第11讲　对数与对数函数讲义-2026届高三数学一轮复习

第11讲　对数与对数函数 知识梳理 1.对数 概念 如果　　　　(a>0,且a≠1),那么数x叫作以a为底N的对数,记作x=　　　　,其中a叫作对数的　　　　,N叫作　　　　  性质 底数的限制:a>0,且a≠1 对数式与指数式的互化:ax=N⇔　　　  负数和零没有对数 1的对数是　　　　:loga1=　　　　  底数的对数是　　　　:logaa=　　　　  对数恒等式:=　　　  运算 性质 loga(M·N)=　　　　  a>0,且a≠1, M>0,N>0 loga=　　　　　  logaMn=　　　　(n∈R)  换底 公式 logab=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0) 2.对数函数的概念、图象与性质 (1)对数函数的概念 函数y=logax(a>0,且a≠1)叫作对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞). (2)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域:　　　  值域:R 图象过定点　　　　,即恒有loga1=0  当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 在(0,+∞)上是　　　  在(0,+∞)上是　　　  注意 当对数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论 3.反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数　　　　　　　　　　互为反函数,它们的定义域与值域正好互换,它们的图象关于直线　　　　对称.  强调：（1）只有一一对应的函数才有反函数（2）互为反函数的单调性一致 例1、若满足，满足，则　　　　 2、若满足，满足，则　　　　 考点01　对数式的运算 例1 (1)若1·t=6×,则t= (　 ) A.60 B.45 C.30 D.15 (2)(多选题)下列说法中正确的有 (　 ) A.lg 2·lg 5=1 B.lg(lg 10)=0 C.若a=log32,则log23= D.=6 考点02　对数函数的图象及应用 例2 (1)函数f(x)=log2(2x)的大致图象为 (　 ) A B C D (2)在同一平面直角坐标系中,函数y=a-x,y=loga(a>0且a≠1)的图象可能是 (　 ) A B C D 考点03　对数函数的性质及应用 例3 (1)已知ea=lg 3,b=lg(ln 3),c=ln ,则a,b,c的大小关系是 (　 ) A.c<b<a B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a (2) 若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a ▲(3)已知a=ln π,b=log3π,c=ln 2,则a,b,c的大小关系是 (　 ) A.b<a<c B.a<b<c C.c<b<a D.b<c<a ▲(4)若a=,b=(ln 5-ln 2),c=,则 (　 ) A.b<c<a B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b 例4 (1)不等式log2(x2-1)<1的解集是 (　 ) A.(-,) B.(1,) C.(-,0)∪(0,) D.(-,-1)∪(1,) (3)已知函数 f(x)=则不等式f(x)≤7的解集为　　　　 .  例5 (1)已知f(x)=是(-∞,+∞)上的增函数,那么a的取值范围是 (　 ) A. B.(0,3) C.(1,3) D.(1,+∞) (2)(多选题)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),则下列说法正确的有 (　 ) A.当a=0时,函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞) B.函数f(x)有最小值 C.当a=0时,函数f(x)的值域为R D.若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是(-∞,-3] 例6（1）求函数的单调递增区间　　　　 .  （2）已知函数，则的值域　　　　 限时训练 (时间:45分钟) 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1.若log2m+log4n=2,则m2n= (　 ) A.3 B.4 C.9 D.16 2.已知a=log43,b=log53,c=log45,则 (　 ) A.b<a<c B.a<b<c C.a<c<b D.c<a<b 3.已知集合A={y|y=log2x,x>1},B=,则A∩B= (　 ) A. B.{y|0<y<1} C. D.⌀ 4.已知a>0且a≠1,则函数y=loga的图象一定经过 (　 ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 5.已知f(x)=则不等式f(x+3)<f(x2+3x)的解集是 (　 ) A.(-3,1) B.(0,1) C.(-∞,-3)∪(1,+∞) D.(1,+∞) 6.已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减,则实数a的取值范围是 (　 ) A.a<0 B.-1≤a<0 C.-1<a<0 D.a≥-1 7.(多选题)下列说法中正确的是 (　 ) A.log31.1<log31.2 B.(-1.1)3<(-1.2)3 C.0.991.1<0.991.2 D.0.993<30.99 8. 已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a=　　　　. 9.已知a>1,函数f(x)=loga(x-1),g(x)=loga(2x+1),则不等式2f(x)≤g(x)的解集为　　　　.  10. 已知函数f(x)=log2(m-x)+(x-3),且f(7)=-1. (1)求f(x)的定义域; (2)求不等式f(2x-1)>-1的解集. 11.如图,已知A(1,0),B(0,1),点C在函数y=ax(a>1)的图象上,点D在 函数y=logax的图象上,若四边形ABCD为正方形,则a= (　 ) A. B.2 C.3 D.4 12.(多选题)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a),则下列说法中正确的是 (　 ) A.若f(x)的定义域为R,则a的取值范围是(-4,0) B.若f(x)的值域为R,则a的取值范围是(-∞,-4]∪[0,+∞) C.若a=2,则f(x)的单调递减区间为(-∞,-1) D.若f(x)在(-2,-1)上单调递减,则a的取值范围是 13.已知正实数a,b满足logab+logba=,aa=bb,则a+b=　　　　.  14.已知函数f(x)=(4-x)-(4+x). (1)求函数f(x)的定义域; (2)判断并证明函数f(x)的奇偶性; (3)求不等式f(x)<0的解集. 参考答案 1.D　[解析] 因为log2m+log4n=2,所以log2m+log2n=2,则log2m+log2=log24,化简得log2(m)=log24,所以m=4,故m2n=16.故选D. 2.A　[解析] 由题得a=log43<log44=1,b=log53<log55=1,c=log45>log44=1,又a=,b=,所以a-b=-=>0,所以0<b<a<1,所以b<a<c.故选A. 3.A　[解析] 由已知得A={y|y=log2x,x>1}={y|y>0},B==,所以A∩B=.故选A. 4.D　[解析] 当x=0时,y=loga=-1,则 当0<a<1时,函数图象过第二、三、四象限,如图①, 当a>1时,函数图象过第一、三、四象限,如图②, 所以函数y=loga的图象一定经过第三、四象限.故选D. 5.A　[解析] 由f(x)=可得当x≤0时,f(x)单调递减, 当x>0时,f(x)单调递减,又易知函数f(x)的图象连续,所以f(x)在R上单调递减,f(x)的大致图象如图所示, 不等式f(x+3)<f(x2+3x)可化为x+3>x2+3x,即x2+2x-3<0,解得-3<x<1,则原不等式的解集为(-3,1).故选A. 6.B　[解析] 令t=ax+2,则y=ln t,因为函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减,且y=ln t在定义域内单调递增,所以解得-1≤a<0.故选B. 7.AD　[解析] 对于A,因为y=log3x在(0,+∞)上单调递增,所以log31.1<log31.2,故A正确;对于B,因为y=x3在R上单调递增,所以(-1.1)3>(-1.2)3,故B错误;对于C,因为y=0.99x在R上单调递减,所以0.991.1>0.991.2,故C错误;对于D,因为0<0.993<0.990=1,30.99>30=1,所以0.993<30.99,故D正确.故选AD. 8.e　[解析] 由f(ln 2)f(ln 4)=8,可得aln 2·aln 4=8,即aln 2+ln 4=a3ln 2=8,即(aln 2)3=23,∵a>0,且a≠1,∴aln 2=2,两边取自然对数得ln 2·ln a=ln 2,解得a=e. 9.(1,4]　[解析] 不等式2f(x)≤g(x)可化为2loga(x-1)≤loga(2x+1),因为a>1,所以解得1<x≤4,所以不等式2f(x)≤g(x)的解集为(1,4]. 10.解:(1)∵f(7)=log2(m-7)+4=log2(m-7)-2=-1,∴log2(m-7)=1,解得m=9, 故f(x)=log2(9-x)+(x-3).由解得3<x<9,故f(x)的定义域为(3,9). (2)由(1)知,f(x)=log2(9-x)+(x-3)=log2=log2, ∵y=x-3在(3,9)上单调递增,且当x∈(3,9)时,x-3>0,∴函数y=-1在(3,9)上单调递减, ∴f(x)在(3,9)上单调递减, 又f(7)=-1,∴不等式f(2x-1)>-1可化为f(2x-1)>f(7),∴3<2x-1<7,即2<x<4, 故不等式f(2x-1)>-1的解集为(2,4). 11.B　[解析] 依题意得,∠OAB=45°,|AB|=,由四边形ABCD为正方形,得|AD|=,∠DAx=45°,则点D(2,1),又点D在函数y=logax的图象上,所以1=loga2,解得a=2.经验证a=2符合题意,所以a=2.故选B. 12.ABD　[解析] 选项A中,由已知得x2+ax-a>0恒成立,则Δ=a2+4a<0,解得-4<a<0,故A正确;选项B中,由已知得x2+ax-a≤0有解,则Δ=a2+4a≥0,解得a≤-4或a≥0,故B正确;选项C中,当a=2时,f(x)=lg(x2+2x-2),由x2+2x-2=(x+1)2-3>0得x<-1-或x>-1+,又y=x2+2x-2(x∈R)的图象开口向上,所以y=x2+2x-2在(-∞,-1-)上单调递减,因此f(x)的单调递减区间是(-∞,-1-),故C错误;选项D中,因为f(x)在(-2,-1)上单调递减,所以解得a≤,故D正确.故选ABD. 13.　[解析] 由题知logab≠0,令t=logab,则logba=,由logab+logba=,得t+=,所以2t2-5t+2=0,解得t=或t=2,所以logab=或logab=2,所以=b或a2=b.当=b时,有a=b2,由aa=bb,得=b2a=bb,所以2a=b,由解得所以a+b=;当a2=b时,由aa=bb,得aa==a2b,所以a=2b,由解得所以a+b=.综上所述,a+b=. 14.解:(1)由得-4<x<4,所以函数f(x)的定义域为(-4,4). (2)函数f(x)为奇函数,证明如下: 因为函数f(x)的定义域为(-4,4),所以f(x)的定义域关于原点对称, 因为f(-x)=(4+x)-(4-x)=-[(4-x)-(4+x)]=-f(x),所以f(x)为奇函数. (3)由f(x)<0,得(4-x)-(4+x)<0,所以(4-x)<(4+x), 因为y=x在定义域内为减函数,所以解得-4<x<0, 所以不等式f(x)<0的解集为(-4,0). 1 学科网（北京）股份有限公司 $$