，，求证：； （3）在（2）的条件下，如图3，作关于直线成轴对称的，连接，若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）12 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明得出，即可得证； （2）连接，作交于点，证明，得出，，从而可得是等腰直角三角形，再证明出，即可得证； （3）取的中点，连接，由轴对称的性质可得，从而可得，，由（2）可得，，求出，证明，得出，，求出， 再由三角形面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 证明：∵交延长线于点，交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴，即点是的中点； 【小问2详解】 证明：如图，连接，作交于点， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接， ∵与关于直线成轴对称， ∴， ∴，， 由（2）可得，， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∴， ∴． 27. 已知，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在第一象限，且，满足等式，连接、． （1）求，的值； （2）如图1，点为轴负半轴上一点，横坐标为，过点作，，连接、．设的面积为．求与之间的关系式（不需要写出的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，作，垂足为点，连接交于点，连接，交轴于点，当轴时，求的长． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，添加辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形证得是解决问题的关键． （1）由题意得，由非负性可知，进而求得m，n的值； （2）作轴，易证，可得，由点C在x轴负半轴上一点，且其横坐标为t，知，根据的面积可得关系式； （3）由（1）知，为等腰直角三角形，，过点C作，延长交于H，利用四边形内角和及同角的补角相等可得，进而可得，可知为等腰直角三角形，即，作交于P，连接，过作，交于Q，可知为等腰直角三角形，易证，可得，进而可知为等腰直角三角形，可知，易知，可证，可得，即，易知为等腰直角三角形，，由（2）可知，进而可得． 【小问1详解】 解：∵，即：， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：作轴，则，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵点在轴负半轴上一点，且其横坐标为， ∴， 则面积； 【小问3详解】 解：由（1）知，，则，， ∴，且轴，即为等腰直角三角形，， ∴， 过点作，延长交于，故， ∵，，即：， ∴，，即， ∴，， 又∵， ∴， ∴，故为等腰直角三角形，， ∴， 作交于，连接，过作，交于， 可知，为等腰直角三角形，故，， ∵则，即：， ∴， ∴ ∴，，则， ∴为等腰直角三角形，故：，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵轴， ∴，故为等腰直角三角形， ∴， 由（2）可知，，则，， ∴，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 旭东中学八年级开学测试数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. （ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 第九届亚洲冬季运动会是继北京冬奥会后我国举办的又一重大综合性国际冰雪运动盛会，也是自1996年后哈尔滨第二次承办亚冬会．目前已有34个国家和地区奥委会报名参加第九届亚冬会，有望创历届之最．其中单板滑雪大跳台是比赛项目之一，下面的比赛项目图标组成的四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 故宫博物院北院区在建设时使用了混凝土仿生自修复技术，模仿生物组织损伤愈合机能来提高建筑寿命，当出现不足0.0006米的裂缝时，这种混凝土可以“自愈”．将0.0006用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 5. 生物小组同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边长是4米，那么苗圃的另外两边长分别是（ ） A. 4米，4米 B. 4米，10米 C. 7米，7米 D. 7米，7米，或4米，10米 6. 定义一种新运算（且），若，则c的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 7. 如图，已知，以点O为圆心，长为半径画弧，分别交于点B、A．连结，用尺规作图法依据图中的作图痕迹作射线交于点C，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，，则的周长最小是（） A. B. C. D. 9. 我们可以利用图形的面积来解释一些代数恒等式．如图，能够使用其中阴影部分面积说明的等式是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，将沿折叠得到，再将沿折叠得到，连接，交于点，连接，与相交于点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 如果分式有意义，则的取值范围为______________． 12. 分解因式：__________ 13. 计算：__________． 14. 点关于轴对称的点的坐标是______． 15. 如图，在等腰中，平分，点C在的垂直平分线上．若的周长为，则的长为 _____． 16. __________． 17. 在平面直角坐标系中，点的坐标满足，，，，若，直线轴，则点的坐标是__________． 18. 如图，为△ABC的中线，为△的中线，为△的中线，……按此规律，为△的中线．若△ABC的面积为8，则△的面积为_______________． 19. 如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，若，则__________． 20. 已知，如图，为等边三角形，D、G为边上两点，，连接、，，过点D作，交延长线于点E，F为延长线上一点，连接，且，若，，则___________． 三、解答题（共60分） 21. （1）计算：； （2）化简：． 22. 先化简代数式，然后从，，1，2中选一个你喜欢的数代入求值． 23. 如图，平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，； （1）作出点关于轴的对称点，连接交轴于点，在坐标系中画出图形； （2）在（1）的条件下，在轴下方找一点，使的面积是面积的2倍，且是以为底的等腰三角形，利用坐标系网格画出图形，并直接写出点坐标． 24. 如图，点B、C、D同一条直线上，，，，． （1）求证：． （2）若，求度数． 25. 为庆祝建党103周年，某校开展了以“青春心向党”为主题的演讲比赛活动，学校决定购买、两种奖品，用于表彰在此次活动中表现突出的学生．已知奖品比奖品每件多10元，用400元购买奖品的件数恰好与用300元购买奖品的件数相同． （1）求每件、奖品的单价； （2）学校决定购买、两种奖品共60件，实际购买时，奖品的售价打九折，奖品的售价不变，学校用于购买两种奖品的总费用不超过2100元，最多可购买多少件奖品？ 26. 如图1，在中，为上一点，连接，交延长线于点，交于点，． （1）求证：点是的中点； （2）如图2，若，，求证：； （3）在（2）的条件下，如图3，作关于直线成轴对称的，连接，若，求的面积． 27. 已知，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在第一象限，且，满足等式，连接、． （1）求，的值； （2）如图1，点为轴负半轴上一点，横坐标为，过点作，，连接、．设的面积为．求与之间的关系式（不需要写出的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，作，垂足为点，连接交于点，连接，交轴于点，当轴时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$